1、第五章第五章 线性定常系统的综合与设计线性定常系统的综合与设计5.1 引言引言前面几章介绍的内容都属于系统的描述与分析。系统的描述主要解决系统的建模、各种数学模型(时域、频域、内部、外部描述)之间的相互转换等；系统的分析，主要研究系统的定量变化规律(如状态方程的解，即系统运动分析等)和定性行为(如能控性、能观测性、稳定性等)。而综合与设计问题与此相反，即在已知系统结构和参数(被控系统数学模型)的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。一般说来，这种控制规律常取反馈形式，因为无论是在抗干扰性或鲁棒性能方面，反馈闭环系统的性能都远优于非反馈或开环系统。在本章中，将以状态空间法为基础，讨论
2、线性反馈控制规律的综合与设计方法。5.2状态反馈和输出反馈在经典控制理论中，利用系统的输出进行反馈，构成输出负反馈系统，可以得到较满意的系统性能；减小干扰对系统的影响；减小被控对象参数变化对系统性能的影响。因此，输出反馈控制得到了广泛的应用。在现代控制理论中，为了达到希望的控制要求，也采用反馈控制方法来构成反馈系统。这里采用的反馈控制有状态反馈和输出反馈两种。一、状态反馈线性定常系统方程为其中状态X、输入u和输出Y分别为n、r、m维向量。A、B、C、D为满足矩阵运算的矩阵。假定有可能设置n个传感器，使全部状态变量均可用于反馈，其反馈控制律为uVKx（5-2）其中K为rXn型反馈增益矩阵；V为r
3、维输入向量,构成的状态反馈系统如图51所示。状态反馈系统方程为DVxDKCyBVxBKAKxVBAxx)()()(（5-3）由方程（5-3）可知：（1）状态反馈不增加新的状态变量。（2）状态反馈对输入矩阵B和直接传输矩阵D无影响。（3）对系统的系数矩阵由A变成（A-BK）。（4）输出矩阵由C变成（C-DK）。系统的瞬态性能主要由系数矩阵决定。A、B阵是已知的，不能改变。而K阵可以在一个很宽的范围内选择。因此，通过适当的方法选择反馈阵K，就可以使系统达到希望的控制目的。稳定与否二、输出反馈在工程实践中，输出反馈也是常用的。对方程(5-1）所描述的线性定常系统，采用输出反馈控制律为U=V-Hy其中
4、H为rXm型常值矩阵。输出反馈系统的结构图如图52所示。输出反馈系统方程为DVDHICxDHIyVDDHIBHBxCDHIBHAHyVBAxx1111)()()()()(由以上方程可知:1)输出反馈不增加新的状态变量。2)输出反馈使B阵变成B-BH（IDH)-1D，当D0时，对B阵无影响。3）系统矩阵由A变成，当D0时，就变成（ABHC）。4)输出矩阵C变成，当D=0时，C阵不改变。5）直接传输矩阵D变成。系统的瞬态性能由系数矩阵决定。由于A、B、C阵是固定的，要获得好的反馈系统性能，只能通过适当选择反馈阵H来实现。)(1CDHIBHACDHI1)(DDHI1)(比较上面两式可知，输出反馈方程
5、的系数矩阵中的HC相当于状态反馈系统中的K阵。由于由于mn原因，原因，K阵阵可以选择的自由度比较大，而可以选择的自由度比较大，而H阵可以选择的自由度相对阵可以选择的自由度相对K阵来说要小些，尤其是阵来说要小些，尤其是HC对改善系统性能的效果同对改善系统性能的效果同K阵阵相比要小得多，因此，输出反馈改善系统性能的能力要差相比要小得多，因此，输出反馈改善系统性能的能力要差些。然而输出反馈比状态反馈实现起来要方便，因此在实些。然而输出反馈比状态反馈实现起来要方便，因此在实际中仍然采用。但状态反馈可获得更好的性能。际中仍然采用。但状态反馈可获得更好的性能。DVxDKCyBVxBKAKxVBAxx)()
6、()(DVDHICxDHIyVDDHIBHBxCDHIBHAHyVBAxx1111)()()()()(状态反馈输出反馈5.3状态反馈系统的能控性和能观测性线性定常系统方程为其中x、U、y维数同前。如果引入状态反馈其中V、K意义同前，则状态反馈系统方程为对状态反馈系统来说，能控性和能观测性具有重要的意义。引入状态反馈的系统能控性、能观测性与未引入状态反馈的情况下的系统能控性、能观测性有什么关系呢？换句话说，状态反馈对系统能控性、能观测性有无影响呢？其结论是状态反馈不改变系统的能控性，但可能改变系统能观测性.状态反馈能改变系统的可观测性,即原来可观的系统在某些状态反馈下闭环可以是不可观的，同样，原
7、来不可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以是可观的。状态反馈是否改变系统的可观测性要进行具体分析。例：系统的动态方程如下PHB定理5.4极点配置在古典控制理论中，系统的动态性能很大程度上都是由极点在s平面上的位置所决定的在现代控制理论中，系统的极点实际上就是状态方程中的系数矩阵A所对应的特征根，当系统结构确定之后，矩阵A也就确定了，因而A所对应的特征根是不能任意改变的但是，当系统中引入状态反馈之后，矩阵A变成了（A一BK）A，B虽然不能改变，但K是可以人为改变的，因此，（A一BK）所对应的特征根也是能任意改变的，这种利用改变状态反馈阵K的办法来改变特征根（极点）的方法，称为“极点配置”系统方程为
8、其中x、u、y维数同前。如果引入状态反馈其中V、K意义同前，则状态反馈系统方程为则可由下列步骤确定使A-BK的特征值为1，2，,n（即闭环系统的期望极点值）的线性反馈矩阵K（如果i是一个复数特征值，则其共轭必定也是A-BK的特征值）。第第1步：步：验证系统是否完全能控。如果系统是状态完全能控的，则可按下列步骤继续。第第2步：步：利用系统矩阵A的特征多项式确定出的值。nnnnasasasAsIAsI111)det(naaa,21第第3 3步：步：确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵P。若给定的状态方程已是能控标准形，那么P=I。此时无需再写出系统的能控标准形状态方程。第第4 4步：步：利
9、用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多 项式为nnnnnasasassss11121)（并确定出 的值。naaa,21第第5步：步：此时的状态反馈增益矩阵K为1112211PaaaaaaaaKnnnn例例4.1 线性定常系统式中BuAxx100,651100010BA利用状态反馈控制，希望该系统的闭环极点为s=-2j4和s=-10。试确定状态反馈增益矩阵K。解：第一步：检验系统的能控性。由于能控性矩阵为Kxu得出detQ=-1。因此，rankQ=3。因此该系统是状态完全能控的，可任意配置极点。31616101002BAABBQ第二步：该系统的特征方程为：01566511001|3221323
10、asasasssssssAsI因此1,5,6321aaa第三步：期望的特征方程为02006014)10)(42)(42(*3*22*1323asasasssssjsjs因此200,60,14*3*2*1aaa第第5步：步：此时的状态反馈增益矩阵K为8551996145601200K最后还应强调指出，在极点配置中任意配置与系统可控是等价的、若不要求任意配置，就不一定要求系统可控。因此给定一组期望的特征值，只有它包含了所有不可控部分的特征值时，才是可配置的。5.5镇定问题所谓系统镇定问题就是一个李亚普诺夫意义下非渐近稳定的系统通过引入状态反馈，以实现系统在李亚普诺夫意义下渐近稳定的问题。因为稳定性
11、是系统能够正常工作所必须满足的要求，所以研究系统镇定问题是很重要的。在SISO系统的镇定问题中，由于只要使状态反馈系统的极点分布在S平面的左半平面内，而不必严格地限定在指定的位置上，因此，系统镇定问题实际上是极点配置的一个特殊情况。那么，开环系统在什么样的条件下，可以通过状态反馈加以镇定，状态反馈阵如何确定，下面就来讨论。线性定常系统方程为如果存在状态反馈阵K，使状态反馈系统是李亚普诺夫意义下渐近稳定，则称上式的系统是可以用状态反馈镇定的。显然，若系统是能控的，则由上节可知，引入状态反馈，可以任意配置极点。现在只要根据李亚普诺夫稳定性要求，将状态反馈系统极点配置在左半开平面，计算K阵就可以了。
12、然而对于一个不能控系统，可否采用状态反馈实现系统镇定？定理5-2：线性定常系统方程为假定系统不能控，引入状态反馈能镇定的充要条件为不能控的状态分量是渐近稳定的。举例说明：例:系统的状态方程为试用状态反馈来镇定系统.解解：矩阵A为对角阵，可知系统不能控。由于不能控的子系统特征值为一5，表明系统是可以镇定的。能控子系统状态方程为引入状态反馈为了保证系统是渐近稳定的，设所希望的极点为222,1js比较上两式的S同次幂系数使之相等，可得：K1=13，k2=20一般地，确定K阵的计算过程是复杂的。从实用角度考虑，当系统能控时，按极点配置算法将更加简单和方便。5.6 应用状态反馈实现解耦控制应用状态反馈实
13、现解耦控制 除前面介绍的实现系统的极点配置及系统镇定外，状除前面介绍的实现系统的极点配置及系统镇定外，状态反馈还可以适用于其他方面，如实现系统的解耦控制、态反馈还可以适用于其他方面，如实现系统的解耦控制、构成最优调节器、改善跟踪系统的稳态特性等。构成最优调节器、改善跟踪系统的稳态特性等。下面简要地介绍应用状态反馈实现解耦控制的问题。下面简要地介绍应用状态反馈实现解耦控制的问题。因此，如能找出一些控制律因此，如能找出一些控制律,采取一定的措施能够使得每采取一定的措施能够使得每一输入能且只能控制一个输出一输入能且只能控制一个输出,而每个输出受且只受一个输入而每个输出受且只受一个输入的控制，这必将大
14、大简化控制操作。的控制，这必将大大简化控制操作。实现这样的控制称为解耦控制或者简称为解耦。实现这样的控制称为解耦控制或者简称为解耦。将一个有相互耦合的系统实现解耦控制有很多种方法，将一个有相互耦合的系统实现解耦控制有很多种方法，下面只介绍利用状态反馈实现解耦控制的方法。下面只介绍利用状态反馈实现解耦控制的方法。由此：对于解偶控制存在两个问题：一是由此：对于解偶控制存在两个问题：一是所给系统的可解偶性，即解偶所应具备的条件；所给系统的可解偶性，即解偶所应具备的条件；二是给出解偶控制的算法，即确定状态反馈二是给出解偶控制的算法，即确定状态反馈K，L1、实现解耦控制的条件：在论述实现解耦控制的条件之
15、前，先要定义下列两个特征量并简要介绍它们的一些特性：（1）定义：显然di为非负整数.当G(s)确定之后,d1,d2,dp是唯一的。1,min21ipiiidddd二、算法综上所述，即可得出实现解耦控制的算法如下：1、根据求系统的di,Ei2、按：构成矩阵E，检验E的非奇异性，若E为非奇异的，则系统可实现状态反馈解偶，否则，不能通过状态反馈来实现解偶1,min21ipiiidddd3、按求取矩阵K和L，则u=Lv-Kx就是状态反馈律。4、此时闭环系统的状态表达式和传递函数阵分别由（见上页）5.7线性控制系统的状态估计上面讨论表明，采用状态反馈可以改善系统的动态性能。然而，在实际控制系统中，并不是
16、所有的状态变量都能够轻易地进行测量这就给状态反馈的实现带来了困难1964年，龙伯格提出“状态观测器”理论，成功地解决了这一问题状态观测器实质上是一个状态估计器它是利用控制对象的输入变量u与输出变量Y对系统的状态变量X进行估计，从而解决某些状态变量不能直接测量的难题，为实现状态反馈提供了完全的可能性一、状态观测器的基本理论线性定常系统这个系统的结构如图所示由图看出，状态变量X在系统的内部，它们有时是不便于直接量测的，而输入变量u与输出变量Y处在系统外部，这在工程上是很容易测量的状态观测器理论就是利用可测量的变量u、Y估计出系统中不可测量的状态变量X，从而达到“状态重构”的目的。状态观测器的状态方
17、程为式中：A、B、C、D都是原系统已知的矩阵；U、Y是系统的可以测量的输入与输出；就是待观测的状态变量的估计值显然，观测器的实现，关键就是确定未知的矩阵G，由上两式可得x令代表状态的实际值与估计值之偏差偏差，则上式变为：该方程的解为xxxxGCAx)(应的特征根均为负实部的要求，就可达到状态估计的目的。观测器的结构如图所示 在状态反馈中，利用估计状态进行反馈和利用真实状态在状态反馈中，利用估计状态进行反馈和利用真实状态进行反馈之间究竟有没有差别？进行反馈之间究竟有没有差别？分离定理：分离定理：对于单输入、单输出的线性定常系统11gggGnn这样就把G阵完全确定下来了。观测器的设计任务到此完成。
18、以上的设计步骤，只有当系统具有能观标准型时才适用。如果原系统中A，C不具备能观标准型的结构，则必须先经过线性变换，使其先变为能观标准型，然后再按上述方法设计。5.8降维观测器的基本理论从前面的全维观测器可以看出，它的结构是比较复杂的，交叉耦合也比较多，这给工程实现和调试都带来一定的困难。因此，想办法降低观测器的维数是解决上述困难的一个有效措施降低观测器维数的基本思路是很简单的，我们仍以单输入、单输出的线性定常系统为例，即且认为该系统是能观标准型，或已经化为能观标准型，这时这表明至少有一个状态变量xn,可以直接用原系统的输出Y代替，因此，状态观测器只需对其余的（n1）个状态变量作出估计就完全足够
19、了。即：对于一个单输入单输对于一个单输入单输出的出的n维系统，只要设计一个（维系统，只要设计一个（n-1）维的状态观测器就可维的状态观测器就可以了，这就是降维观测器的理论根据。以了，这就是降维观测器的理论根据。对于多输入、多输出系统，如果rankc=m，则一定有m个状态变量可以用m个输出变量来线性表达，所以只需设计一个（n-m）维的状态观测器就够了。这一推论，无需证明也是可以理解的。把这种维数低于原系统维数的观测器称为“降维状态观测器”，简称“降维观测器”.降线观测器的状态方程可写为降维观测器的设计任务就是合理确定矩阵中的P，Q，R。可以证明：P，Q，R的确定原则必须满足下列条件：（l）P的特
20、征根必须均为负实部；（2）P与A的特征根不能相同；（3）DA-PD=Rc，其中D为非奇异变换阵：（4）Q=Db，根据以上条件，即可求出P，Q，R，具体步骤如下：1矩阵P的求法已知式中，P1，p2,Pn-1均为待定系数，这些系数根据P的特征根必须为负实都且与A的特征根不能重复的条件来定至于特征根的绝对值到底该选多大，则需要根据具体情况来定，一般来讲，选的愈大，估计值与实际值逼近的速度愈快，但随之而来的噪声影响也愈大。在实际设计时，必须权衡利弊，酌情而定。DA-PD=Rc则则对于多输入、多输出系统降维观测器的设计，可按单输入单输出系统的设计步骤引伸推广。例如，系统具有m个输入，l个输出时，状态空间
21、表达式为（7）画出降维状态观测器结构图由降维观测器状态方程可画出二维状态观测器结构，如图可以看出，降维观测器的结构比全维观测器的结构显然要简单得多，而且交叉耦台也较少，这给工程实现与具体调试都带来不少好处，因此，在设计中应该优先考虑采用降维观测器5.9 线性控制理论的应用线性控制理论的应用线性控制理论是现代控制理论中应用最广泛的内容之一。严格来讲，纯粹的线性控制系统是不存在的，实际的自动控制系统或多或少都存在一定的非线性。但在一定条件下，将某些系统近似地按线性化的方法去处理不会带来太大的误差，特别是对于一些技术指标要求不太高的控制对象，应用线性控制理论设计，基本可以满足实际的要求。线性控制理论
22、在工程设计中应用最多的是状态反馈与状态观测器理论。利用状态反馈理论与状态观测器理论配合，往往可以获得很好的控制效果。利用状态观测器理论还可以实现故障诊断，这对于提高设备的安全运行水平，提高设备的寿命等都有很大的实用价值一、状态反馈在系统设计中的应用采用全状态反馈可以全面改善控制系统的性能指标下面通过一个实例来说明解决这类问题的基本途径。设某控制系统的结构如图所示要求应用线性控制理论进行设计，使系统满足下列性能指标：（1）超调量（2）峰值时间（3）频带宽度（4）静态误差（5）动态误差%55.0Pt10b0se3.0pe对于这类问题的分析设计，一般是先建立数学模型，然后通过数学模型分析，大体判断一
23、下该系统的宏观指标，例如系统的稳定性、能控性、能观性等，根据判断结果，进行具体设计，步骤如下：这是一个典型的三阶系统根据第一章所讲的数学模型可以相互转换的理论，具有以上形式的数学模型，实际上可以转化为对角标准型、能控标准型与能观标准型对应的对角标准型可写为对角线上的三个元素，就是对应的微分方程的三个特征根，它们可以写为据此，可以判断系统的稳定性由以上三式显见，当t趋于无穷时，状态x2(t),x3(t)将趋近于零，所以，状态x2(t),x3(t)是稳定的。而状态x1(t)是不稳定的，必须采取反馈措施才能稳定对应的能控标准型可写为当然，也可以用其他方法来判断系统的能控性及能观测性。如果系统不完全能
24、控或不完全能观、就没有必要再继续设计了.2系统结构的初步确定由系统给定的性能指标可以看出，该系统要求达到的指标还是较高的，它既有静态指标的要求，也有动态指标的要求因此，初步考虑采用全状态反馈再加前置放大器的结构方案，如图所示下面的问题就是应用状态反馈理论，求出全状态反馈情况下的反馈系数，并求出前置放大器的放大系数K3反馈系数的确定反馈系数的确定，实际上是一个极点配置的问题根据本章所讲的理论，只要该系统满足“完全能控”的条件，则其极点一定能够任意配置如果系统的状态方程能化为能控标准型，设计将非常简便由于该系统的数学模型是一个三阶系统，所以应该具有三个极点对于三极点的控制系统的设计，一般的做法是先
25、选定一对主极点与，然后再选一个远极点通常，主极点与具有共轭极点的形式，并使其均具有负实部，而远极点则不包含虚部，只具有负实部此外，还要保证远极点的绝对值远大于主极点的绝对值在设计中通常取10倍以上即可满足要求，这样一来，远极点对系统的作用就可以忽略不计，这就使我们有可能近似地按二阶系统处理，从而可以使设计过程进一步简化，如图所示图中，主极点对系统的动态性能起主导作用。远极点，则作用极小由主极点对构成一个二阶系统，根据古典控制理论知道1212图中，主极点对系统的动态性能起主导作用，远极点，则作用极小由主极点对构成一个二阶系统，根据古典控制理论知道22.11nnjs即均具有负实部，这就是我们希望的
26、极点(最佳特征根）极点确定之后，就可用下面的办法，求出反馈系数由系统的传递函数或状态空间表达式已知通过这个例子，可以大体上看出解决实际问题的基本思路和步骤至于一些细节问题的处理，则往往需要设计者根据具体情况结合实际经验通盘考虑，酌情处理例如，理论上讲极点配置可以是任意的，但具体来讲究竟应该取多大才算合理，则需要权衡利弊、全面考虑。二、状态观测器在故障诊断中的应用状态观测器的基本理论指出：只要系统具备完全能观的条件，则系统内部的任一状态均可用该系统的输入变量u和输出变量y估计出来利用这个原理可以非常有效地实现系统或设备的故障诊断，其结构如图所示在输入端与输出端分别设置必要的检测仪器，并不断地检测输人变量u与输出变量y，然后送到状态观测器中的有关点，这时状态观测器的输出端就会输出各个状态变量的估计值。即x的这些估计值在故障报警装置中与设定值x比较，经过逻辑控制处理后，发出故障报警信号，并自动记录与显示
