1、 - 1 - 大题考法专训（四）大题考法专训（四） 概率与统计概率与统计 A 级级中档题保分练中档题保分练 1 (2019 全国卷全国卷)为了解甲、 乙两种离子在小鼠体内的残留程度， 进行如下试验： 将为了解甲、 乙两种离子在小鼠体内的残留程度， 进行如下试验： 将 200 只小鼠随机分成只小鼠随机分成 A，B 两组，每组两组，每组 100 只，其中只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙组小鼠给服乙 离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法 测算出
2、残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图：测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图： 记记 C 为事件：为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到，根据直方图得到 P(C)的估计的估计 值为值为 0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；的值； (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代同一组中的数据用该组区间的中点值为代 表表) 解：解：(1)由已知得由已知得 0.70a0.200.1
3、5， 解得解得 a0.35， 所以所以 b10.050.150.700.10. (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为甲离子残留百分比的平均值的估计值为 20.1530.2040.3050.2060.1070.054.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为乙离子残留百分比的平均值的估计值为 30.0540.1050.1560.3570.2080.156.00. 2(2019 天津高考天津高考)设甲、乙两位同学上学期间，每天设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为之前到校的概率均为2 3，假 ，假 定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立定甲、乙
4、两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立 (1)用用 X 表示甲同学上学期间的三天中表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和的分布列和 数学期望；数学期望； (2)设设 M 为事件为事件“上学期间的三天中，甲上学期间的三天中，甲同学在同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多之前到校的天数恰好多 2”，求事件，求事件 M 发生的概率发生的概率 - 2 - 解：解：(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独
5、立，且每天 7：30 之前到校的概率之前到校的概率 均为均为2 3， ， 故故 XB 3，2 3 ，从而，从而 P(Xk)Ck3 2 3 k 1 3 3k， ， k0,1,2,3. 所以随机变量所以随机变量 X 的分布列为的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 随机变量随机变量 X 的数学期望的数学期望 E(X)32 3 2. (2)设乙同学上学期间的三天中设乙同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数为之前到校的天数为 Y，则，则 YB 3，2 3 ，且，且 MX 3，Y1X2，Y0 由题意知，事件由题意知，事件X3，Y1与与X2，Y0互斥，且事件互斥，且
6、事件X3与与Y1，事件，事件X 2与与Y0均相互独立，均相互独立， 从而由从而由(1)知知 P(M)P(X3，Y1X2，Y0) P(X3，Y1)P(X2，Y0) P(X3)P(Y1)P(X2)P(Y0) 8 27 2 9 4 9 1 27 20 243. 3 某商店为迎接端午节， 推出花生粽与肉粽两款粽子 为调查这两款粽子的受 某商店为迎接端午节， 推出花生粽与肉粽两款粽子 为调查这两款粽子的受欢迎程度，欢迎程度， 店员连续店员连续 10 天记录了这两款粽子的销售量，用天记录了这两款粽子的销售量，用 1,2，10 分别表示第分别表示第 1,2，10 天，记天，记 录结果得到频数分布表如下所示录
7、结果得到频数分布表如下所示(其中销售量单位：个其中销售量单位：个). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 花生粽花生粽 103 93 98 93 106 86 87 84 91 99 肉粽肉粽 88 97 98 95 101 98 103 106 102 112 (1)根据表中数据完成如图所示的茎叶图：根据表中数据完成如图所示的茎叶图： (2)根据统计学知识，请判断哪款粽子更受欢迎；根据统计学知识，请判断哪款粽子更受欢迎； - 3 - (3)求肉粽销售量求肉粽销售量 y 关于序号关于序号 t 的线性回归方程，并预估第的线性回归方程，并预估第 15 天肉粽的销售量天肉粽的销售量(回归方程回
8、归方程 的系数精确到的系数精确到 0.01) 参考数据：参考数据： i1 10 (ti t )(yi y )156. 参 考 公 式 ： 回 归 方 程参 考 公 式 ： 回 归 方 程 y a b t 中 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 分 别 为中 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 分 别 为 b i1 n ti t yi y i1 n ti t 2 ，a y b t . 解：解：(1)根据所给数据完成茎叶图如图所示根据所给数据完成茎叶图如图所示 (2)法一：法一：由由(1)中茎叶图可知，肉粽的销售量中茎叶图可知，肉粽的销售量均值比花生粽高，两款粽子的销售量波
9、动情均值比花生粽高，两款粽子的销售量波动情 况相当，况相当， 所以可以认为肉粽更受欢迎所以可以认为肉粽更受欢迎 法二：法二：由题意得花生粽的销售量的均值由题意得花生粽的销售量的均值 y195 1 10 (82321198114 4)94， 肉粽的销售量的均值肉粽的销售量的均值 y2100 1 10 (123251236212)100. 因为因为 94100，所以，所以 y1 y2，即肉粽的销售量的均值较花生粽高，所以可以认为，即肉粽的销售量的均值较花生粽高，所以可以认为肉粽更肉粽更 受欢迎受欢迎 (3)由题中数据可得由题中数据可得 t 11 2 ， i1 10 (ti t )21 4 (927
10、2523212)2165 2 ， 所以所以b 156 165 2 1.89，a 1001.89111 2 89.60. 故肉粽销售量故肉粽销售量 y 关于关于序号序号 t 的线性回归方程为的线性回归方程为y 1.89t89.60. 当当 t15 时，时，y 1.891589.60118， 所以预估第所以预估第 15 天肉粽的销售量为天肉粽的销售量为 118 个个 B 级级拔高题满分练拔高题满分练 1(2019 全国卷全国卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效， - 4 - 为此进行动物试验试验方案如下：每一
11、轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白 鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当 其中一种其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的只时，就停止试验，并认为治愈只数多的 药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的
12、白鼠未治愈则甲药得白鼠未治愈则甲药得 1 分， 乙药得分， 乙药得1 分； 若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则分； 若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则 乙药得乙药得 1 分，甲药得分，甲药得1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分甲、乙两种药的治愈率 分别记为分别记为 和和 ，一轮试验中甲药的得分记为，一轮试验中甲药的得分记为 X. (1)求求 X 的分布列；的分布列； (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，分，pi(i0，1，8)表示表示“甲药的累计得分为甲药的累计得分为
13、i 时， 最终认为甲药比乙药更有效时， 最终认为甲药比乙药更有效”的概率的概率， 则， 则 p00， p81， piapi1bpicpi1(i1,2， ， 7)，其中，其中 aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)假设假设 0.5，0.8. 证明：证明：pi1pi(i0,1,2，7)为等比数列；为等比数列； 求求 p4，并根据，并根据 p4的值解释这种试验方案的合理性的值解释这种试验方案的合理性 解：解：(1)X 的所有可能取值为的所有可能取值为1,0,1. 则则 P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)， P(X1)(1)， 所以所以 X 的分布列为的分布列为 X 1 0 1 P (1) (
14、1)(1) (1) (2)证明：由证明：由(1)得得 a0.4，b0.5，c0.1， 因为因为 pi0.4pi10.5pi0.1pi1， 所以所以 0.1(pi1pi)0.4(pipi1)， 即即 pi1pi4(pipi1) 又因为又因为 p1p0p10， 所以， 所以pi1pi(i0,1,2， ， 7)是公比为是公比为 4， 首项为， 首项为 p1的等比数列的等比数列 由由可得可得 p8p8p7p7p6p1p0p0 (p8p7)(p7p6)(p1p0)4 8 1 3 p1. 由于由于 p81，故，故 p1 3 481， ， 所以所以 p4(p4p3)(p3p2)(p2p1)(p1p0) 4
15、4 1 3 p1 1 257. p4表示最终认为甲药更有效的概率由计算结果可以看出，在甲药治愈率为表示最终认为甲药更有效的概率由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治，乙药治 - 5 - 愈率为愈率为 0.8 时， 认为甲药更有效的概率为时， 认为甲药更有效的概率为 p4 1 257 0.003 9， 此时得出错误结论的概率非常小， 此时得出错误结论的概率非常小， 说明这种试验方案合理说明这种试验方案合理 2.某省高考改革实施方案指出：该省高考考生总成绩将由语文、数某省高考改革实施方案指出：该省高考考生总成绩将由语文、数 学、 外语学、 外语 3 门统一高考成绩和门统一高考成绩和 3
16、 门学生自主选择的高中学业水平等级性门学生自主选择的高中学业水平等级性 考试科目成绩共同构成， 该省教育厅为了解正在读高中的学生家长对高考试科目成绩共同构成， 该省教育厅为了解正在读高中的学生家长对高 考改革方案所持的态度， 随机从中抽取了考改革方案所持的态度， 随机从中抽取了 100 名城乡学生家长作为样本名城乡学生家长作为样本 进行调查，调查结果显示样本中有进行调查，调查结果显示样本中有 25 人持不赞成意见，如图是根据样人持不赞成意见，如图是根据样 本的调查结果绘制的等高条形图本的调查结果绘制的等高条形图 (1)根据已知条件与等高条形图完成下面的根据已知条件与等高条形图完成下面的 22
17、列联表，并判断我们能否有列联表，并判断我们能否有 95%的把握的把握 认为认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关赞成高考改革方案与城乡户口有关”？ 赞成赞成 不赞成不赞成 总计总计 城镇居民城镇居民 农村居民农村居民 总计总计 附：附：K2 n adbc 2 ab cd ac bd ，其中 ，其中 nabcd. P(K2k0) 0.10 0.05 k0 2.706 3.841 (2)用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取 3 人，记这人，记这 3 个个 家长中是城镇户口的人数为家长中是城镇户口的人数为 X，试求，试
18、求 X 的分布列及数学期望的分布列及数学期望 解：解：(1)完成列联表，如下：完成列联表，如下： 赞成赞成 不赞成不赞成 总计总计 城镇居民城镇居民 30 15 45 农村居民农村居民 45 10 55 总计总计 75 25 100 代入公式，得代入公式，得 K2100 300675 2 45557525 3.033.841. 我们没有我们没有 95%的把握认为的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关赞成高考改革方案与城乡户口有关” (2)用样本的频率估计概率，随机在全省不赞成高考改革的家长中抽中城镇户口家长的概用样本的频率估计概率，随机在全省不赞成高考改革的家长中抽中城镇户口家长的概 率为
19、率为 0.6，抽中农村户口家长的概率为，抽中农村户口家长的概率为 0.4. X 的可能取值为的可能取值为 0,1,2,3， P(X0)(0.4)30.064； P(X1)C130.6(0.4)20.288； - 6 - P(X2)C230.620.40.432； P(X3)C330.630.216. X 的分布列为的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 E(X)00.06410.28820.43230.2161.8. 3为响应绿色出行，某市在推出共享单车后，又推出新能源分时租赁汽车其中一款新为响应绿色出行，某市在推出共享单车后，又推出新能源分时租赁汽
20、车其中一款新 能源分时租赁汽车， 每次租车收费的标准由两部分组成：能源分时租赁汽车， 每次租车收费的标准由两部分组成： 根据行驶里程数按根据行驶里程数按 1 元元/公里计费；公里计费； 行驶时间不超过行驶时间不超过40分钟时按分钟时按0.12元元/分计费， 超过分计费， 超过40分钟时， 超出部分按分钟时， 超出部分按0.20元元/分计费 已分计费 已 知张先生家离上班地点知张先生家离上班地点 15 公里，每天租用该款汽车上、下公里，每天租用该款汽车上、下班各一次由于堵车、红绿灯等因班各一次由于堵车、红绿灯等因 素，每次路上开车花费的时间素，每次路上开车花费的时间 t(单位：分单位：分)是一个
21、随机变量现统计了张先生是一个随机变量现统计了张先生 50 次路上开车花次路上开车花 费的时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示费的时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示. 时间时间 t/分分 (20,30 (30,40 (40,50 (50,60 频数频数 2 18 20 10 将频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间将频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间 (1)写出张先生一次租车费用写出张先生一次租车费用 y(单位：元单位：元)与用车时间与用车时间 t(单位：分单位：分)的函数关系式；的函数关系式； (2)若张先生一次开车时间不超过若张先生一次开车时间不超过 4
22、0 分为分为“路段畅通路段畅通”， 设， 设 表示表示 3 次租用新能源分时租次租用新能源分时租 赁汽车中赁汽车中“路段畅通路段畅通”的次数，求的次数，求 的分布列和期望；的分布列和期望； (3)若公司每月给若公司每月给 1 000 元的交通补助，请估计张先生每月元的交通补助，请估计张先生每月(按按 22 天计算天计算)的交通补助是否的交通补助是否 足够让张先生上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由足够让张先生上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由(同一时段的时间用该区间的同一时段的时间用该区间的 中点值代表中点值代表) 解：解：(1)当当 20t40 时，时，y0.12t15； 当当
23、 40t60 时，时，y0.12400.20(t40)150.2t11.8. 故故 y 0.12t15，20t40， 0.2t11.8，40t60. (2)张先生租用一次新能源分时租赁汽车中张先生租用一次新能源分时租赁汽车中“路段畅通路段畅通”的概率的概率 P2 18 50 2 5， ， 可取可取 0,1,2,3. P(0)C03 2 5 0 3 5 3 27 125， ， P(1)C13 2 5 1 3 5 2 54 125， ， P(2)C23 2 5 2 3 5 1 36 125， ， P(3)C33 2 5 3 3 5 0 8 125， ， - 7 - 的分布列为的分布列为 0 1 2
24、 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 E()0 27 125 1 54 125 2 36 125 3 8 125 1.2. 或或E 32 5 1.2 (3)张先生每月的交通补助足够让他上、下班租用新能源分时租赁汽车理由如下张先生每月的交通补助足够让他上、下班租用新能源分时租赁汽车理由如下 法一：法一：张先生租用一次新能源分时租赁汽车的平均用车时间张先生租用一次新能源分时租赁汽车的平均用车时间 t25 2 50 3518 50 4520 50 5510 50 42.6(分分)， 每次租用新能源分时租赁汽车的平均费用为每次租用新能源分时租赁汽车的平均费用为 0.242.6
25、11.820.32(元元)， 张先生一个月上、下班租车费张先生一个月上、下班租车费用约为用约为 20.32222894.08(元元)，因为，因为 894.081 000， 故张先生每月的交通补助足够让他上、下班租用新能源分时租赁汽车故张先生每月的交通补助足够让他上、下班租用新能源分时租赁汽车 法二：法二：张先生租用一次新能源分时租赁汽车的平均租车费用为张先生租用一次新能源分时租赁汽车的平均租车费用为(150.12 25) 2 50 (15 0.1235)18 50 (11.80.245)20 50 (11.80.255)10 50 20.512(元元)， 张先生一个月上、下班租车费用约为张先生一个月上、下班租车费用约为 20.512222902.528(元元)， 因为因为 902.5281 000， 故张先生每月的交通补助足够让他上、下班租用新能源分时租赁汽车故张先生每月的交通补助足够让他上、下班租用新能源分时租赁汽车
