1、专题2、二次函数与一般四边形面积问题1、二次函数与三角形的动点问题知识点一：二次函数与三角形的动点问题知识点一：二次函数与三角形的动点问题.)45()0,3(465612明理由的坐标；若不存在请说点？若存在，求出为直角边的直角三角形是以，使得一动点，是否存在点是抛物线对称轴上的两点，若点，经过如图，抛物线MABABMMMBAxxy25x只有一边情况，另外只有一边情况，另外两边并没有确定两边并没有确定分类讨论分类讨论1.1.MBMB为斜边为斜边MAB=90MAB=902.2.MAMA为斜边即为斜边即MBA=90MBA=90分类讨论分类讨论25xM M),25(m25xM MMM利用勾股定理建立方
2、利用勾股定理建立方程，从而解决问题程，从而解决问题2.2.DBNDBN与与D DBCBC全等全等3.3.以以D D，B B，N N三点所构成的三角形与三点所构成的三角形与D DBCBC全等全等1.1.DBNDBND DBCBC对应点并没有完全确定对应点并没有完全确定对应点已经非常确定对应点已经非常确定变式：若点变式：若点D D为直线为直线ABAB与与y y轴交点，在轴交点，在抛物线的对称抛物线的对称轴上是否存在点轴上是否存在点N N，使得，使得D DB BN N与与BCDBCD全等，若存在，全等，若存在，求出点求出点N N的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由1.DC=DN,
3、BC=BN1.DC=DN,BC=BN即即DBNDBND DB BC CN N2.DC=BN,BC=DN2.DC=BN,BC=DN即即DBNDBNBDCBDCD D考点2、二次函数因动点产生的相似三角形问题练习练习(新疆新疆)如图如图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,抛物线抛物线 经过经过A(A(,),B(),B(,),C(),C(,)三点三点 ()求抛物线的解析式及顶点求抛物线的解析式及顶点D D 的坐标的坐标()将将()中的抛物线向下平移中的抛物线向下平移 个单位长度个单位长度,再向左平再向左平移移h(hh(h)个单位长度个单位长度,得到新抛物线若新抛物线得到新抛物线若新抛物线 的顶的
4、顶点点DD在在ABCABC内内,求求h h的取值范围的取值范围 ()点点P P 为线段为线段BCBC上一动点上一动点(点点 P P 不与点不与点B,C B,C 重合重合),),过点过点P P作作x x轴的垂线交轴的垂线交()中的抛物线于点中的抛物线于点Q,Q,当当PQCPQC与与ABCABC相似相似时时,求求PQCPQC的面积的面积 cbxaxy2415练习：如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c经过A（1，0），B（4，0），C（0，4）三点（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；分析：分析：1.1.将将A,B,CA,B,C三点代入三点代入yax2+bx+c中，建立三中，建立三元一
5、次方程组，即可求得元一次方程组，即可求得2 2.A,BA,B两点是抛物线与两点是抛物线与x x轴的两个交点所以采取交点式求解轴的两个交点所以采取交点式求解解：设函数解析式为解：设函数解析式为y=ay=a（x+1x+1）（）（x-4x-4）将点将点C C（0 0，4 4）带入）带入y=ay=a（x+1x+1）（）（x-4x-4）得）得a a（0+10+1）（）（0-40-4）=4=4a=-1a=-1函数解析式为函数解析式为y-x2+3x+4注意：最后写函数解析式须写成一般形式或顶点式函数顶点函数顶点D D（，）（2）将（1）中的抛物线向下平移 个单位长度，再向左平移h（h0）个单位长度，得到新抛
6、物线若新抛物线的顶点D在ABC内，求h的取值范围；二次函数平移变换，就是二二次函数平移变换，就是二次函数的顶点变换次函数的顶点变换解：（解：（2 2）抛物线向下平移个单位长度，再向左平移）抛物线向下平移个单位长度，再向左平移h h（h h0 0）个单位长度，得到新抛物线的顶点个单位长度，得到新抛物线的顶点DD（h h，），），将点将点ACAC的坐标代入一次函数表达式并解得：的坐标代入一次函数表达式并解得：直线直线ACAC的表达式为：的表达式为：y y4x+44x+4，将点将点BCBC的坐标代入一次函数表达式并解得：的坐标代入一次函数表达式并解得：直线直线BCBC的表达式为：的表达式为：y y-
7、x+4-x+4，DD254)23(4254)23(hh故：故：0 0h h ；当自变量取点的横坐标时，当自变量取点的横坐标时，函数值大于点的纵坐标函数值大于点的纵坐标点在函数图像下方点在函数图像下方（3 3）点）点P P为线段为线段BCBC上一动点（点上一动点（点P P不与点不与点B B，C C重合），过点重合），过点P P作作x x轴的垂线交（轴的垂线交（1 1）中的抛物线于点）中的抛物线于点Q Q，当，当PQCPQC与与ABCABC相似时，求相似时，求PQCPQC的面积的面积1.1.PQCPQC与与ABCABC相似相似2.2.以以P P，Q Q，C C三点所构成的三角形与三点所构成的三角形
8、与ABCABC相似相似3.3.PQCPQCABCABC对应点并没有完全确定对应点并没有完全确定对应点已经非常确定对应点已经非常确定（3 3）点）点P P为线段为线段BCBC上一动点（点上一动点（点P P不与点不与点B B，C C重合），过点重合），过点P P作作x x轴的垂线交（轴的垂线交（1 1）中的抛物线于点）中的抛物线于点Q Q，当，当PQCPQC与与ABCABC相似时，求相似时，求PQCPQC的面积的面积分类讨论分类讨论P PQ Q分析：QPOC 1=3 OC=OB 1=2 3=2 B与P是对应点，即QC与AC对应 可以分为PQCPQCBABAC C和和PQCPQCB BC CA A两
9、类两类 1 12 23 3（3 3）点）点P P为线段为线段BCBC上一动点（点上一动点（点P P不与点不与点B B，C C重合），过点重合），过点P P作作x x轴的垂线交（轴的垂线交（1 1）中的抛物线于点）中的抛物线于点Q Q，当，当PQCPQC与与ABCABC相似时，求相似时，求PQCPQC的面积的面积（3 3）过点）过点P P作作y y轴的平行线交抛物线和轴的平行线交抛物线和x x轴于点轴于点Q Q、H HOBOBOCOC4 4，1 12 245453 3，直线直线BCBC的表达式为：的表达式为：y yx+4x+4，则则ABAB5 5 ，BCBC4 4 ，ACAC ，S SABCAB
10、C 5 54 41010设点设点Q Q（m m，m2+3m+4m2+3m+4），点），点P P（m m，m+4m+4），），CPCP m m，PQPQm2+3m+4+mm2+3m+4+m4 4m2+4mm2+4m，当CPQCBA，P PH HQ Q2171 13 32 22.2.通过勾股定理，相似比例线段，通过勾股定理，相似比例线段，解三角形等建立方程或函数模型解三角形等建立方程或函数模型达到解决问题的目的达到解决问题的目的解这类题型关键解这类题型关键1.1.找准分类讨论的所有情况找准分类讨论的所有情况总结：3210636424)06()4,2()1(2babababxaxyBA解得可得带入，
11、将2、二次函数与一般四边形面积问题)321,(2xxxC解：设22222222)321()6()3214()2(xxxBCxxxACBCAC 又0161642xx化简得：222222)321()6()3214()2(xxxxxx22222221xx，解得：22262xx)22222(，CF F)0,6(),4,2(BAC C点在线段点在线段ABAB的中垂线上的中垂线上上在直线的中点则mxyFABmxyCF的解析式为：设线段6xyAB的解析式为直线22222222222211yxyx解得：xxyxy32122由22,42xybb22262xx)22222(，C割补法割补法D DE E一：两个三角
12、形一：两个三角形 +一个梯形一个梯形二：三个三角形二：三个三角形 三：两个三角形三：两个三角形CDExCECDxADA，连接轴于点作，过点轴于点作如图，过点)321(2xxxC，的坐标为设点164最大时，当Sx16)4(822xxxS即xx82DCBACDAODOACBSSSS四边形4422121ADODSAOD42)2(42121xxDEADSACDxxxxCEBDSDCB6)321(4212122【提分要点】二次函数与图形面积问题，解题思路如下：【提分要点】二次函数与图形面积问题，解题思路如下：1.观察图形，弄清楚所求与面积有关的图形形状；观察图形，弄清楚所求与面积有关的图形形状；2.作出
13、与图形面积有关的辅助线，将所求面积转化为可作出与图形面积有关的辅助线，将所求面积转化为可以用面积公式进行求解的图形以用面积公式进行求解的图形(一般转化为三角形的面一般转化为三角形的面积进行讨论求解积进行讨论求解)，一般是作三角形的高或，一般是作三角形的高或y轴、轴、x轴的轴的垂线，再利用面积公式求解垂线，再利用面积公式求解课堂小结：课堂小结：1.1.二次函数与三角形中的分类讨论二次函数与三角形中的分类讨论2.2.二次函数与一般四边形面积的问题二次函数与一般四边形面积的问题割补法割补法一般四边形一般四边形特殊图形的面积之和特殊图形的面积之和分类讨论分类讨论勾股定理，相似比例线段，勾股定理，相似比例线段，解三角形等建立关系解三角形等建立关系解决问题解决问题当堂作业：当堂作业：1.1.自主复习并完成自主复习并完成当堂课的例题当堂课的例题 2.712.71页第页第1 1题，题，7373页第页第5 5题题
