1、东城区 2019-2020 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学 2020.1 本试卷共 4 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束 后，将答题卡一并交回。 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 (1)已知集合 A x | x 1 ， B x | x 2 x 1 0 ，那么 AB (A) x | 1 x 2 (B) x | 1 x 1 (C) x | 1 x 2 (D) x | 1 x 1 (2)复数 z= i(i 1) 在复平面内
2、对应的点位于 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (3)下列函数中，是偶函数，且在区间 (0， +) 上单调递增的为 (A) y 1 x (B) y ln x (C) y 2 x (D) y 1x (4)设 a, b 为实数，则“ a b 0 ”是“ a b ”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (5)设 , 是两个不同的平面， m, n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是 (A) 若 m ， m n ，则 n (B) 若 ， m ， n ，则 m n (C) 若 n ， m n ，
3、则 m (D) 若 ， m ， n ，则 m n (6)从数字1, 2, 3, 4, 5 中，取出 3 个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于 6，这样的三位数的个数为 (A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 13 (7)设 ， 是三角形的两个内角，下列结论中正确的是 (A) 若 2 ，则 sin sin 2 (B) 若 2 ，则 cos cos 2 (C) 若 2 ，则 sin sin 1 (D) 若 2 ，则 cos cos 1 (8) 用平面截圆柱面，当圆柱的轴与 所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆著名数学家 Dandelin 创立的双 球实验证明了上述结论.如图所示
4、，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于 的上方和下方，并且 与圆柱面和 均相切.给出下列三个结论： 两个球与 的切点是所得椭圆的两个焦点； 若球心距 O1O2 4 ，球的半径为 3，则所得椭圆的焦距为 2 ； 当圆柱的轴与 所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是 (A) (B) (C) (D) 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 (9) 若双曲线 2 2 1 x y m 与 22 1 32 xy 有相同的焦点，则实数 m . (10) 已知 an 是各项均为正的等比数列，Sn 为其前 n 项
5、和， 若 a1 6 ，a2 2a3 6 ， 则公比 q ，S4 = (11) 能说明“直线 x y m 0 与圆 x2 y2 4x 2 y 0 有两个不同的交点”是真命题的一个 m 的值为 . (12) 在平行四边形 ABCD 中，已知AB ACAC AD，4,2ACBD，则四边形 ABCD 的面积是_ (13) 已知函数 f ( x) 2 sin( x )( 0) ，.曲线 y f ( x) 与直线 y 3相交，若存在相邻两个交点间的距离为 6 ，则 的所有可能值为 . (14) 将初始温度为 0 C 的物体放在室温恒定为 30 C 的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第 n 次测量得到
6、 的物体温度记为 tn ，已知 t1 0 C .已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为 k ）. 给 出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为 ；(填写模型对应的序号） tn 1 tn 30 n k t ； tn 1 tn k (30 tn) ； t n +1=k (30 tn) . 在上述模型下，设物体温度从 5 C 上升到10 C 所需时间为 a min ，从 10 C 上升到15 C 所需时间为 b min ， 从15 C 上升到 20 C 所需时间为 C min ，那么 a c 与 b c 的大小关系是 .(用 “ ”，“ ”或 “ ”号填 空） 三、
7、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (15)（本小题 13 分） 在 ABC 中，已知 c sin A 3 a cos C 0 （）求 C 的大小； （）若 b=2，c 23，求 ABC 的面积 (16)（本小题 13 分） 2019 年 6 月，国内的 5G 运营牌照开始发放.从 2G 到 5G，我们国家的移动通信业务用了不到 20 年的时间，完 成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对 5G 的消费意愿，2019 年 8 月，从某地在校大学生中随机 抽取了 1000 人进行调查，样本中各类用户分布情况如下： 用户分类 预计升级到 5G 的
8、时段 人数 早期体验用户 2019 年 8 月至 209 年 12 月 270 人 中期跟随用户 2020 年 1 月至 20121 年 12 月 530 人 后期用户 2022 年 1 月及以后 200 人 我们将大学生升级 5G 时间的早晚与大学生愿意为 5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系(例如早 期体验用户中愿意为 5G 套餐多支付 5 元的人数占所有早期体验用户的 40%). （I）从该地高校大学生中随机抽取 1 人，估计该学生愿意在 2021 年或 2021 年之前升级到 5G 的概率； （II）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2
9、 人中愿意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上的人数，求 X 的分布列和数学期望； （III）2019 年底，从这 1000 人的样本中随机抽取 3 人，这三位学生都已签约 5G 套餐，能否认为样本中早期体验用 户的人数有变化？说明理由. (17)（本小题 14 分） 如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， BB1 平面 ABC ， AB BC ， AA1 AB BC 2 （）求证： BC1 平面 A1B1C ； （）求异面直线 B1C 与 A1B 所成角的大小； （）点M 在线段 B1C 上，且 1 1 B M BC ( (0,1) ，点 N 在线段 A1B 上， 若 MN 平
10、面 A1 ACC1 ，求 1 1 A N A B 的值(用含 的代数式表示) (18)（本小题 13 分） 已知函数 f ( x) 1 3 x3 x2 3ax (a R) . （）若 f ( x) 在 x 1 时，有极值，求 a 的值； （）在直线 x 1 上是否存在点 P ，使得过点 P 至少有两条直线与曲线 y f ( x) 相切？若存在，求出 P 点坐标；若 不存在，说明理由. (19)（本小题 14 分） 已知椭圆 C : 2 2 2 1 x y a a 1 的离心率是 2 2 （）求椭圆 C 的方程； （）已知 F1 ， F2 分别是椭圆 C 的左、右焦点，过 F2 作斜率为 k 的
11、直线 l ，交椭圆 C 于 A, B 两点，直线 F1 A , F1B 分别交 y 轴于不同的两点 M , N . 如果 MF1 N 为锐角，求 k 的取值范围 (20)（本小题 13 分） 已知数列an ，记集合 1 ( , )( , ).,1. ,* iij TS i j S i jaaaiji jN （）对于数列an ：1，2，3，4 ，写出集合 T ； （）若 a n 2n ，是否存在 i , j N ，使得 S (i , j) 1024 ？若存在，求出一组符合条件的 i , j ；若不存在，说 明理由； （III）若 an 2n 2 ，把集合 T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为 B : b1 ， b2 ， ， bm ， . 若 bm 2020 ，求 m 的最大值
