1、第八章第八章 假设检验假设检验第一节第一节 概述概述第二节第二节 单个正态总体的假设检验单个正态总体的假设检验第三节第三节 两个正态总体的假设检验两个正态总体的假设检验第四节第四节 总体分布函数的假设检验总体分布函数的假设检验第一节第一节 概概 述述1、统计假设、统计假设 关于总体关于总体X的分布的分布(或随机事件之概率或随机事件之概率)的各种论的各种论断叫断叫统计假设统计假设(statistical hypothesis),简称简称假设假设,用用H表示表示.其中需要保护、不能轻易否定的假设称为其中需要保护、不能轻易否定的假设称为原假原假设设或或零假设零假设(null hypothesis），
2、），记为记为H0。当零假设。当零假设不成立时必定选择的假设称为不成立时必定选择的假设称为备择假设备择假设（alternative hypothesis），），记为记为H1。上一页上一页下一页下一页返回返回如果一个统计假设完全确定总体的分布，则称此假设如果一个统计假设完全确定总体的分布，则称此假设为为简单假设（简单假设（simple hypothesis）；）；否则就称之为否则就称之为复复合假设（合假设（complex hypothesis）。）。建立统计假设并依据样本，采用相应的统计方法，建立统计假设并依据样本，采用相应的统计方法，经过一定的程序，对零假设和备择假设作出取舍的经过一定的程序，对
3、零假设和备择假设作出取舍的过程就称为过程就称为假设检验（假设检验（hypothesis testing）。）。在已知总体分布形式情况下，对总体分布中的未知参在已知总体分布形式情况下，对总体分布中的未知参数作统计假设，这种仅涉及到总体分布之未知参数的数作统计假设，这种仅涉及到总体分布之未知参数的统计假设称为统计假设称为参数假设（参数假设（parameter hypothesis）。而。而在未知总体分布形式情况下在未知总体分布形式情况下,对总体分布形式作统计假对总体分布形式作统计假设，这种直接对总体分布形式所做的统计假设称为设，这种直接对总体分布形式所做的统计假设称为非非参数假设（参数假设（non
4、-parameter hypothesis）。）。上一页上一页下一页下一页返回返回2、假设检验的基本思想、假设检验的基本思想之之间间的的差差异异解解释释为为：与与假假设设的的总总体体均均值值样样本本均均值值0 X是是完完全全可可能能的的；之之间间出出现现某某种种差差异异与与由由于于抽抽样样的的随随机机性性，均均值值是是正正确确的的，即即总总体体样样本本原原假假设设000)1(XH 显显著著性性差差异异。的的差差异异，或或者者说说，存存在在的的，而而是是存存在在实实质质性性之之间间的的差差异异不不是是随随机机性性与与，本本均均值值是是不不正正确确的的，即即总总体体样样原原假假设设000)2(XH
5、 上一页上一页下一页下一页返回返回。或或取取通通常常概概率率，小小的的概概率率都都被被认认为为是是小小或或比比，称称为为显显著著性性水水平平。概概率率确确定定一一个个足足够够小小的的临临界界01.005.005.005.0 00 XPX，即即的的概概率率等等于于机机事事件件原原假假设设成成立立的的条条件件下下随随，使使临临界界值值值值取取定定的的条条件件下下，确确定定然然后后在在。；否则就不能拒绝如果是，就拒绝，界值的值是否达到或超过临最后看000HHx上一页上一页下一页下一页返回返回的的确确定定临临界界值值 200000(,),(0,1)XXNHuNn若为真时，统计量nZXPZnXPZuP2
6、002002 有02Zn得临界值。时，接受时，拒绝02000200;HZnxHZnx上一页上一页下一页下一页返回返回:检检验验的的基基本本步步骤骤.,)1(10HH 及及备备择择假假设设提提出出原原假假设设根根据据实实际际问问题题的的要要求求.)2(n以以及及样样本本容容量量选选取取适适当当的的显显著著性性水水平平 .,.,)3(00WHUUPUHU记记作作的的拒拒绝绝域域所所确确定定的的区区域域为为称称使使找找出出临临界界值值要要已已知知的的分分布布为为真真时时当当构构造造检检验验用用的的统统计计量量 .,)4(0UU的的观观察察值值计计算算统统计计量量根根据据样样本本观观察察值值取取样样)
7、.(;,)5(001000HHHHWUUU接接受受相相容容说说否否则则就就接接受受则则拒拒绝绝内内落落入入拒拒绝绝域域若若比比较较与与临临界界值值的的观观察察值值将将作作出出判判断断 上一页上一页下一页下一页返回返回3、两类错误、两类错误(2)原假设原假设H0实际是不正确的，但是却被错误的接受了，实际是不正确的，但是却被错误的接受了，这样就犯了这样就犯了“纳伪纳伪”的错误，通常称为的错误，通常称为第二类错误第二类错误（type error）,其发生的概率其发生的概率P接受接受H0 H0不不真真=.(1)原假设原假设H0实际是正确的，但是却被错误地拒绝了，实际是正确的，但是却被错误地拒绝了，就犯
8、了就犯了“弃真弃真”的错误，通常称为的错误，通常称为第一类错误第一类错误（type error）.由于仅当小概率事件由于仅当小概率事件A发生时才拒绝发生时才拒绝H0，所以犯第一类，所以犯第一类错误的概率就是条件概率错误的概率就是条件概率P拒绝拒绝H0 H0为真为真=.上一页上一页下一页下一页返回返回第二节第二节单个正态总体的假设检验单个正态总体的假设检验 niiXnX11 niiXXnS122)(11设总体设总体 ，抽取容量为，抽取容量为n的样本的样本X1，X2，Xn，样本均值与样本方差分别是，样本均值与样本方差分别是),(2 NX在一定条件下检验关于未知参数在一定条件下检验关于未知参数 或或
9、 的某些假设的某些假设 2 1.单个正态总体数学期望的假设检验单个正态总体数学期望的假设检验上一页上一页下一页下一页返回返回（1）已知已知 关于的关于的 检验（检验（检验法）检验法）Z2 设总体设总体 ,当当 已知时已知时,检验假设检验假设2),(2 NX)(:;:00100为为已已知知常常数数 HHnXZ 由由)1,0(),(NnXnNX ，选取选取为假设检验的统计量为假设检验的统计量.,),1,0(,)(2200zZPzNZH使使可可求求对对于于给给定定的的显显著著性性水水平平时时正正确确为为真真时时当当假假设设上一页上一页下一页下一页返回返回 22zZPzZP即即22 2 12P ZzP
10、 Zz从而有.2/,212Z分位点得表反查标准正态分布函数利用概率 上一页上一页下一页下一页返回返回的的观观察察值值计计算算统统计计量量利利用用样样本本观观察察值值Zxxxn,21nxz 00 0201020,(),.azzHHzzH（）则在显著性水平 下 拒绝原假设接受备择假设所以就是的拒绝域0200,.bzzHH（）则在显著性水平 下接受原假设认为原假设正确0(0,1).HNZZ利用为真时服从分布的统计量 来确定拒绝域的这种检验方法称为 检验法上一页上一页下一页下一页返回返回nSXt0 作为检验统计量。作为检验统计量。)1(0 ntnSXt(2)未知时，关于未知时，关于 的检验（的检验（t
11、检验法）检验法）2 当当H0为真时，为真时，求检验问题求检验问题H0：；H1：的拒绝域的拒绝域（显著性水平为（显著性水平为 ）。由于）。由于 未知，不能再利用未知，不能再利用Z作作为检验统计量了。注意到为检验统计量了。注意到S2是是 的无偏估计的无偏估计,用用S2来来 代替代替 ，即采用，即采用0 0 2 2 2 上一页上一页下一页下一页返回返回可得关于可得关于 的各种不同的假设检验问题的拒绝域。这的各种不同的假设检验问题的拒绝域。这种用种用t统计量作为检验统计量的检验法称为统计量作为检验统计量的检验法称为t检验法。检验法。0/2|(1).attn所以关于H 的拒绝域为 上一页上一页下一页下一
12、页返回返回例例8.3 用某仪器间接测量温度，重复用某仪器间接测量温度，重复5次，所得的数次，所得的数据是据是1250,1265，1245，1260，1275，而用，而用别的精确办法测得温度为别的精确办法测得温度为1277(可看作温度的真可看作温度的真值），试问此仪器间接测量有无系统偏差？这里假设值），试问此仪器间接测量有无系统偏差？这里假设测量值测量值X服从服从N（，2）分布）分布.上一页上一页下一页下一页返回返回解解 问题是要检验问题是要检验 H0：=0=1277；H1：0.由于由于2未知（即仪器的精度不知道），我们选取统未知（即仪器的精度不知道），我们选取统计量计量 0/XtSn上一页上一
13、页下一页下一页返回返回001259 127718|3.5.399/(570)/(4 5)xtsn当当H0为真时，为真时，tt（n-1），），t的观察值为的观察值为对于给定的检验水平对于给定的检验水平=0.05，由，由Ptt/2（n-1）=，Ptt/2（n-1）=/2，Ptt0.025(4)=0.025，查查t分布表得双侧分布表得双侧分位点分位点t/2（n-1）=t0.025(4)=2.776.因为因为t03t0.025(4)=2.776，故应拒绝故应拒绝H0，认为该仪认为该仪器间接测量有系统偏差器间接测量有系统偏差(3)双边检验与单边检验双边检验与单边检验用统计量用统计量u的值来做检验，的值来
14、做检验，称这种统计量为称这种统计量为检验统计量检验统计量。当检验统计量的观测值的绝对值不小于临界值当检验统计量的观测值的绝对值不小于临界值 ，即即u的观测值落在区间的观测值落在区间 或或 内时，内时，拒绝原假设拒绝原假设H0，通常称这样的区间为，通常称这样的区间为关于原假设关于原假设H0的的拒绝域（简称拒绝域）拒绝域（简称拒绝域）。2 u),(2 u),(2 u当检验统计量的观测值的绝对值小于临界值当检验统计量的观测值的绝对值小于临界值 ，即即u的观测值落在的观测值落在 内时，我们接受原假内时，我们接受原假设设H0，称这样的区间为，称这样的区间为关于原假设关于原假设H0的接受域（简的接受域（简
15、称接受域）。称接受域）。2 u,22 uu 上一页上一页下一页下一页返回返回H0为为=0,而备择假设而备择假设H1表明表明 可能大于可能大于 0，也可能小于也可能小于 0，称之为，称之为双边备择假设双边备择假设。备择假设为双边备择假设的检验问题备择假设为双边备择假设的检验问题称为称为双边假设检验（双边假设检验（two-sided test）问题）问题。当统计量的观测值落在当统计量的观测值落在 内时，则拒绝原假设内时，则拒绝原假设H0。因为拒绝域位于一边，所以称这类假设检验为。因为拒绝域位于一边，所以称这类假设检验为单单边假设检验（边假设检验（one-sided test）。）。),(u上一页上
16、一页下一页下一页返回返回(1)双边检验双边检验2、单个正态总体方差的假设检验、单个正态总体方差的假设检验(检验法）检验法）2 设总体设总体 ,未知时未知时,检验假设检验假设),(2 NX)(:;:202012020为为已已知知常常数数 HH)1()1(220220 nSnH 为为真真时时 1)1()1(222221nnP有有对对于于给给定定的的显显著著性性水水平平.,2分分布布表表可可得得分分布布分分位位点点查查对对于于给给定定的的 上一页上一页下一页下一页返回返回)1()1(2222210 nnH 的的接接受受域域是是)1()1(22222120 nnH 或或的的拒拒绝绝域域是是.22检验法
17、为进行假设检验的方法称态总体方差分布的统计量对单个正这种服从上一页上一页下一页下一页返回返回(2)单边检验单边检验(右检验或左检验右检验或左检验)设总体设总体 ,未知时未知时,检验假设检验假设),(2 NX)(:;:2012020右右检检验验 HH2*20220)1(SnH 为为真真时时 )1(22*nP有有对对于于给给定定的的显显著著性性水水平平 )1()1(22*22nPnP于于是是有有)(1()1(220220右右检检验验的的拒拒绝绝域域是是 nSnH 上一页上一页下一页下一页返回返回的的拒拒绝绝域域为为可可得得左左检检验验假假设设同同理理2012020:;:,HH221(1)n(左检验
18、上一页上一页下一页下一页返回返回第三节第三节两个正态总体的假设检验两个正态总体的假设检验设总体设总体 ，总体，总体 ，从两从两个总体中分别独立抽取样本个总体中分别独立抽取样本X1，X2，及及Y1，Y2，Yn ，样本均值与样本方差分别是，样本均值与样本方差分别是 1111niiXnX 112121)(11niiXXnS及及 2121njjYnY 212222)(11niiYYnS来检验关于参数来检验关于参数 的某些假设。的某些假设。),(211 NX),(222 NY222121,1nX2上一页上一页下一页下一页返回返回1、两正态总体数学期望假设检验、两正态总体数学期望假设检验（1）方差方差已知
19、，关于已知，关于数学期望数学期望的假设检验的假设检验(Z检验法检验法)考虑检验问题考虑检验问题H0：；H1：21 21 22121212(,)(,)XNYNnn，21)()()(YEXEYXE222121)()()(nnYDXDYXD ),(22212121nnNYX 故故上一页上一页下一页下一页返回返回0221212,(0,1)XYZHZNnn(1)选取统计量当为真时)1,0()()(22212121NnnYX 从而从而222,12zP ZzP Zz(2)对于给定的显著性水平查标准正态分布表求使或00221122:()()Zzxyznn(3)由两个样本观察值计算 的观察值上一页上一页下一页下
20、一页返回返回0201,;zzHH(4)作出判断:若则拒绝原假设接受备择假设.,0020HHzz可可以以接接受受原原假假设设相相容容则则与与原原假假设设若若 上一页上一页下一页下一页返回返回(2)方差未知，关于均值的假设检验方差未知，关于均值的假设检验(t检验法检验法)(:;:,),(),(,21121022212221222211双双边边假假设设检检验验假假设设但但未未知知独独立立与与设设二二正正态态总总体体 HHNYNXYX)2(11)()(212121 nntnnSYXtw 随随机机变变量量)2()1()1(21222211 nnSnSnSw其中其中上一页上一页下一页下一页返回返回)2(1
21、1 ,21210 nntnnSYXtHw统统计计量量为为真真时时假假设设 )2()2(,212212nnttPnntt使使分分布布表表求求查查对对于于给给定定的的显显著著性性水水平平)1()1(210nnSyxttw 的的观观察察值值由由样样本本观观察察值值计计算算.),2(02120Hnntt则则拒拒绝绝原原假假设设若若 .),2(02120Hnntt则则接接受受原原假假设设若若 上一页上一页下一页下一页返回返回统计量统计量2221SSF 2、两正态总体方差的假设检验、两正态总体方差的假设检验(F检验法检验法)(1)双边检验双边检验2221122210212121222211:;:,；,),
22、(),(,21HHYYYYXXXXNYNXYXnn检验假设未知样本的是总体的样本是总体独立与设两正态总体)1,1(2122222121*nnFSSF 随随机机变变量量上一页上一页下一页下一页返回返回)1,1(,212221 nnFSSF统统计计量量假假设设成成立立时时)1,1()1,1(,2122121 nnFnnFF 与与分分布布表表求求临临界界值值查查对对于于给给定定的的显显著著性性水水平平 1)1,1()1,1(2122121nnFFnnFP使使得得)1,1()1,1(21221210 nnFFnnFH 的的接接受受域域为为)1,1()1,1(21221210 nnFFnnFFH 或或的
23、的拒拒绝绝域域为为.,00HHF则则接接受受若若落落在在接接受受域域中中则则拒拒绝绝的的观观察察值值落落在在拒拒绝绝域域中中若若上一页上一页下一页下一页返回返回第四节第四节总体分布函数的假设检验总体分布函数的假设检验检验法检验法2 在总体的样本分布未知时在总体的样本分布未知时,根据样本值根据样本值x1,x2,xn来检验来检验关于总体分布的假设关于总体分布的假设).(:);(:10 xFXHxFXH的的分分布布函函数数不不是是总总体体的的分分布布函函数数为为总总体体的一种方法的一种方法.上一页上一页下一页下一页返回返回检验法的基本思想与方法检验法的基本思想与方法:2).,.,2,1)(,),.,
24、2,1,;,(,)1(0121kiAppHkjijiAAAAAAkiijikiik 计计算算概概率率为为真真时时于于是是在在个个互互不不相相容容事事件件分分为为全全体体将将随随机机试试验验可可能能结结果果的的 .)(.)2(0122的统计量的统计量作为检验作为检验使用使用及相应的分布及相应的分布寻找用于检验的统计量寻找用于检验的统计量Hpnpnfkiiii 0022(50),(),1,.nnHHkrr定理8.1 若 充分大则当为真时 不论中的分布属什么分布 统计量总是近似地服从自由度为的分布 其中 是被估计的参数的个数上一页上一页下一页下一页返回返回)1()1()1(,)3(220222 rkHrkPrk 的的拒拒绝绝域域为为从从而而得得到到使使查查表表确确定定临临界界值值对对于于给给定定的的检检验验水水平平.)1(,.,)4(2221比比较较并并与与的的值值计计算算由由样样本本值值 rkxxxn .);(,),1()5(0022HxFHrk否否则则接接受受函函数数为为即即不不能能认认为为总总体体分分布布则则拒拒绝绝若若 上一页上一页下一页下一页返回返回
