1、第四章 区间估计和假设检验目录 n区间估计和假设检验n4.1 正态总体的均值、方差的区间估计n4.2 均值、方差的假设检验n4.3 正态性检验n4.4 非参数秩和检验n4.4.1配对的符号检验n4.4.2 成组数据的秩和检验返回返回作业思考题1区间估计和假设检验 n利用样本的信息对总体的特征进行统计推断，是统计学要解决的主要问题之一。它通常包括两类方面：一类是进行估计，包括参数估计、分布函数的估计以及密度函数的估计等；另一类是进行检验。在这里，首先利用SAS提供的MEANS、UNIVARIATE和TTEST等过程对应用广泛的正态总体参数进行区间估计和假设检验，其次再来介绍对观测数据的正态性进行
2、检验，最后介绍一些常用的非参数检验方法 本章本章目录目录2区间估计和假设检验1 正态总体的均值、方差的区间估计 区间估计是通过构造两个统计量 ，能以 的置信度使总体的参数落入 区间中，即 。其中 称为显著性水平或检验水平，通常取 或 ；分别称为置信下限和置信上限,)%1(100,1P05.001.0,本章本章目录目录3区间估计和假设检验 1 正态总体的均值、方差的区间估计 n对于单个子样而言，设 是取自 的一个样本；n对两个子样而言，设 ，是分别取自 和 的样本（分别为二者的样本方差），则有如下结论),(2N2,.,21nYYY),(121N),(222Nyxss22,nXXX,.,211,.
3、,21nXXX本章本章目录目录4区间估计和假设检验 1 正态总体的均值、方差的区间估计 nuX/2nuX/22nstXn/)(21nstXn/)(2122)()(2212nniiX)1()(2212nniiX)()1(2122nsn)1()1(2122nsn 待估参数置信下限置信上限备注单个子样已知未知已知未知本章本章目录目录5区间估计和假设检验 1 正态总体的均值、方差的区间估计 212221122)(nnuXY2221122)(nnuXY2212,212121222122/)2()()1()()(21nnnnnnsnsntXYyxnn212121222122/)2()()1()()(21n
4、nnnnnsnsntXYyxnn2212,2212)(21,12221 nnyxFss)1(21,12221 nnyxFss2212,待估参数置信下限置信上限 备注两个子样 已知 未知 未知本章本章目录目录6区间估计和假设检验1 正态总体的均值、方差的区间估计 n1 正态总体的均值、方差的区间估计注：，分别表示标准正态分布，（自由度为 ），-分布（自 由 度 为 ），分 布（自 由 度为 ）的上 分位点。u)(1nt)(12n)(1,121 nnF分布t1n21n1nF)1,1(21nn本章本章目录目录7区间估计和假设检验 1 正态总体的均值、方差的区间估计 n例1n设某厂一车床生产的钮扣，其
5、直径据经验服从正态 ，。为了判断其均值的置信区间，现抽取容量n=100的子样，其子样均值=26.56，求其均值的95%的置信区间.),(20N2.50本章本章目录目录8区间估计和假设检验 1 正态总体的均值、方差的区间估计 nSAS程序为data val1;xbar=26.56;sigma=5.2;n=100;u=probit(0.975);delta=u*sigma/sqrt(n);lcl=xbar-delta;ucl=xbar+delta;Run;proc print data=val1;var lcl xbar ucl;run;本章本章目录目录9区间估计和假设检验 1 正态总体的均值、方
6、差的区间估计 SAS程序为其输出结果为:LCL XBAR UCL 25.5408 26.56 27.5792即总体均值的95%的置信区间为25.5408，27.5792；本章本章目录目录10区间估计和假设检验 1 正态总体的均值、方差的区间估计 n例2n检验某种型号玻璃纸的横向廷伸率。测得的数据如下 横向廷伸率%35.5 37.5 39.5 41.5 43.5 45.5 47.5 49.5 51.5 53.5 55.5 57.5 59.5 61.5 63.5频数 7 8 11 9 9 12 17 14 5 3 2 0 2 0 1现在要检验假设 ,并求出其95%的置信区间 65:00H本章本章目
7、录目录11区间估计和假设检验 1 正态总体的均值、方差的区间估计 nSAS程序为：data var22;input x fx;y=x-65;cards;35.5 7 37.5 8 39.5 11 41.5 9 43.5 9 45.5 12 47.5 17 49.5 1451.5 5 53.5 3 55.5 2 57.5 0 59.5 2 61.5 0 63.5 1;proc means data=var22 t prt clm;var y;freq fx;run;CLM表示要输出95%置信区间 本章本章目录目录12区间估计和假设检验 1 正态总体的均值、方差的区间估计 n输出结果：分析变量:Y
8、 T-统计量 Prob|T|95.0%置信下界 95.0%置信上界 -34.29|t|fatpct Pooled Equal 21 -1.70 0.1031 fatpct Satterthwaite Unequal 20.5 -1.73 0.0980 Equality of Variances Variable Method Num DF Den DF F Value Pr F fatpct Folded F 12 9 1.29 0.7182本章本章目录目录16区间估计和假设检验 1 正态总体的均值、方差的区间估计 其结论为其结论为：n所测不同性别的人的脂肪含量没有显著差别。本章本章目录目录1
9、7区间估计和假设检验 1 正态总体的均值、方差的区间估计 n例4 假定初生婴儿（男孩）的体重服从正态分布，随机抽取12名新生婴儿，测其体重为3100，2520，3000，3000，3600，3160，3560，3320，2880，2600，3400，2540。试给出新生婴儿体重方差的置信区间（置信度为95%）。本章本章目录目录18区间估计和假设检验 1 正态总体的均值、方差的区间估计 n例4 SAS程序为data val2;input weight;cards;3100 2520 3000 3000 3600 3160 3560 3320 2880 2600 3400 2540run;proc
10、 means data=val2;output out=tval1 css=ss n=n;Run;data tval2;set tval1;df=n-1;xlchi=cinv(0.025,df);xuchi=cinv(0.975,df);lchi=ss/xuchi;uchi=ss/xlchi;Run;proc print data=tval2;var lchi uchi;run;本章本章目录目录19区间估计和假设检验1 正态总体的均值、方差的区间估计 输出结果如下：LCHI UCHI 70687.19 406071.51即方差的置信区间为：70687.19，406071.51 本章本章目录目录
11、20区间估计和假设检验n假设检验是从样本特征出发去判断关于总体分布的某种“看法”是否成立。n一般步骤为:2 均值、方差的假设检验（1）根据问题提出一个原假设H0和备择假设H1（2）构造一个统计量T，其抽样分布不依赖任何参数（3）计算概率值（4）判断：若 ，则拒绝原假设H0，否则接受H1。p)|),.,(021HxxxTTPpn超过统计量本章本章目录目录21区间估计和假设检验 2 均值、方差的假设检验 n单正态总体的参数的假设检验条件 10:HH 检 验 统 计 量 拒 绝 H0 00:),.,(21nxxxUUPp 00:|),.,(|21nxxxUUPp 2已知 00:nXU0),.,(21
12、nxxxUUPp 00:),.,(211nnxxxttPp 00:|),.,(|211nnxxxttPp 2未知 00:nsXt0),.,(211nnxxxttPp 本章本章目录目录22区间估计和假设检验 2 均值、方差的假设检验 n单正态总体的参数的假设检验条件 10:HH 检 验 统 计 量 拒 绝H0 022022:),.,(21212nnxxxPp 022022:221212221212),.,(),.,(nnnnxxxPpxxxPp或 未知 022022:0222)1(sn),.,(21212nnxxxPp 本章本章目录目录23区间估计和假设检验 2 均值、方差的假设检验 n两正态总
13、体的参数的假设检验条 件 10:HH 检 验 统 计 量 拒 绝H0 2121:),.,;,.,(2111nnyyxxUUPp 2121:|),.,;,.,(|2111nnyyxxUUPp 12 22 已 知 2121:222112nnYXU),.,;,.,(2111nnyyxxUUPp 本章本章目录目录24区间估计和假设检验 2 均值、方差的假设检验 n两正态总体的参数的假设检验条 件 10:HH 检 验 统 计 量 拒 绝H0 2121:),.,;,.,(2121112nnnnyyxxttPp 2121:|),.,;,.,(|2121112nnnnyyxxttPp 1222 未知但 相 等
14、 2121:2111nnSYXtw),.,;,.,(2121112nnnnyyxxttPp 本章本章目录目录25区间估计和假设检验 2 均值、方差的假设检验 n两正态总体的参数的假设检验条 件 10:HH 检 验 统 计 量 拒 绝H0 2121:),.,;,.,(2111*nnlyyxxttPp 2121:|),.,;,.,(|2111*nnlyyxxttPp 1222 未知且 不 相 等 2121:2212*nsnsYXtyx),.,;,.,(2111*nnlyyxxttPp 本章本章目录目录26区间估计和假设检验 2 均值、方差的假设检验 n两正态总体的参数的假设检验条件 10:HH 检
15、验统计量 拒绝 H0 22122212:),.,;,.,(2121111,1nnnnyyxxFFPp 22122212:2111,1),.,;,.,(2121nnnnyyxxFFPp或 2111,1),.,;,.,(2121nnnnyyxxFFPp 1 2 未知 22122212:yxssF22),.,;,.,(2121111,1nnnnyyxxFFPp 其中2)1()1(212221nnsnsnSyxw，)1()1()(222212122212nnsnnsnsnslyxyx 本章本章目录目录27区间估计和假设检验 2 均值、方差的假设检验 n假设检验与区间估计的关系（1）在1的置信度下，若两
16、个置信限同号，则00:H，210:H在水平上被否定。反之，若两个置信限异号，则上述原假设在水平上被接受。（2）若两个置信限均为正，则有0或21。或两个置信限均为负，则有0或21 本章本章目录目录28区间估计和假设检验 2 均值、方差的假设检验 n例5n设某厂一车床生产的钮扣，其直径据经验服从正态 ，。为了判断其均值的置信区间，现抽取容量n=100的子样，其子样均值=26.56，请检验假设是否成立：),(20N2.5026:00H本章本章目录目录29区间估计和假设检验 2 均值、方差的假设检验 n例5 SAS程序data val3;xbar=26.56;mu=26;sigma=5.2;n=100
17、;u=sqrt(n)*abs(xbar-mu)/sigma;p=2*(1-probnorm(u);Run;proc print data=val3;var u p;run;本章本章目录目录30区间估计和假设检验 2 均值、方差的假设检验 n结果 U P 1.07692 0.28151表明在0.05显著性水平下接受原假设。本章本章目录目录31区间估计和假设检验 2 均值、方差的假设检验 n例6 方差的假设检验 一自动车床加工零件的长度服从正态分布),(2N，原来的加工精度18.020。经过一段时间的生产后，抽取这车床所加工的 n=31 个零件，测得数据如下:零件长度 xi 10.1 10.3 1
18、0.6 11.2 11.5 11.8 12.0 频数 ni 1 3 7 10 6 3 1 现在要检验该车床是否保持原来的加工精度,即18.0:20H 本章本章目录目录32区间估计和假设检验 2 均值、方差的假设检验 n例6 方差的假设检验 这事实上是一个单侧检验问题。因为车床的精度不会自动提高，最多只能保持原来的水平，其备择假设则是车床的精度下降。本章本章目录目录33区间估计和假设检验 2 均值、方差的假设检验 SAS程序为：data val4;input x fx;cards;10.1 1 10.3 3 10.6 7 11.2 10 11.5 6 11.8 3 12 1run;proc me
19、ans data=val4;var x;freq fx;output out=tval1 css=ss n=n;Run;data tval2;set tval1;sigma=0.18;df=n-1;chi=ss/sigma;p=1-probchi(chi,df);Run;proc print data=tval2;var chi p;run;本章本章目录目录34区间估计和假设检验 2 均值、方差的假设检验 结果为：CHI P 44.4552 0.043345 在0.05显著性水平下拒绝原假设，接受备择假设，即认为该车床经过一段时间的使用后，其精度有所下降。本章本章目录目录35区间估计和假设检验
20、 2 均值、方差的假设检验 n例7 成对数据的t检验和区间估计 设某个班级20名学生参加了两次课程的考试（成绩在下面的程序中），现想知道两次考试的难度是否相同？本章本章目录目录36区间估计和假设检验 2 均值、方差的假设检验 data sta;input student exam1 exam2;scordiff=exam2-exam1;cards;1 93 98 2 88 74 3 89 67 4 88 92 5 67 83 6 89 90 7 83 74 8 94 97 9 89 96 10 55 81 11 88 83 12 91 9413 85 89 14 70 78 15 90 96
21、16 90 9317 94 81 18 67 81 19 87 93 20 83 91Run;proc means data=sta t prt clm;var scordiff;run;本章本章目录目录37区间估计和假设检验 2 均值、方差的假设检验 输出结果如下：MEANS过程中的选择项t prt clm等要求求出t值，概率值及置信上下限，其结果为：分析变量:SCORDIFF T-统计量 Prob|T|95.0%置信下界 95.0%置信上界 1.0394501 0.3116 -2.5846489 7.6846489从而可看出，这两次考试的难度相当，其95%的置信区间为-2.5846489，
22、7.6846489 本章本章目录目录38区间估计和假设检验n判断总体的分布是否为正态总体的假设检验称为正态性检验。从上面可以看出，许多统计结论是基于正态总体的，因此如何来判断某样本是否来自正态总体就显得非常重要。目前，正态性检验的方法很多，这里主要介绍SAS中常用的分布拟合优度检验，W检验和偏度峰度检验，Q-Q图检验等方法。3 正态性检验 本章本章目录目录39区间估计和假设检验 3 正态性检验 n判断总体的分布是否为正态总体的假设检验称为正态性检验。从上面可以看出，许多统计结论是基于正态总体的，因此如何来判断某样本是否来自正态总体就显得非常重要。目前，正态性检验的方法很多，这里主要介绍SAS中
23、常用的分布拟合优度检验，W检验和偏度峰度检验，Q-Q图检验等方法。本章本章目录目录40区间估计和假设检验 3 正态性检验 分布拟合优度检验，是用经验分布)(xFn与原假设指定的分布函数)(xF间的差来进行假设检验的，其中常见 的 统 计 量 是Kolmogorov-Smimov给 出 的|)()(|supxFxFDnxn。显然，此值愈大，表示数据不服从正态分布，具体地可通过),.,(21nxxxDDPp来判断。此外还有 Anderson-Darling 统计量：)()(1)()()(122xdFxFxFxFxFnAn Cramer-von Mises 统计量：)()()(22xdFxFxFnW
24、n 本章本章目录目录41区间估计和假设检验 3 正态性检验 在 SAS 的 UNIVARIATE 过程中，给出了检验正态性的统计量，当2000n时，使用的是 ShapiroShapiro-WilksWilks 的 W 检验，其检验统计量为niiiiiniXXXXaWn1221)()1()()(2，其中ia为W检验系数，其值介于 01 之间，当W值愈接近于 1，则表示服从正态分布，反之，W值愈接近于 0，则表示不服从正态分布，即),.,(21nxxxWWPp，则拒绝原假设，说明数据不是来自正态总体。当2000n时，则使用 KolmogorovKolmogorov-SmimovSmimov 的D统
25、计量。本章本章目录目录42区间估计和假设检验 3 正态性检验 对于偏度和峰度值，MEANS 和 UNIVARIATE 等过程均可给出，但并没有给出相应的检验，事实上要求二者同时满足以下不等式，才认为原总体是正态总体。ngnngn242242626221，其中21,gg的定义见第二章。此即偏峰检验 此外利用直方图和 Q-Q 图亦可对数据是否来自正态总体也可以进行判断。本章本章目录目录43区间估计和假设检验 3 正态性检验 n例8已知已知20名学生的各科平均成绩为名学生的各科平均成绩为:56,23,59,74,49,43,39,51,37,61,43,51,61,99,23,56,49,49,75
26、,20 试检验其正态性试检验其正态性 本章本章目录目录44区间估计和假设检验 3 正态性检验 n例8 分布拟合优度检验和Q-Q图检验SAS程序为：data score;input x;cards;56 23 59 74 49 43 39 51 37 6143 51 61 99 23 56 49 49 75 20run;proc univariate data=score normal plot;var x;run;run;n正态性检验 nQ-Q图检验 本章本章目录目录45区间估计和假设检验 3 正态性检验 n例8 分布拟合优度检验和Q-Q图检验程序中NORMAL要求进行正态性检验，其结果输出为
27、：W:Normal 0.94955 Pr D 0.150 Cramer-von Mises W-Sq 0.06025691 Pr W-Sq 0.250 Anderson-Darling A-Sq 0.39276386 Pr A-Sq 0.250 Chi-Square Chi-Sq 3.00661099 3 Pr Chi-Sq 0.391从这里亦可判断该数据是来自正态总体。本章本章目录目录52区间估计和假设检验 3 正态性检验 n例8 图形法（拟合分布法）data score;input x;cards;56 23 59 74 49 43 39 51 37 61 43 51 61 99 23 5
28、6 49 49 75 20run;proc capability data=score graphics;cdfplot x/normal;run;本章本章目录目录53区间估计和假设检验 3 正态性检验 此程序中 cdfplot x/normal 语句要求对变量（x）作正态（/normal）累计分布图（cdfplot），作图结果如下。它也表明该数据来自正态总体。这两种方法事实上也可作为分布的拟合办法。本章本章目录目录54区间估计和假设检验 n在前面的假设检验中，总是假定样本来自正态分布在前面的假设检验中，总是假定样本来自正态分布（即某一已知分布），且总是对正态分布的参数进行（即某一已知分布），
29、且总是对正态分布的参数进行假设检验，故称此法为参数假设检验。然而在实际中，假设检验，故称此法为参数假设检验。然而在实际中，总体的分布往往很难确定，故用参数检验有其局限性，总体的分布往往很难确定，故用参数检验有其局限性，因而产生另一类不依赖于分布的假设检验方法，即非因而产生另一类不依赖于分布的假设检验方法，即非参数假设检验，其检验也不是对参数进行比较，而是参数假设检验，其检验也不是对参数进行比较，而是用于分布间的比较。非参数检验方法很多，这里只讲用于分布间的比较。非参数检验方法很多，这里只讲用于配对资料的符号检验和用于两个样本间比较的用于配对资料的符号检验和用于两个样本间比较的Wilcoxon秩
30、和检验（多样本间比较则为秩和检验（多样本间比较则为Kruskal-Wallis秩和检验）秩和检验）4 非参数秩和检验 本章本章目录目录55区间估计和假设检验 4 非参数秩和检验 4.1配对的符号检验配对的符号检验 符号检验是根据配对资料差值的正、负符号来符号检验是根据配对资料差值的正、负符号来进行假设检验的一种方法，它不依赖总体分进行假设检验的一种方法，它不依赖总体分布布,，适应面广，适应面广 本章本章目录目录56区间估计和假设检验 4 非参数秩和检验 4.1配对的符号检验配对的符号检验 n例例8(配对符号检验配对符号检验):用二乙胺化学法与气相色用二乙胺化学法与气相色谱法测定车间空气中谱法测
31、定车间空气中CS2的含量的含量(mg/m3),其测其测量值见表量值见表,问两法所得结果有无差别问两法所得结果有无差别?两种方法测定车间空气中两种方法测定车间空气中CS2的含量（的含量（mg/m3）样品号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10化学法 50.7 3.3 28.8 46.2 1.2 25.5 2.9 5.4 3.8 1.0色谱法 60.0 3.3 30.0 43.2 2.2 27.5 4.9 5.0 3.2 4.0本章本章目录目录57区间估计和假设检验 4 非参数秩和检验 4.1配对的符号检验配对的符号检验 n例例8(配对符号检验配对符号检验)data cs2;input x y
32、;diff=x-y;cards;50.7 60.0 3.3 3.3 28.8 30.0 46.2 43.2 1.2 2.225.5 27.5 2.9 4.9 5.4 5.0 3.8 3.2 1.0 4.0;proc univariate data=cs2 normal;var diff;run;本章本章目录目录58区间估计和假设检验 4 非参数秩和检验 4.1配对的符号检验配对的符号检验 n例例8(配对符号检验配对符号检验)n输出结果为：M(Sign)-1.5 Pr=|M|0.5078W:Normal 0.854817 PrW 0.0638从正态性检验的结果来看，在从正态性检验的结果来看，在0
33、.1显著性水平下拒绝这两种方法所测显著性水平下拒绝这两种方法所测数据的差值服从正态分布数据的差值服从正态分布(0.0638|Z|=0.0003 T-Test Approx.Significance=0.0017 Kruskal-Wallis Test(Chi-Square Approximation)CHISQ=13.174 DF=1 Prob CHISQ=0.0003结果表明实验组的秩和为170,对照组的秩和为83，在H0下的期望值分别为115和138，标准差为15.1529004和15.1529004。平均秩为17和6.9166667。对较小样本的秩和S=170，其Z=3.59667，Prob|Z|=0.0003，说明这两组数据间有差别。本章本章目录目录返回返回64
