1、点、直线、平面的位置关系练习题型总结1.(2009湖南)平行六面体ABCDA1B1C1D1中,既与 AB共面也与CC1共面的棱的条数为 ()A.3 B.4 C.5 D.6 解析 如图所示,用列举法知 符合要求的棱为 BC、CD、C1D1、BB1、AA1.C2.(2009湖南)正方体ABCDA1B1C1D1的棱上到异 面直线AB、CC1的距离相等的点的个数为 ()A.2 B.3 C.4 D.5 解析 如图所示,棱BC的中点M 到异面直线AB、CC1的距离都等 于棱长的一半,点D、B1到异面直 线AB、CC1的距离都等于棱长,棱 A1D1的中点到异面直线AB、CC1 的距离都等于棱长的 倍.25C
2、3.平面 平面 的一个充分条件是 ()A.存在一条直线a,B.存在一条直线a,C.存在两条平行直线a,b,D.存在两条异面直线a,b,解析 故排 除A.故排除B.故 排除C./,/aa/,aa/,/,baba/,/,baba,/,/,/,aaaalal若,/,/,alaal则若,/,/,/,/,balbblaal则若D4.已知两条直线m,n,两个平面 给出下面四个命 题:其中正确命题的序号是 ()A.B.C.D.解析 中,m,n有可能是异面直线;中,n有可能在 上,都不对,故选C.nmnm,/,/nmnmnmnm/,/nmnm,/,/C,题型一 空间点、线、平面之间的位置关系【例1】如图所示,
3、平面ABEF平 面ABCD,四边形ABEF与ABCD都 是直角梯形,BAD=FAB=90,G,H分别为 FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形；(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?(3)【面面垂直】设AB=BE,证明:平面ADE平面CDE.,21/,21/AFBEADBC(1)证明 由题意知,FG=GA,FH=HD,所以 所以四边形BCHG是平行四边形.(2)解 C,D,F,E四点共面.理由如下：G是FA的中点知,所以EFBG.由(1)知BGCH,所以EFCH,故EC,FH共面.又点D在直线FH上.所以C,D,F,E四点共面.,21/AFBE由,/GFBE,/,21/,
4、21/BCGHADBCADGH又(3)证明 连接EC,由AB=BE,及BAG=90知ABEG是正方形.故BGEA.由题设知FA,AD,AB两两垂直,故AD平面FABE,因此EA是ED在平面FABE内的射影，根据三垂线定理,BGED.又EDEA=E,所以BG平面ADE.由(1)知CHBG,所以CH平面ADE.由(2)知CH 平面CDE,得平面ADE平面CDE.AGBE/【探究拓展】要证明四边形BCHG是平行四边形,只要 证明 即可;要证明C,D,E,F共面,可通过证明四边形CDEF中至少有一组对边平行或两 边的延长 线相交即可;要证明面面垂直通常转化成为 证明线面垂直.HCGBBCGH/,/或题
5、型二 线线、线面位置关系【例2】(2009江苏)如图,在直 三棱柱ABCA1B1C1中E、F分 别是A1B、A1C的中点,点D在 B1C1上,A1DB1C.求证:(1)【线面平行】EF平面ABC;(2)【面面垂直】平面A1FD平面BB1C1C.证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EFBC.又EF 平面ABC,BC 平面ABC.所以EF平面ABC.(2)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以BB1面A1B1C1,BB1A1D,又A1DB1C,BB1B1C=B1,所以A1D面BB1C1C，又A1D 面A1FD,所以平面A1FD平面BB1C1C.【探究拓展】证明线面平行,通常用线面平
6、行的判定 定理或由面面平行证明线面平行;证明线面垂直,常 用线面垂直的判定定理;在解决线线平行、线面平行 的问题时,若题目中出现了中点,往往可考虑中位线 来进行证明.变式训练2 (2009海南)如图所 示,四棱锥SABCD的底面是正方 形,每条侧棱的长都是底面边长的 倍,P为侧棱SD上的点.(1)【线线垂直】求证:ACSD;(2)【二面角】若SD平面PAC,求二面角 PACD的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得 BE平面PAC,若存在,求 的值;若不存在,试说 明理由.2ECSE(1)证明 连结BD,设AC交BD于O，由题意SOAC.在正方形ABCD中,ACBD,所以
7、AC平面SBD,所以ACSD.(2)解 设正方形边长为a,则SD=又OD=所以SDO=60,连结OP,由(1)知AC平面SBD，所以ACOP,且ACOD,所以POD是二面角PACD的平面角.由SD平面PAC,知SDOP,所以POD=30,即二面角PACD的大小为30.2a,22a(3)解 在棱SC上存在一点E,使BE平面PAC,由(2)可得PD=故可在SP上取一点N，使PN=PD,过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连结BN.在BDN中,知BNPO,又由于NEPC,故平面BEN平面PAC,得BE平面PAC,由于SN:NP=2:1,故SE:EC=2:1.,42a题型三 面面位置关系【例3】(2
8、009天津)如图,在 五面体ABCDEF中,FA平面 ABCD,ADBCFE,ABAD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE =AD.(1)【空间夹角】求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)【面面垂直】证明:平面AMD平面CDE;(3)【二面角】求二面角ACDE的余弦值.21方法一 (1)解 由题设知,BFCE，所以CED(或 其补角)为异面直线BF与DE所成的角,设P为AD的中 点,连结EP,PC.又FA平面ABCD,所以EP 平面ABCD,而PC、AD都在 平面ABCD内,故EPPC,EP AD.由ABAD,可得PC AD.设FA=a,则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=a,故
9、 CED=60 所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.,/./,/PCABEPFAAPFE同理所以因为2(2)证明 因为DC=DE且M为CE的中点，所以DMCE，连结MP,则MPCE.又MPDM=M,故CE平面AMD，而CE 平面CDE,所以平面AMD平面CDE.(3)解 设Q为CD的中点,连结PQ,EQ.因为CE=DE,所以EQCD.因为PC=PD,所以PQCD,故EQP为二面角ACDE的平面角.由(1)可得,EPPQ,EQ=PQ=于是在RtEPQ中,cosEQP=所以二面角ACDE的余弦值为 ,26a.22a.33EQPQ.33变式训练3 如图所示,矩形ABCD 和梯形BEFC所在平
10、面互相垂直,BECF,BCF=CEF=90,求证:【线面平行】AE平面DCF;证明 过点E作EGCF交CF于G,连结DG.可得四边形BCGE为矩形，又四边形ABCD为矩形，所以 从而四边形ADGE为平行四边形，故AEDG.因为AE 平面DCF,DG 平面DCF,所以AE平面DCF.,/EGAD专题四：折叠问题 解决折叠问题的关键是弄清折叠前后的 不变量和变化量,一般情况下,线段长度是不变量,而 折痕同侧的各种关系不发生变化,折痕两侧的位置关 系将发生变化，抓住不变量是解决问题的关键.例1、已知等腰梯形PBCD中,(如图1),PB=3,DC=1,PD=BC=A是PB边上一点,且ADPB,现将 P
11、AD沿AD折起,使平面PAD平面ABCD(如图2).(1)【面面垂直】证明:平面PAD平面PCD;(2)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC把几何体分 成两部分的体积比VPDCMA:VMACB=2:1;(3)在点M满足(2)的条件下,判断直线PD是否平行于 平面AMC,并说明理由.,2(1)证明 由题意知:CDAD,又平面PAD平面ABCD,所以CD平面PAD,又CD平面PCD,所以,平面PAD平面PCD.(2)解 由(1)知PA平面ABCD,所以平面PAB平面ABCD,在PB上取一点M，作MNAB于N，则MN平面ABCD,设MN=h,则VMABC=SABCh,3122131hh 31要使VP
12、DCMA:VMACB=2:1,解得h=即M为PB的中点.(3)解 连接BD交AC于点O,因为ABCD,AB=2,CD=1,由三角形相似得BO=2OD,所以O不是BD的中点,又M为PB的中点,所以在平面PBD中,直线OM与PD相交,所以直线PD与平面AMC不平行.21112213131PASVABCDABCDP,21,1:23:)321(hh即【考题再现】(2009山东)如图,在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD 为等腰梯形,ABCD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1、F分别 是棱AD、AA1、AB的中点.证明:【线面平行】直线EE1平面FCC1；(1)证明 在直四
13、棱柱ABCDA1B1C1D1中,取A1B1的中点F1，连接A1D,C1F1,CF1,因为AB=4,CD=2,且ABCD,所以 所以四边形A1F1CD为平行四边形，所以CF1A1D,又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点,所以EE1A1D,所以CF1EE1,又因为EE1 平面FCC1，CF1 平面FCC1,所以直线EE1平面FCC1,/11FACD(2009全国)已知二面角 为60,动点 P、Q分别在面 内,P到 的距离为 ,Q到 的 距离为 则P、Q两点之间距离的最小值为 ()A.B.2 C.D.4 解析 如图,过P作PE 交 于 E,在平面 内过点E作EFl,则 PFE=60,由P到 的距
14、离为 知PE=PF=2.同理可求平面 内的点Q到棱l的距离为4.当将二面角展开,P、Q的连线与l垂直时,P、Q两点之间l、3,323223.3 的距离最短(此时在二面角内,P、Q应是二面角平面 角边上的两点）.其最小值应为d2=4+16-242cos 60=12,d=答案 C3.已知m,n是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是 ()A.B.C.D.解析 由线面的位置关系可知B正确.32,/,则若nmnm/,则若nmnm/,/,/则若/,/,/则若mmB(2009江西)如图,正四面体 ABCD的顶点A,B,C分别在两两 垂直的三条射线Ox,Oy,Oz上,则在下列命题中,错误的为()A
15、.OABC是正三棱锥 B.直线OB平面ACD C.直线AD与OB所成的角是45 D.二面角DOBA为45 解析 将原图补为正方体不难得出B错误,故选B.B(2009海南)如图所示,正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线 段B1D1上有两个动点E、F,且EF =则下列结论中错误的是()A.ACBE B.EF平面ABCD C.三棱锥ABEF的体积为定值 D.异面直线AE,BF所成的角为定值,22解析 由正方体的性质可知,AC平面BB1D1D,则ACBE,所以A正确;易知B正确;因B到直线B1D1的距离是1,而EF=点A到平面BB1D1D的距离为常量 所以三棱锥ABEF的体积VABEF=所以
16、C正确.答案 D,22,22,121222212131(2008全国)已知菱形ABCD中,AB=2,A=120,沿对角线BD将ABD折起,使二面角A-BD-C 为120,则点A到BCD所在平面的距离等于_.解析 如图所示,取BD中点E,连接 AE、CE.ABD、BCD均为等腰三角形，AEBD,CEBD,BD平面AEC.AEC为二面角ABDC的平面角,AEC=120.在平面AEC内过A作CE的垂线AH,垂足为H,则H在CE的延长线上.BD平面AEC.BDAH.又AHCE,AH平面BCD.BAD=120,BAE=60,cosBAE=AE=1.又AEH=60,AH=即点A到面BCD的距离为答案 ,ABAE,23.23
