1、 1.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做圆的半径.2.圆的方程（1）标准方程：以（a,b）为圆心，r（r0）为半径的圆的标准方程为 （x-a）2+（y-b）2=r2.（2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.当D2+E2-4F0时，表示圆的一般方程，其圆心的坐标为半径 当D2+E2-4F=0时，只表示一个点 当D2+E2-4F0时，不表示任何图形.,22DE（），12r 224DEF；,22DE（），例1 求圆心为点C(8，-3)，且过点A(5，1)的圆的标准方程。22(85)(31)5rCA ，【典例精析】解：半径所以所求的圆的标准
2、方程为(x-8)2+(y+3)2=25.例2 若半径为5且圆心在y轴上的圆与x轴相切，求圆的方程。设圆心为（0，b），由题意，则圆的方程为x2+(y-b)=25.因为半径为5.所以|b|=5,b=5.故圆的方程为 x2+(y-5)=25或 x2+(y+5)=25 解：直线与圆的位置关系的判断方法:一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线的距离为22|AaBbCdABdrd与r2个1个0个交点个数图形相交相切相离位置rdrdrd则3.直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0的位置是_相交1.直线x+y-2=0
3、与圆x2+y2=2的位置关系为_相切2.直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系为_相离练习：直线与圆的位置关系判断方法：一、几何方法。主要步骤：利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离作判断:当dr时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切;当dr时，直线与圆相交把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径方法总结一：把直线方程与圆的方程联立成方程组求出其的值比较与0的大小:当0时,直线与圆相交。二、代数方法。主要步骤：利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程xyO 当-2 b0,直线与圆相交；当b=2 或 b=-2 时,=0,直线与圆相切；当b2 或b-2 时，
4、2 或br，直线与圆相离。（1）当-2 b2 时，d|R+r|O1O2|=|R+r|R-r|O1O2|R+r|O1O2|=|R-r|0|O1O2|R+rd=R+rR-rdR+rd=R-r0d0）为半径的圆的标准方程为（为半径的圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版（2）一般方程：一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.当当D2+E2-4F0时，表示圆的一般方程，其时，表示圆的一般方程，其圆心的坐标为圆心的坐标为半径半径当当D2+E2-4F=0时，只表示一
5、个点；时，只表示一个点；当当D2+E2-4Fr2;若点若点M（x0,y0）在圆）在圆C上，则（上，则（x0-a）2+（y0-b）2=r2;若点若点M（x0,y0）在圆）在圆C内，则（内，则（x0-a）2+（y0-b）2 dr2、直线与圆相切 =d=r3、直线与圆相交 =drR+r|O1O2|=R+rR-r|O1O2|R+r|O1O2|=R-r|O1O2|R-r外切外切相交相交内切内切内含内含rRO1 1O2 2rRO1 1O2 2rRO1 1O2 2rRO1 1O2 2rRO1 1O2 25.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系设圆设圆O1的半径为的半径为r1，圆，圆O2的半径为的半径为r2，立足
6、教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版6.对称问题对称问题:圆（圆（x-a）2+（y-b）2=r2关于直线关于直线x=0的对称圆的方程为（的对称圆的方程为（x+a）2+（y-b）2=r2;关于直线关于直线y=0的对称圆的方程为（的对称圆的方程为（x-a）2+（y+b）2=r2；关于直线关于直线y=x的对称圆的方程为（的对称圆的方程为（x-b）2+（y-a）2=r2；关于直线关于直线y=-x的对称圆的方程为（的对称圆的方程为（x+b）2+（y+a）2=r2.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习
7、（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版BABABAxxxxxx427.7.与圆有关的弦长问题与圆有关的弦长问题几何方法：几何方法：代数方法：代数方法：rd dA AB BO O222|drAB解析几何中，解决圆的弦长、弦心距的计算常常利用几解析几何中，解决圆的弦长、弦心距的计算常常利用几何方法何方法.其中其中K K是直线的斜率，是直线的斜率，X XA A、x xB B是直线和圆交点的横坐标是直线和圆交点的横坐标,且且BAxxkAB)1(|2立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建
8、 人教版人教版圆圆x2+y2=r2，圆上一点为圆上一点为(x x0，y y0)，则此点的切线方程为则此点的切线方程为x x0 x+y0y=r2圆圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为圆上一点为(x0，y0)，则过此点则过此点的切线方程为的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r28.过圆上一点的切线方程：过圆上一点的切线方程：立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版9.两圆相交的弦的方程两圆相交的弦的方程 O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和和 O2：x2+y2+D2x
9、+E2y+F2=0相交时，相交时，公共弦方程为公共弦方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版10.圆系方程：圆系方程：设圆设圆C1 x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆和圆C2 x2+y2+D2x+E2y+F2=0若两圆相交，则若两圆相交，则过交点的圆系方程为过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(为参数，圆系中不包括圆为参数，圆系中不包括圆C2，=-1为两圆为两圆的公共弦所在直线方程的
10、公共弦所在直线方程)设圆设圆C x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(为参数为参数)立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版 重点突破：圆的方程重点突破：圆的方程 （）求过两点求过两点A（1,4）,B（3,2）,且且圆心在直线圆心在直线y=0上的圆的标准方程，并判断点上的圆的标准方程，并判断点P（2,4）与圆的位置关系）与圆的位置关系.（）求过求过A（4,
11、1），），B（6，-3）C（-3,0）三点的圆的方程，并求这个圆半径长和圆心三点的圆的方程，并求这个圆半径长和圆心C坐标坐标.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版 （）欲求圆的标准方程，只欲求圆的标准方程，只需求出圆心坐标和圆的半径，而要判断点需求出圆心坐标和圆的半径，而要判断点P与圆的位置关系，只需看点与圆的位置关系，只需看点P与圆心的距离与圆心的距离和圆的半径的大小关系和圆的半径的大小关系.（）设出圆的方设出圆的方程，解方程组即可程，解方程组即可.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复
12、习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版（）解法解法1：（待定系数法）设（待定系数法）设圆的标准方程为（圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，因为圆心在因为圆心在y=0上上,故故b=0，所以圆的方程为（所以圆的方程为（x-a）2+y2=r2又因为该圆过又因为该圆过A（1,4）,B（3,2）两点）两点,则则（1-a）2+16=r2（3-a）2+4=r2，解得，解得a=-1，r2=20.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版解法解法2：（直接求出圆心坐标和半
13、径）（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过因为圆过A（1,4）,B（3,2）两点，）两点，所以圆心必在线段所以圆心必在线段AB的中垂线的中垂线l上上,又因又因为为kAB=-1,故故l的斜率为的斜率为1,又又AB的中点为（的中点为（2，3）,故线段故线段AB的中的中垂线垂线l的方程为的方程为x-y+1=0.4213 立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版又知圆心在直线又知圆心在直线y=0上上,故圆心为故圆心为C(-1，0)，所以半径所以半径 故所求故所求圆的方程为圆的方程为(x+1)2+y2=20.又点又点P
14、(2,4)到圆心到圆心(-1，0)的距离为的距离为所以点所以点P在圆外在圆外.2211420rAC 2221425dPCr，立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版()设圆的方程为设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，因为三点因为三点A(4,1)，B(6，-3)，C(-3,0)都都在圆上，在圆上，所以它们的坐标都是方程的解，将它们所以它们的坐标都是方程的解，将它们的坐标代入方程得，的坐标代入方程得，42+12+4D+E+F=062+(-3)2+6D-3E+F=0(-3)2+02-3D+0E+F=0，
15、解得，解得D=-2E=6F=-15.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版所以圆的方程为所以圆的方程为x2+y2-2x+6y-15=0，即（即（x-1）2+（y+3）2=25，所以圆心坐标为（所以圆心坐标为（1，-3），半径为），半径为r=5.“待定系数法待定系数法”是求圆的方程的是求圆的方程的常用方法常用方法.一般的，在选用圆的方程形式时，一般的，在选用圆的方程形式时，若问题涉及圆心和半径，则选用标准方程比若问题涉及圆心和半径，则选用标准方程比较简便，否则选用一般方程方便些较简便，否则选用一般方程方便
16、些.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版根据下列条件求圆的方程根据下列条件求圆的方程.（）圆过圆过P（4,-2）,Q（-1,3）两点，且）两点，且在在y轴上截得的线段长为轴上截得的线段长为4.（）已知圆的半径为已知圆的半径为，圆心在直线，圆心在直线y=2x上，圆被直线上，圆被直线x-y=0截得的弦长为截得的弦长为4 .3102立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版 ()设圆的方程为设圆的方程为x2+y2+Dx+
17、Ey+F=0.4D-2E+F=-20D-3E-F=10，令令x=0,由由得得y2+Ey+F=0.由已知由已知 其中其中y1,y2是方程是方程的的两根，两根，(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48，联立方程解得联立方程解得D=-2,E=0,F=-12或或D=-10,E=-8,F=4，故所求的圆的方程为故所求的圆的方程为x2+y2-2x-12=0或或x2+y2-10 x-8y+4=0.将将P,Q点的坐标代入式得点的坐标代入式得124 3yy，立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版(
18、)解法解法1：设圆的方程为设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=10，由圆心在直线由圆心在直线y=2x上，得上，得b=2a，由圆在直线由圆在直线x-y=0截得的弦长为截得的弦长为4 ，将将y=x代入代入(x-a)2+(y-b)2=10.整理得整理得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0.由弦长公式得由弦长公式得化简得化简得a-b=2.解得解得a=2,b=4或或a=-2,b=-4,所以所求圆方程为所以所求圆方程为(x-2)2+(y-4)2=10或或(x+2)2+(y+4)2=10.22222()2(10)4 2abab，立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总
19、复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版解法解法2：根据图形的几何性质：半径，弦根据图形的几何性质：半径，弦长的一半，弦心距构成直角三角形，由勾股长的一半，弦心距构成直角三角形，由勾股定理，定理，可得弦心距可得弦心距因为弦心距等于圆心（因为弦心距等于圆心（a,b）到直线）到直线x-y=0的距离，的距离，所以所以 又已知又已知b=2a，解得解得a=2,b=4或或a=-2,b=-4.所以所求圆方程为（所以所求圆方程为（x-2）2+（y-4）2=10或（或（x+2）2+（y+4）2=10.224 210822dr（）22abd，求以圆求以圆C C1 x x2+y2-12x-2y
20、-13=0和圆和圆C C2：x x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程的公共弦为直径的圆的方程解法一：相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0 所求圆以AB为直径，于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25.解法二：解法二：设所求圆的方程为：设所求圆的方程为：x2+y2-12x-2y-13+(x2+y2+12x+16y-25)=0(为参数为参数)圆心圆心C应在公共弦应在公共弦AB所在直线上所在直线上，所求圆的方程为所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0 立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数
21、学 福建福建 人教版人教版重点突破：与圆有关的最值问题重点突破：与圆有关的最值问题 例3.已知实数已知实数x,y满足方程满足方程x2+y2-4x+1=0（）求求y-x的最大值和最小值的最大值和最小值,（）求求x2+y2的最大值和最小值的最大值和最小值.根据代数式的几何意义，借助于平面几何根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解知识，数形结合求解.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版 方程方程x2+y2-4x+1=0变形为变形为(x-2)2+y2=3，所表示的图形是圆所表示的图形是圆.()
22、y-x看作是直线看作是直线y=x+b在在y轴上的截距，轴上的截距，当直线当直线y=x+b与圆相切时，与圆相切时，纵截距纵截距b取得最大值和最小值，此时取得最大值和最小值，此时解得解得b=-2 ,所以所以y-x的最大值为的最大值为-2+，最小值为，最小值为-2-.203,2b 666立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版（）x2+y2表示圆上一点与原点距离的表示圆上一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值线和圆的两个交
23、点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为又圆心到原点的距离为所以所以x2+y2的最大值是的最大值是(2+)2=7+4;最最小值是小值是(2-)2=7-4 .涉及与圆有关的最值，可以借助涉及与圆有关的最值，可以借助圆的几何性质，依照数形结合思想进行求解；圆的几何性质，依照数形结合思想进行求解；联想过两点的直线的斜率公式，两点间距离联想过两点的直线的斜率公式，两点间距离公式，过定点的直线系或平行线系等知识的公式，过定点的直线系或平行线系等知识的应用应用.2220002（）（），3333立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福
24、建福建 人教版人教版已知实数已知实数x,y满足方程满足方程x2+y2-4x+1=0，求的最大值与最小值，求的最大值与最小值.设设=k，即，即y=kx，当直线，当直线y=kx与与圆相切时，斜率圆相切时，斜率k取得最大值和最小值取得最大值和最小值.因为因为圆心（圆心（2,0）到直线）到直线y=kx的距离为，所以的距离为，所以得得k=.所以所以yxyx322031kk ，3maxmin33.yyxx （），（）立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版已知圆已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线和直线x+2y-
25、3=0交于交于P，Q两点，且两点，且OPOQ（O为为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.利用利用OPOQ得到得到O点在以点在以PQ为直径的圆上，在利用勾股定理求解为直径的圆上，在利用勾股定理求解.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版设已知圆的圆心为设已知圆的圆心为C，弦，弦PQ中点中点为为M，因为因为CMPQ,所以所以kCM=2，所以所以CM所在直线的方程为所在直线的方程为即：即：y=2x+4.y=2x+4x+2y-3=0,解得解得M的坐标为（的坐标为（-1，2）.1
26、322yx（），由方程组由方程组立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版则以则以PQ为直径的圆可设为为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2=r2，因为因为OPOQ所以点所以点O在以在以PQ为直径的圆上为直径的圆上.所以所以(0+1)2+(0-2)2=r2，即，即r2=5，MQ2=5.在在RtCMQ中，因为中，因为CQ2=CM2+MQ2，所以所以所以所以m=3.所以半径为，圆心为所以半径为，圆心为(-，3).在解决与圆有关的问题中在解决与圆有关的问题中.借助与圆借助与圆的几何性质，往往会使得思路简洁明了
27、，简化的几何性质，往往会使得思路简洁明了，简化运算运算.221164132 25.24m （）（）（）5212立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版1.求圆的方程常用待定系数法，步求圆的方程常用待定系数法，步骤大致是：骤大致是：根据题意，选择标准方程或一般根据题意，选择标准方程或一般方程；方程；根据条件列出关于根据条件列出关于a,b,r或或D,E,F的的方程组；方程组；解出解出a,b,r或或D,E,F代入标准方程或代入标准方程或一般方程一般方程.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高
28、中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版2.研究与圆有关的最值问题时，可借助图研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解，一般地形的性质，利用数形结合求解，一般地形如形如形式的最值问题，可转化形式的最值问题，可转化为动直线的斜率的最值问题；为动直线的斜率的最值问题；形如形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；动直线的截距的最值问题；形如形如v=（x-a）2+（y-b）2形式的最值问形式的最值问题，可转化为动点到定点的最值问题题，可转化为动点到定点的最值问题.ybuxa 立足教育立足教育 开创未来
29、开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版3.点与圆的位置关系可利用点与圆心的距点与圆的位置关系可利用点与圆心的距离和半径离和半径r的大小来判断的大小来判断.4.圆的问题的解题技巧：处理有关圆的问圆的问题的解题技巧：处理有关圆的问题，要特别注意圆心半径及平面几何知识的题，要特别注意圆心半径及平面几何知识的应用，如弦心距，半径，弦长的一半构成的应用，如弦心距，半径，弦长的一半构成的直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化何性质解题，往往使问题简化.立足教育立足教育 开创未来
30、开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版1.（2009辽宁卷）辽宁卷）已知圆已知圆C与直线与直线x-y=0及及x-y-4=0都相切，圆心在直线都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆上，则圆C的方程为（的方程为（）A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 圆心在圆心在x+y=0上上,排除排除C、D,再结合图再结合图象象,或者验证或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于中圆心到两直线的距离等于半径半径 即可即可.选选B.本小题考查圆的标准方
31、程，直线与本小题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，属于基础题圆的位置关系，属于基础题.2B立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中新课标总复习（第高中新课标总复习（第1 1轮）轮）文科数学文科数学 福建福建 人教版人教版 2.(2009广东卷广东卷)以点以点(2，-1)为圆心且为圆心且与直与直线线 x+y=6 相 切 的 圆 的 方 程相 切 的 圆 的 方 程是是 .将直线将直线x+y=6化为化为x+y-6=0,则易则易知圆知圆的半径的半径 所以圆的方程所以圆的方程为为(x-2)2+(y+1)2=.故填故填(x-2)2+(y+1)2=.本小题主要考查直线与圆的位本小题主要考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程及点到直线的距离公式置关系，圆的标准方程及点到直线的距离公式.2225212xy2165r,112 252252
