1、第三课基本初等函数()【网络体系【网络体系】【核心速填【核心速填】1.1.根式的性质根式的性质(1)=_(nN(1)=_(nN*).).(2)=_(nN(2)=_(nN*)(3)=_(n(3)=_(n为奇数，为奇数，nNnN*).).=|a|=(n =|a|=(n为偶数，为偶数，nNnN*).).n00 0nn(a)a annaa annaa,a 0,a,a 02 2分数指数幂分数指数幂(1)(a0,m,nN(1)(a0,m,nN*,且且n1).n1).(2)(a0,m,nN(2)(a0,m,nN*,且且n1).n1).(3)0(3)0的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于_，0 0的负分数指数
2、幂没有意义的负分数指数幂没有意义.mmnnaamnmmnn11aaa0 03.3.对数的运算性质对数的运算性质已知已知a0,b0,a1,M0,N0,m0.a0,b0,a1,M0,N0,m0.(1)log(1)loga aM+logM+loga aN=logN=loga a(MN(MN).).(2)log(2)loga aM-logM-loga aN=N=(3)(3)aMlog.Nmnaanlog blog b.m4.4.换底公式及常用结论换底公式及常用结论已知已知a0,a1,b0,b1,N0,m0,m1a0,a1,b0,b1,N0,m0,m1，c c0,c1.0,c1.(1)log(1)log
3、a aN=.N=.(2)log(2)loga ab=.b=.(3)=_.(3)=_.(4)log(4)loga ablogblogb ba=_,a=_,logloga ablogblogb bclogclogc ca=_.a=_.mmlog Nlog ann1aba11loglog blog abalog NaN N1 11 15.5.指数函数的图象与底数的关系指数函数的图象与底数的关系(1)(1)底数的取值与图象底数的取值与图象“升降升降”的关系：的关系：当当a a1 1时，图象时，图象“上升上升”；当；当0 0a a1 1时，图象时，图象“下降下降”.(2)(2)底数的大小决定图象位置的高
4、低：底数的大小决定图象位置的高低：在在y y轴右侧轴右侧“底大图高底大图高”；在；在y y轴左侧轴左侧“底大图低底大图低”，如图所示有，如图所示有ab1c0.ab1c0.6.6.对数函数的图象与底数的关系对数函数的图象与底数的关系(1)(1)对于底数都大于对于底数都大于1 1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越接近接近x x轴；对于底数都大于轴；对于底数都大于0 0而小于而小于1 1的对数函数，底数越大，函数图的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越远离象向右的方向越远离x x轴轴.(2)(2)作直线作直线y=1y=1与各图象交点的横坐标即各函
5、数的底数的大小，如图，与各图象交点的横坐标即各函数的底数的大小，如图，ab1cd0.ab1cd0.【易错提醒【易错提醒】1.1.对数的运算应注意的问题对数的运算应注意的问题.(1)(1)注意对数运算性质和换底公式的灵活应用注意对数运算性质和换底公式的灵活应用,还要注意还要注意的应用的应用.(2)(2)注意真数的变化和运算符号注意真数的变化和运算符号,以及公式运用过程中范围的变化以及公式运用过程中范围的变化.alog NaN2.2.判断判断y=ay=af(xf(x)(或或y=logy=loga af(xf(x)型函数单调性需要注意的问题型函数单调性需要注意的问题.(1)(1)研究研究u=f(xu
6、=f(x)的单调性时的单调性时,定义域是定义域是x x的取值范围的取值范围,即即y=ay=af(xf(x)(或或y=logy=loga af(xf(x)的定义域的定义域.(2)(2)研究研究y=ay=au u(或或y=logy=loga au u)的单调性的单调性,要注意定义域是要注意定义域是u u的取值范围的取值范围,即即u=f(xu=f(x)的值域的值域.3.3.求对数函数定义域应注意的问题求对数函数定义域应注意的问题求对数函数有关的定义域问题时求对数函数有关的定义域问题时,要注意对数函数的概念要注意对数函数的概念,若自变量在若自变量在真数上真数上,则必须保证真数大于则必须保证真数大于0;
7、0;若自变量在底数上若自变量在底数上,应保证底数大于应保证底数大于0 0且不等于且不等于1.1.类型一类型一 指数与对数的运算指数与对数的运算【典例【典例1 1】(2015(2015济宁高一检测济宁高一检测)计算计算(1)(1)(2)log(2)log3.13.19.61+log9.61+log3 3(log(log3 327).27).4160.250343216(23)(2 2)4()2 8(2 005).49 2 31lgln(ee)1 000g【解析【解析】(1)(1)原式原式=108+2-7-2-1=100.=108+2-7-2-1=100.(2)(2)原式原式=log=log3.1
8、3.13.13.12 2+lg 10+lg 10-3-3+log+log3 3(log(log3 33 33 3)14111111633322424449(23)(22)4()2(2)116 21132333447232242214 123ln e77231.33 【方法技巧【方法技巧】1.1.指数与对数的运算应遵循的原则指数与对数的运算应遵循的原则(1)(1)指数的运算指数的运算:注意化简顺序注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数一般负指数先转化成正指数,根式化为根式化为分数指数幂运算分数指数幂运算.另外另外,若出现分式若出现分式,则要注意对分子、分母因式分解则要注意对分子、分母因式分解以达
9、到约分的目的以达到约分的目的.(2)(2)对数式的运算对数式的运算:注意公式应用过程中范围的变化注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价前后要等价,一般一般本着真数化简的原则进行本着真数化简的原则进行.2.2.底数相同的对数式化简的两种基本方法底数相同的对数式化简的两种基本方法(1)“(1)“收收”:将同底的两对数的和将同底的两对数的和(差差)收成积收成积(商商)的对数的对数.(2)“(2)“拆拆”:将积将积(商商)的对数拆成对数的和的对数拆成对数的和(差差).).【变式训练【变式训练】若若x0 x0，则，则 =_.=_.【解析【解析】原式原式=答案：答案：-23-23131311424222
10、(2x3)(2x3)4x(x x)13122422(2x)(3)4x423.【补偿训练【补偿训练】求下列各式的值求下列各式的值.(1)(1)(2)(2)【解析【解析】(1)(1)原式原式=0.4=0.4-1-1-1+-1+（-2-2）-2-2+2+2-3-3=(2)(2)原式原式=12050.7535710.064()(2)().816 14lg 32lg 8 lg 5.2315.814 315lg 2lg 2lg 523 22 11lg 2 lg 5.22类型二类型二 指数函数、对数函数、幂函数的图象问题指数函数、对数函数、幂函数的图象问题【典例【典例2 2】(1)(1)已知函数已知函数f(
11、x)=(x-a)(x-bf(x)=(x-a)(x-b)()(其中其中ab)ab)的图象如图所示，的图象如图所示，则函数则函数g(x)=ag(x)=ax x+b+b的图象是的图象是()()(2)(2)对对a0a0且且a1a1的所有正实数的所有正实数,函数函数y=ay=ax+1x+1-2-2的图象一定经过一定点的图象一定经过一定点,则该定点的坐标是则该定点的坐标是_._.【解析【解析】(1)(1)选选A.A.由由f(xf(x)的图象知的图象知,0a1,b-1,0a1,b0 x0时，有时，有f(xf(x)0)0；当；当x0 x0.)0.所以函数所以函数f(xf(x)的图象分布在第一、二象限的图象分布
12、在第一、二象限.1f()93，1f()93211()9(),33 类型三类型三 数数(式式)的大小比较的大小比较【典例【典例3 3】(1)(1)(鹰潭高一检测鹰潭高一检测)已知已知a=2a=21.21.2，c=2logc=2log5 52 2，则，则a,b,ca,b,c的大小关系为的大小关系为()()A Acba Bcba BcabcabC Cbac bac D Dbcabca(2)(2)比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小:1.71.70.20.2,log,log2.12.10.90.9与与0.80.82.12.1;(lgm)(lgm)1.91.9与与(lgm)(lgm)2.12.1(1
13、m10).(1m10).0.81b()2，【解析【解析】(1)(1)选选A.A.因为因为c=2logc=2log5 52=log2=log5 541,42,2,所以有所以有abc.abc.(2)(2)因为函数因为函数y=logy=log2.12.1x x在在(0,+)(0,+)上是增函数且上是增函数且0.91,0.91,所以所以loglog2.12.10.9log0.90,0.20,所以所以1.71.70.20.21.71.70 0=1.=1.因为函数因为函数y=0.8y=0.8x x在在R R上是减函数且上是减函数且2.10,2.10,所以所以00.800.82.12.10.80.80 0=
14、1.=1.综上综上,log,log2.12.10.90.80.90.82.12.11.71.70.20.2.0.81b()12，0.80.81b()222，当当1m101m10时时,0lgm,0lgm1,1,由由1.92.11.9(lgm)(lgm)2.12.1;当当m=10m=10时时,lgm,lgm=1,=1,故故(lgm)(lgm)1.91.9=(lgm)=(lgm)2.12.1.所以所以(lgm)(lgm)1.91.9(lgm)(lgm)2.12.1.【延伸探究【延伸探究】若若(2)(2)中的中的将将“1m10”110”,m10”,又如何比较又如何比较这两数的大小这两数的大小?【解析【
15、解析】当当m10m10时时,lgm,lgm1,1,由由1.92.11.92.1得得,(lgm),(lgm)1.91.9(lgm)yy1 1yy2 2 B.y B.y2 2yy1 1yy3 3C.yC.y1 1yy2 2yy3 3 D.yD.y1 1yy3 3yy2 2【解析【解析】选选D.D.因为因为y y1 1=4=40.90.9=2=21.81.8,y,y2 2=8=80.440.44=2=21.321.32,y,y3 3=2=21.51.5,而而y=2y=2x x是增函数是增函数,1.81.51.32,1.81.51.32,故故y y1 1yy3 3yy2 2.1.531y(),2【补偿
16、训练【补偿训练】1.1.如果如果0a1,0a0(1+a)0C.(1-a)C.(1-a)3 3(1+a)(1+a)2 2 D.(1-a)D.(1-a)1+a1+a11【解析解析】选选A.A.因为因为0a1,0a1,a1,则则loglog0.20.2a,0.2a,0.2a a,a,a0.20.2的大小关系是的大小关系是()A.0.2A.0.2a aaa0.20.2loglog0.20.2a aB.logB.log0.20.2a0.2a0.2a aaa0.20.2C.aC.a0.20.2loglog0.20.2a0.2a0.2a aD.0.2D.0.2a aloglog0.20.2aaa1,a1,所
17、以所以loglog0.20.2a0,00.2a0,00.2a a1,a1,1,所以所以loglog0.20.2a0.2a0.2a aaa0.20.2.类型四类型四函数的定义域与值域函数的定义域与值域【典例【典例4 4】已知函数已知函数f(xf(x)=2)=2ax+2ax+2(a(a为常数为常数).).(1)(1)求函数求函数f(xf(x)的定义域的定义域.(2)(2)若若a=1,x(1,2,a=1,x(1,2,求函数求函数f(xf(x)的值域的值域.(3)(3)若若f(xf(x)为减函数为减函数,求实数求实数a a的取值范围的取值范围.【解析【解析】(1)(1)函数函数y=2y=2ax+2ax
18、+2对任意实数都有意义对任意实数都有意义,所以定义域为实数集所以定义域为实数集R.R.(2)(2)因为因为a=1,a=1,所以所以f(xf(x)=2)=2x+2x+2.易知此时易知此时f(xf(x)为增函数为增函数.又因为又因为1x2,1x2,所以所以f(1)f(x)f(2),f(1)f(x)f(2),即即8f(x)16.8f(x)16.所以函数所以函数f(xf(x)的值域为的值域为(8,16.(8,16.(3)(3)因为因为f(xf(x)为减函数为减函数,而而y=2y=2u u是增函数是增函数,所以函数所以函数u=ax+2u=ax+2必须为减函数必须为减函数,所以得所以得a0.a0(a0且且
19、a1),a1),(1)(1)若函数若函数y=f(xy=f(x)的图象经过点的图象经过点P(3,4),P(3,4),求求a a的值的值.(2)(2)当当a a变化时，比较变化时，比较 与与f(-2.1)f(-2.1)的大小，并写出比较过程的大小，并写出比较过程.1f(lg)100【解析【解析】(1)(1)函数函数y=f(xy=f(x)的图象经过点的图象经过点P(3,4)P(3,4)，所以所以a a3-13-1=4,=4,即即a a2 2=4=4，又，又a0,a0,所以所以a=2.a=2.(2)(2)当当a1a1时，时，当当0a10a1a1时，时，y=ay=ax x在在(-,+)(-,+)上为增函
20、数，上为增函数，1f(lg)f2.1;1001f(lg)f2.1,10033.11f(lg)f2a,f2.1a100，因为因为-3-3.1,-3-3.1,所以所以a a-3-3aa-3.1-3.1.即即当当0a10a-3.1,-3-3.1,所以所以a a-3-3aa-3.1-3.1，即即1f(lg)f2.1100；1f(lg)f2.1.100【方法技巧【方法技巧】分类讨论的思想在指数函数和对数函数中的应用分类讨论的思想在指数函数和对数函数中的应用(1)(1)原理原理:底数大于底数大于1 1时时,指数函数与对数函数均是增函数指数函数与对数函数均是增函数;底数大于底数大于0 0小小于于1 1时时,
21、指数函数与对数函数均是减函数指数函数与对数函数均是减函数.(2)(2)步骤步骤:【变式训练【变式训练】已知函数已知函数f(xf(x)=)=集合集合M=x|f(f(xM=x|f(f(x)=1,)=1,则则M M中元素的个数为中元素的个数为()()A.3A.3个个 B.4B.4个个C.6C.6个个 D.9D.9个个【解题指南【解题指南】根据分段函数根据分段函数f(xf(x)=)=的解析式，我们结合的解析式，我们结合集合元素要满足的性质集合元素要满足的性质f(f(xf(f(x)=1,)=1,易通过分类讨论求出所有满足条件易通过分类讨论求出所有满足条件的的x x的值，进而确定集合中元素的个数的值，进而
22、确定集合中元素的个数.xe1(x 0),ln x x 0,xe1 x 0,ln x(x 0)【解析【解析】选选A.A.当当x0 x0时，时，f(xf(x)=)=由由f(f(xf(f(x)=)=即即得得x=-lnx=-ln(e+1);(e+1);当当0 x10 x1时，时，f(x)=lnf(x)=ln x0,x1x1时时,f(x)=lnx,f(x)=lnx0,0,f(f(x)=ln(lnxf(f(x)=ln(lnx)=1,)=1,得得x=ex=ee e,所以所以e1M ln e 1,e.2【补偿训练【补偿训练】已知函数已知函数f(xf(x)=log)=loga a(8-ax)(a0,(8-ax)
23、(a0,且且a1).a1).(1)(1)若若f(xf(x)2,)1)1在区间在区间1,21,2上恒成立上恒成立,求实数求实数a a的取值范围的取值范围.【解析【解析】(1)(1)当当a a1 1时，由时，由f(xf(x)2 2，得，得0 08-ax8-axa a2 2,所以所以当当0 0a a1 1时时,可知可知8-ax8-axa a2 2,所以所以因此当因此当a a1 1时时,x,x的取值范围是的取值范围是当当0 0a a1 1时时,x,x的取值范围是的取值范围是88a x.aa 8xa.a88x|a x.aa 8x|xa.a(2)(2)当当a a1 1时时,f(x,f(x)=log)=loga a(8-ax)(8-ax)在在1,21,2上是减函数上是减函数,由由f(xf(x)1 1恒成立恒成立,则则f(x)f(x)minmin=log=loga a(8-2a)(8-2a)1,1,解之，得解之，得当当0 0a a1 1时时,f(x,f(x)在在xx1,21,2上是增函数上是增函数,由由f(xf(x)1 1恒成立恒成立,则则f(x)f(x)minmin=log=loga a(8-a)(8-a)1 1，且，且8-2a8-2a0.0.所以所以a a4,4,且且0 0a a1 1，故不存在，故不存在.综上可知综上可知,实数实数a a的取值范围是的取值范围是81 a.3 8(1,).3
