1、2020高中物理竞赛电磁学4 环路定理环路定理静电场力做功与路径无关静电场力做功与路径无关n电荷间的作用力是有心力电荷间的作用力是有心力 环路定理环路定理 n讨论静电场的环流讨论静电场的环流 无无旋旋有有旋旋流流速速场场的的环环流流00ldvn静电场：电力线不闭合静电场：电力线不闭合n可以猜到静电场的环流为零可以猜到静电场的环流为零 0ldE证明证明 n单个点电荷产生的场单个点电荷产生的场 n把试探电荷q0从P移到Q QPQPrrQPrrQPQPPQrdrqqFdrFdrdlFldFA2004cos QPQPrrQprrPQdrrEqrrqqrdrqqA)(1144000200n静电场力做功只
2、与起点终点有关，与路径无关静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关点电荷组产生的场点电荷组产生的场n在电场中把试探电荷从在电场中把试探电荷从P移至移至Q电场力所做的功电场力所做的功 nqqq,21nEEEE21QPnQPQPQPQPPQl dEl dEl dEql dEql dFA2100QnnpnnQpQprqrqrqrqrqrqq22221111004P到到 q1的距离的距离Q到到q1的的距离距离每项均与路径无关，只与位置有关每项均与路径无关，只与位置有关 2004.2.北京大学物理学院王稼军编写任意有限大的带电体产生的电场任意有限大的带电体产生的电场 n可以将带电体无限分割成微元，每一个
3、可以将带电体无限分割成微元，每一个微元均为一点电荷微元均为一点电荷 点电荷组点电荷组n结论结论：在任何电场中移动试探电荷时，在任何电场中移动试探电荷时，电场力所做的功除了与电场本身有关外，电场力所做的功除了与电场本身有关外，只与试探电荷的大小及其起点、终点有只与试探电荷的大小及其起点、终点有关，与移动电荷所走过的路径无关关，与移动电荷所走过的路径无关 2004.2.北京大学物理学院王稼军编写静电场的环路定理静电场的环路定理n静电场力做功与路径无关静电场力做功与路径无关 等价等价于于静电场力沿任意闭合回路做功静电场力沿任意闭合回路做功恒等于零恒等于零 0ldEn在任意电场中取一闭合回路，将试探电
4、荷沿路径在任意电场中取一闭合回路，将试探电荷沿路径L L从从 p pQQP P，电场力所做的功为电场力所做的功为 PLQQLPLldEqldEqldEqA)(0)(00210)(0)(021QLpQLpldEqldEq 0ldE2004.2.北京大学物理学院王稼军编写讨论讨论n在证明在证明Gauss定理中，说电力必须与定理中，说电力必须与r2成反比，成反比，那么在环路定理的证明中是否也必须要求与那么在环路定理的证明中是否也必须要求与r2成成反比？反比？n答：不一定答：不一定 也有类似性质也有类似性质如弹性力如弹性力krf n哪些力具有做功与路径无关这种性质？哪些力具有做功与路径无关这种性质？n
5、引力引力 引入引力势能引入引力势能n重力重力 引入重力势能引入重力势能 势函数势函数 n弹性力弹性力 引入弹性势能引入弹性势能 （位）（位）n静电力静电力 引入静电势能引入静电势能 2004.2.北京大学物理学院王稼军编写电势能、电势差、电势能、电势差、电势电势 n可以与重力做功类比可以与重力做功类比n电场力做正功，电势能将减少电场力做正功，电势能将减少n电场力做负功，电势能将增加电场力做负功，电势能将增加电势能的电势能的改变量改变量q0在在 P点点的电势能的电势能q0在在 Q点点的电势能的电势能电势增量电势增量)(0PQQPPQQPPQWWWWWldEqA定义定义静电场与静电场与 q0有能量
6、交换有能量交换电场力电场力的功的功2004.2.北京大学物理学院王稼军编写电势的定义电势的定义n从中扣除从中扣除q q0 0,即引入电势即引入电势 加加电电场场吸吸收收能能量量，能能量量增增均均有有关关与与场场源源和和(电电势势能能的的减减少少少少电电场场付付出出能能量量，能能量量减减000qWAPQPQ，QPPQPQPQldEUqAqW00nP、Q两点之间的电势差定义为两点之间的电势差定义为n从从P点到点到Q点移动单位正电荷时电场力所作的功点移动单位正电荷时电场力所作的功n单位正电荷的电势能差单位正电荷的电势能差2004.2.北京大学物理学院王稼军编写空间某点的电势值空间某点的电势值n为了确
7、定某点的值，还需要选择零点为了确定某点的值，还需要选择零点n一般选择无穷远为势能零点一般选择无穷远为势能零点,P点电势值为点电势值为 PPPldEqAUpU0)(n两点之间电势差可表为两点电势值之差两点之间电势差可表为两点电势值之差)()(QUPUldEldEldEUQPQPPQ n单位：单位：1V(伏特）伏特）1J/C2004.2.北京大学物理学院王稼军编写电势叠加原理电势叠加原理n点电荷组有点电荷组有 ipiPkPPPkPPPPUUUUldEldEldEldEU2121n连续带电体有连续带电体有dUldEUPPPPPrdqrdqrdqdU002041(4141 iiirqU041 2004
8、.2.北京大学物理学院王稼军编写讨论讨论 n电势电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量，与场强一样是一个描述场本身性质的物理量，与试探电荷无关，是与试探电荷无关，是标量。电势叠加是标量叠加。标量。电势叠加是标量叠加。n电势电势UP：P与无穷处电势差与无穷处电势差 n电势零点电势零点 选取选取n可以任意选取可以任意选取n选择零点原则：场弱、变化不太剧烈选择零点原则：场弱、变化不太剧烈 n问题问题n选无穷远为零点选无穷远为零点？选地为零点即地和无穷远等电选地为零点即地和无穷远等电势吗？势吗？2004.2.北京大学物理学院王稼军编写地与无穷远的电势差地与无穷远的电势差n实际地球周围大气中有一个方
9、向向下的静电场实际地球周围大气中有一个方向向下的静电场是地球所带的负电荷和大气中的等离子体产生是地球所带的负电荷和大气中的等离子体产生的的n若以无穷远为势能零点，则地球的电势为若以无穷远为势能零点，则地球的电势为VU8104.5地n思考：思考：n点电荷的势能零点是否可以选在电荷上？点电荷的势能零点是否可以选在电荷上？n无限大平面板的势能零点能否选在无穷远？无限大平面板的势能零点能否选在无穷远？2004.2.北京大学物理学院王稼军编写例题例题10一示波器中阳极一示波器中阳极A和阴极和阴极K之间的电压是之间的电压是3000 V，试求阴极发射的电子到达阳极时的速度，试求阴极发射的电子到达阳极时的速度
10、，设电子从阴极出发时初速为零。设电子从阴极出发时初速为零。n解解电子带负电，它沿电势升高的方向加速运动，即从阴极电子带负电，它沿电势升高的方向加速运动，即从阴极 K出发到达阳极出发到达阳极 A.静电场力是保守力，按能量守恒静电场力是保守力，按能量守恒J.Uevme1619210804)0003()1060.1(21JKA电子到达阳极时获得的动能为电子到达阳极时获得的动能为m/s1025.3m/s1011.91080.42271316eKAmUev2004.2.北京大学物理学院王稼军编写电子伏特电子伏特n电子伏特：能量单位电子伏特：能量单位n带有电量带有电量+e或或-e的粒子飞跃一个电势差为的粒
11、子飞跃一个电势差为1V的的区间，电场力对它作的功区间，电场力对它作的功(从而粒子本身获得从而粒子本身获得这么多能量（动能）这么多能量（动能）1eVJVCeV19191060.111060.11 兆兆千千eVMeVeVkeV63101101太太吉吉eVTeVeVGeV1291011012004.2.北京大学物理学院王稼军编写求电势求电势n用电势定义求：用电势定义求：n用电势叠加原理求用电势叠加原理求 PPldEU dUUPnP35P35例题例题11111212自己看自己看n补充题两个均匀带电的同心球面，半径分别为补充题两个均匀带电的同心球面，半径分别为R Ra a和和R Rb b，带电总量分别为
12、带电总量分别为Q Qa a和和QQb b,求图中求图中、区内的电势区内的电势分布分布方法一：已知场强求电势方法一：已知场强求电势bbabaaaRrrQQERrRrQERrE20320214141002004.2.北京大学物理学院王稼军编写rQQl dEUIIIbar03341)(414)11(4000322bbabbabaRRrrRQrQRQQRrQl dEl dEl dEUIIbb)(414)(4100003211bbaabbabbaaRRRRrrRQRQRQQRQRQl dEl dEl dEl dEUIbbaa2004.2.北京大学物理学院王稼军编写方法二：电势叠加方法二：电势叠加n各区域
13、的电势分布是内外球壳单独存在时的各区域的电势分布是内外球壳单独存在时的 n电势的叠加电势的叠加 rQURrRQURraaaaa0044外内内壳单独存在内壳单独存在rQURrRQURrbbbbb0044外内外壳单独存在外壳单独存在：内内21UU内内21UU外外21UU2004.2.北京大学物理学院王稼军编写小结：小结：n求一点电势要已知这点到无穷远的场强分求一点电势要已知这点到无穷远的场强分布；布；n电势叠加要先求各带电体单独存在时的电电势叠加要先求各带电体单独存在时的电势，然后再叠加；势，然后再叠加；n电势是标量，叠加是标量叠加，比场强叠电势是标量，叠加是标量叠加，比场强叠加容易加容易 200
14、4.2.北京大学物理学院王稼军编写电场强度和电势电场强度和电势n已知场强已知场强 可求电势可求电势n已知电势已知电势 可否求场强？可否求场强？0cos0cos00EdlqldEqdAldE 2n等势面等势面 n等势面与电力线处处正交等势面与电力线处处正交 n证明：设一试探电荷证明：设一试探电荷q0沿任意一个等势面作一任意元沿任意一个等势面作一任意元位移位移dl电场力所做的元功电场力所做的元功2004.2.北京大学物理学院王稼军编写n等势面密集处场强大，稀疏处场强小等势面密集处场强大，稀疏处场强小 n证明：证明：设：电场中任意两个相邻等势面之间的电势差设：电场中任意两个相邻等势面之间的电势差为一
15、定的值，按这一规定画出等势面图（见图），以为一定的值，按这一规定画出等势面图（见图），以点电荷为例，其电势为点电荷为例，其电势为rqrU041)(drrqrdU2041)(微分微分因为相邻等势面电势差为一定值，所以有因为相邻等势面电势差为一定值，所以有UdUrdr,Urqr204半径之差半径之差r2定值定值21rE 而而E E越越大大 越越密密 等等势势面面间间距距越越小小 越越小小越越小小E E越越小小 越越稀稀 等等势势面面间间距距越越大大 越越大大越越大大，22rrrr2004.2.北京大学物理学院王稼军编写电势梯度电势梯度 n场有分布，沿各方向存在不同的方向微商场有分布，沿各方向存在不
16、同的方向微商n梯度：最大的方向微商梯度：最大的方向微商n如如 速度梯度速度梯度 温度梯度等温度梯度等n沿沿 l的方向微商可以表示为的方向微商可以表示为 lUlUollimn若取垂直方向，即场强方向若取垂直方向，即场强方向 n，则沿该方向的，则沿该方向的方向微商为方向微商为显显然然nUnUonlimcoslncos,cos1nUlUlUnU或或有有nUlU2004.2.北京大学物理学院王稼军编写结论结论：两等势面间：两等势面间U沿沿n 方向的变化率比沿方向的变化率比沿其他任何方向的变化率都大其他任何方向的变化率都大 n电势梯度电势梯度 n方向：方向：沿电势变化最快的方向沿电势变化最快的方向 n大
17、小：大小：nUn在三微空间在三微空间 nUgradUU或n电势梯度与场强的关系电势梯度与场强的关系 nEldEUQPnUnUEn0limn 很小，很小，场强场强E变化不大变化不大 2004.2.北京大学物理学院王稼军编写nE总是沿着指向电势减少的方向总是沿着指向电势减少的方向E与与n相反相反n在数学场论中把在数学场论中把)(gradUUEkzjyix矢量微分算符矢量微分算符 直角坐标系表示直角坐标系表示 称称作作梯梯度度:U称称作作散散度度:A称称作作旋旋度度:A例题例题2004.2.北京大学物理学院王稼军编写静电场的基本方程的微分形式n数学场论公式数学场论公式体积分体积分面积分面积分 SVdVdASA面积分面积分线积分线积分 SAlAddSL)(n对静电场方程积分形式进行变换可以得到对静电场方程积分形式进行变换可以得到一组静电场的一组静电场的基本微分方程基本微分方程2004.2.北京大学物理学院王稼军编写0001EESEVSVdVqdVd00)(ESElEddSL0 E0E有源有源无旋无旋0EE代代入入将将U02)(UUE拉普拉斯方程拉普拉斯方程0 0若若泊松方程,泊松方程,得得0202UU场方程的微分形式场方程的微分形式静电场的基本静电场的基本微分方程微分方程谢谢观看！2004.2.北京大学物理学院王稼军编写
