1、考点一考点一 函数的单调性及最值函数的单调性及最值考点考点清单清单考向基础考向基础1.函数的单调性函数的单调性 增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I.区间DI,如果对于任意x1,x2D,且x1x2都有 f(x1)f(x2)函数f(x)在区间D上是增函数 函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(i)0f(x)在a,b上是增函数;0f(x)在a,b上是增函数;(x1-x2)f(x1)-f(x2)0f(x)在a,b上是减函数.1212()()f xf xxx1212()()f xf xxx注意注意(1)单调函数的定义有以下两种等价形式:x1
2、,x2a,b,且x1x2,前提一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xI,都有 f(x)M (2)存在x0I,使得 f(x0)=M (1)对于任意的xI,都有 f(x)M 存在x0I,使得 f(x0)=M 结论M是f(x)的最大 值M是f(x)的最小 值1x(2)单调区间只能用区间表示,当一个函数的增区间(或减区间)有多个时,不能用“”连接,而应该用“和”或“,”连接.例如:y=的单调减区间为(-,0)和(0,+),但不能写成(-,0)(0,+).2.函数的最值考向突破考向突破考向一考向一 函数单调性的判断函数单调性的判断例例1下列说法中正确的个数是()
3、若对任意x1,x2I,当x10,则y=f(x)在I上是增函数;函数y=x2在R上是增函数;函数y=-在定义域上是增函数;函数y=的单调区间是(-,0)(0,+).A.0 B.1 C.2 D.31212()()f xf xxx1x1x解析解析当x1x2时,x1-x20知,f(x1)-f(x2)0,f(x1)1(x1x2),0.设a=f,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为()A.cba B.abc C.bca D.ba1(x1x2),有0,函数在(1,+)上单调递增.f=f=f=f,又f(2)ff(3),bac,故选D.1212()()f xf xxx123123125252考向
4、基础考向基础1.函数的奇偶性函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数关于 y轴 对称奇函数一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点 对称考点二考点二 函数的奇偶性函数的奇偶性(ii)两个偶函数的和、积都是偶函数;(iii)一个奇函数、一个偶函数的积是奇函数.2.奇、偶函数的性质奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 ,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 .(2)在公共定义域内,(i)两个奇
5、函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;考向一考向一 奇偶性的判断奇偶性的判断考向突破考向突破例例1 (2018山东青岛第二次模拟,4)下列函数是偶函数的是()A.y=xsin x B.y=x2+4x+4C.y=sin x+cos x D.f(x)=log3(+x)21x 解析解析对于选项A,令f(x)=xsin x,f(-x)=(-x)sin(-x)=(-x)(-sin x)=xsin x=f(x),所以函数是偶函数;选项B、C、D均为非奇非偶函数.答案答案 A例例2 (2018安徽合肥第二次教学质量检测,6)已知函数f(x)=是奇函数,则f(a)的值等于()A.-B.3 C.-或3 D.
6、或322xxaa131313考向二考向二 函数的奇偶性及其应用函数的奇偶性及其应用解析解析因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=-,整理可得=,即(a2-1)2x=0,则a2=1,a=1.当a=1时,函数的解析式为f(x)=,f(a)=f(1)=-;当a=-1时,函数的解析式为f(x)=,f(a)=f(-1)=3.综上可得,f(a)的值等于-或3.22xxaa22xxaa2121xxaa22xxaa 1 21 2xx111 212131 212xx 111 21 2 13考向基础考向基础1.周期函数的概念周期函数的概念对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内
7、的任何值时,都有 f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做f(x)的周期.如果所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.2.关于函数周期性的几个常用结论关于函数周期性的几个常用结论(1)若f(x+a)=f(x+b)(ab),则f(x)的周期是 T=|a-b|.(2)若f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期是 T=2|a|.(3)若f(x+a)=或f(x+a)=-,其中f(x)0,则f(x)的周期是 T=2|a|.1()f x1()f x考点三考点三 函数的周期性函数的周期性(4)设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a
8、0)对称,则f(x)是周期函数,2|a|是它的一个周期.(5)设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a0)对称,则f(x)是周期函数,4|a|是它的一个周期.例例 (2018山东济宁一模,10)已知函数f(x)是(-,+)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x0,1时,f(x)=2x-1.则f(2 017)+f(2 018)的值为()A.-2 B.-1 C.0 D.1考向考向 函数的周期性及其应用函数的周期性及其应用考向突破考向突破解析解析函数f(x)是(-,+)上的奇函数,f(-x)=-f(x),由f(x)的图象关于直线x=1对称,得f(1+x)=f(1-x),f(x)=
9、f(2-x)=-f(-x),f(4-x)=-f(2-x)=f(-x),f(x)的周期T=4.当x0,1时,f(x)=2x-1.f(2 017)+f(2 018)=f(1)+f(2)=f(1)+f(0)=2-1+1-1=1.故选D.答案答案 D方法点拨方法点拨利用函数性质求值的关键是利用函数的奇偶性、对称性以及函数的周期性将自变量转化到指定区间内,然后代入函数解析式求值.方法方法1 判断函数单调性的方法判断函数单调性的方法1.定义法:设元作差变形判断符号给出结论.2.利用函数的性质:若y=f(x),y=g(x)都为增(减)函数,则y=f(x)+g(x)为增(减)函数;若y=f(x)为增函数,y=
10、g(x)为减函数,则y=f(x)-g(x)为增函数,y=g(x)-f(x)为减函数.3.图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,则可由图象直观地判断函数的单调性.方法技巧方法技巧4.利用复合函数关系判断单调性法则是“同增异减”,即若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数,若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.5.导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.例例1 (2017河南商丘二模,3)已知函数f(x)=ln(e+x)+ln(e-x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,e)上是增函数B.奇函数,且在(0,e)上是减函数
11、C.偶函数,且在(0,e)上是增函数D.偶函数,且在(0,e)上是减函数解析解析解法一:f(x)的定义域为(-e,e),关于原点对称.f(-x)=ln(e-x)+ln(e+x)=f(x),函数f(x)是偶函数,函数f(x)=ln(e+x)+ln(e-x)=ln(e2-x2),在(0,e)上y=e2-x2是减函数,y=ln x是增函数,由复合函数的单调性可知函数f(x)=ln(e+x)+ln(e-x)在(0,e)上是减函数,故选D.解法二:同解法一知f(x)是偶函数.在(0,e)上,f(x)=-=,则f(x)0,b0;a+b(或ab)为定值;取等号的条件为a=b.三个条件缺一不可.6.函数的单调
12、性法函数的单调性法确定函数在定义域(或定义域的子集)上的单调性,从而求出函数的值域,cxdaxbab例如 f(x)=ax+(a0,b0),当利用基本不等式法等号不能成立时,可考虑用函数的单调性求解.bx例例3求下列函数的值域:(1)y=;(2)y=2x-1-.1 21 2xx134x解析解析(1)分离常数法:y=-1+,1+2x1,02,-1-1+1,即-11,函数y=的值域为(-1,1).(2)解法一:换元法.令=t,则t0,x=,于是y=g(t)=2-1-t=-t2-t+=-(t+1)2+6,显然函数g(t)在0,+)上是单调减函数,1 21 2xx21 21 2xx 212x212x212x1 21 2xx1 21 2xx134x2134t2134t1211212所以g(t)g(0)=,因此原函数的值域是.解法二:单调性法.易知函数的定义域是.易证函数y=2x-1-在其定义域上是一个单调增函数,所以当x=时,函数取得最大值,故原函数的值域是.11211,2134x x134x13411211,2谢谢
