1、山西省吕梁市文水县2020-2021学年高一上学期期中数学试题一、单选题1“”是“二次函数的图象关于y轴对称”的（ ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件2已知集合，集合，则集合B中元素的个数是（ ）A6B5C4D33（ ）ABCD4学校举行秋季田径运动会，某选手参加“100米短跑”比赛，从起点到终点，他跑步路程s（单位：m）关于跑步时间t（单位：s）的函数图象最可能是（ ）ABCD5已知函数，则（ ）AB16CD46若，则（ ）ABCD7已知幂函数的部分图象如图，则点所在象限是（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限8已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离与速度
2、之间有如下关系式：，其中k是比例系数，且是汽车及其载重质量之和.若某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以的速度行驶时，从刹车到停车需要走.当这辆卡车装载等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面处有障碍物时能在离障碍物及以外处停车，则最高速度是（设司机发现障碍物到踩刹车经过）（ ）ABCD二、多选题9如果，那么下列不等式中一定成立的是（ ）ABCD10若，则下列不等式中正确的是（ ）ABCD11狄利克雷是一位伟大的数学家，他的数学研究工作推动了人们对函数性质的关注和认识，例如对称性、单调性等，著名的“狄利克雷函数”就是以他的名字命名的，其解析式为，关于函数性质的叙述正确的是（ ）A定义域为
3、RBC存在无穷多个，使得的图象关于直线轴对称D，且，必有12甲、乙两个项目组完成一项工程，甲项目组在做工程的前一半时间内用速率工作，后一半用速率工作；乙项目组在完成工程量的前一半中用速率工作，在后一半用速率工作，则（ ）A如果，则两个项目组同时完工B如果，则甲项目组先完工C如果，则甲项目组先完工D如果，则乙项目组先完工三、填空题13命题“，”的否定是_.14“”、“”、“”、“”这四个字母按照本题中的书写格式放置在平面直角坐标系中，且轴与字母“”的水平线平行，则其中可以作为函数图象的字母是_.15已知函数（m为常数），若在区间上不是单调函数，则m的取值范围是_.16若函数，在其定义域R内存在实
4、数x，满足，则整数m的取值集合是_.四、解答题17设函数.（1）作出函数的图象；（2）写出函数的单调区间；（3）当时，求的值.18已知集合.（1）当时，求；（2）若，求实数m的取值范围.19已知函数.（1）求函数的解析式；（2）若时，不等式无解，求a的取值范围.20设a是实数，函数.（1）时，求函数的值域；（2）求证：函数不是奇函数.21学习函数知识后，某校高一年级数学小组进行了数学建模活动，通过对学校附近超市的某一商品销售情况的调查发现：该商品在最近的一个月内（以30天计）的日销售价格（元/件）与时间x（天）的函数关系近似满足（k为常数，且），该商品的日销售量（件）与时间x（天）对应关系的部
5、分数据如表所示：x（天）10202530（件）110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121，且该商品的日销售收入与x的函数关系为（单位：元）.（1）求k的值；（2）给出以下两种函数模型：，.请你根据如表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；（3）根据（2）中的，求的最小值.22已知函数.（1）在上恒成立，求的取值范围；（2）当时，解不等式.试卷第3页，共3页参考答案1A【分析】由二次函数的对称轴函数关于y轴对称，即可得出结果.【详解】二次函数的图象关于y轴对称，二次函数的图象关于y轴对称,对称轴为所有二次函数的图象
6、关于y轴对称，“”是“二次函数的图象关于y轴对称”的充要条件，故选：A.2D【分析】根据题意求出，即可求出结果.【详解】集合，集合，集合B中元素的个数是3个.故选：D.3C【分析】根据指数幂的运算性质可解得结果.【详解】，故选：C.4B【分析】根据“100米短跑”比赛的特点，结合路程和时间的关系进行判断即可.【详解】某选手参加“100米短跑”比赛在实际生活中，最可能为先加速，再均速到达终点，（在终点处不减速，过了终点后才减速），由，可得的图象的斜率就是瞬时速度，对于选项A，速度一直不变，故不符合，对于选项B，先加速，再匀速，有可能，对于选项C，先减速，后匀速，故不符合，对于选项D，先加速，再匀
7、速，再减速，故不符合.故选：B.5A【分析】根据分段函数的解析式先求出，再求出可得解.【详解】根据题意，函数，则，则，故选：A.6B【分析】根据幂函数和指数函数的单调性比较可得结果.【详解】幂函数在上单调递增，且，即，指数函数在R上单调递减，且，即，故选：B.7C【分析】根据幂函数的部分图象得到的范围，从而可得和的符号，据此可得答案.【详解】根据幂函数的部分图象，可得a为正偶数，；b为奇数且，且，故点在第三象限，故选：C.8D【分析】根据时，求出，求出司机发现障碍物到踩刹车经过，汽车行驶的距离，再由不等式可解得结果.【详解】因为，且当时，所以，司机发现障碍物到踩刹车经过，汽车行驶的距离为，由，
8、得，即，解得.则最高速度是.故选：D.【点睛】关键点点睛：理解题意，找出题目中的不等关系是解题关键.9ABD【分析】利用特殊值法可判断C选项的正误，利用不等式的基本性质可判断ABD选项的正误.【详解】由，取，则，C选项错误；由不等式的基本性质可得，ABD选项正确.故选：ABD.10ACD【分析】根据基本不等式可知ACD正确，举特值可知B错误.【详解】由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，选项A成立；取，则，此时，选项B错误；由基本不等式可知：，当且仅当时等号成立，选项C成立；，当且仅当时等号成立，选项D成立；故选：ACD.11ABC【分析】对于选项A：根据分段函数的解析式求出定义域可知选项A正
9、确；对于选项B：利用分段函数的最值可知选项B正确；对于选项C：根据对任意的实数x有无穷多个，使恒成立可知选项C正确；对于选项D：取，且，可知选项D错误.【详解】对于选项A：函数，选项A正确，对于选项B：，选项B正确，对于选项C：对而言，若恒成立，函数关于对称，对于任意的实数x，则也为任意实数，由的解析式可知，有无穷多个，使关于对称，选项C正确，对于选项D：取，令，与选项D矛盾，所以选项D错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：根据狄利克雷函数的解析式分析求解是解题关键.12AC【分析】设总工程量为，计算出甲、乙两个项目组做工程的时间，利用作差法可得出结论.【详解】设总工程量为，甲项目组在做工程
10、的前一半时间内用速率工作，后一半用速率工作，乙项目组在完成工程量的前一半中用速率工作，在后一半用速率工作，当时，即甲、乙项目组同时完工；当时，即甲项目组先完工，故选：AC.【点睛】方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差变形判断正负在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商.13，【分析】利用特称命题否定可得出结论.【详解】命题“，”为特称命题，该命题的否定为“，”.故答案为：，.14【分析】根据函数的定义可得出结论.【详解】一般地，设、是两个非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合中的每一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这
11、样的对应叫做从到的一个函数，结合“”、“”、“”、“”这四个字母的特点，可以得到只有“”符合.故答案为：.15【分析】根据函数的图象的对称轴得到函数的图象的对称轴，再根据区间包含的图象的对称轴列式可得结果.【详解】因为函数的图象关于y轴对称，如图所示：所以函数的图象关于直线对称，又因为在区间上不是单调函数，所以，即，即m的取值范围是：.故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据区间包含的图象的对称轴求解是解题关键.16【分析】将已知等式转化为方程有解问题，利用换元法和二次函数的性质列出不等式组，解出整数m的取值集合【详解】根据题意，函数，其定义域为R，则有，若在其定义域R内存在实数x，满足，即方程在
12、R上有解，该方程变形可得，令，原问题转化为在有解，则必有或，解得：，即m的取值集合为，故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查方程有解问题，考查二次函数的性质，考查换元法的应用，解决本题的关键点是将定义域R内存在实数x，满足，转化为方程有解问题，化简并利用换元法，结合二次函数图象和性质，列出不等式组求出参数范围，考查学生计算能力，属于中档题17（1）图象见解析；（2）单调增区间为，单调减区间为；（3）0.【分析】（1）先做出反比例函数在上的图象，再结合函数图象的对称性，即可求解；（2）由（1）中的函数图象，结合图象，即可求得函数的单调性；（3）由（1）中的函数图象，得到，即可求解.【详解】（1
13、）先画出反比例函数上的图象，根据图象的对称性，即可得到函数的图象，如图所示：（2）由（1）中函数的图象，可得函数在单调递增，在上单调递减.即函数的递增区间为，递减区间为.（3）由（1）中函数的图象可知，当时，可得，所以.18（1）；（2）或.【分析】（1）化简集合，根据集合的补集和交集运算可得结果；（2）分类讨论集合，根据交集运算的结果列式可得解.【详解】（1）时，或；.（2）或，且，时，解得；时，解得，综上得，实数m的取值范围为或.19（1）；（2）.【分析】（1）利用换元法可求得结果；（2）利用基本不等式求出在上的最小值后，可得结果.【详解】（1）根据题意，函数，设，则，则，故，（2）根据
14、题意，由（1）的结论，当时，当且仅当时，等号成立，即有，若时，不等式无解，必有，即a的取值范围为.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.20（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）换元后，利用二次函数知识可求得结果；（2）利用可证函数不是奇函数.【详解】（1）根
15、据题意，时，令，则在上单调递增，所以，所以函数的值域为；（2）证明：根据题意，则，则，所以，所以不满足奇函数的定义，故不是奇函数.【点睛】关键点点睛：（1）换元后，利用二次函数知识求解是解题关键；（2）通过举特值不满足奇函数的定义求解是解题关键.21（1）1；（2）选，；（3）121元.【分析】（1）根据可解得结果；（2）根据日销售量不单调可知选，选取表中两组值代入可解得函数解析式；（3）利用基本不等式和函数的单调性求出分段函数的最小值可得解.【详解】（1）依题意有：，因为第10天该商品的日销售收入为121，所，即，解得；（2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故选.从表
16、中选取两组值：；代入可得，解得：，得；（3），所以当时，当时，日销售收入：.当时，元，当且仅当时等号成立；当时，函数为减函数，当时，.由于，故的最小值为121元.综上所述：当时，的最小值为121元.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.22（1）；（2）答案见解
17、析.【分析】（1）分、三种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数的取值范围；（2）分、四种情况讨论，结合二次不等式的解法可求得原不等式的解集.【详解】（1）由题意得，在上恒成立，且.当时，符合题意；当时，即，令，则，故，解得：；当时，故只需，解得：.综上：的取值范围是；（2）解不等式即，当时，恒成立，此时，原不等式的解集是；当时，即，原不等式的解集是；当时，解得：，故原不等式的解集是；当时，即，令，解得：，故原不等式的解集是.综上：当时，原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是，当时，原不等式的解集是.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.答案第8页，共8页
