1、高中数学必修一知识点汇编一、集合元素与集合集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性集合间的基本关系子集:若对任意xA,都有xB,则AB(或BA)真子集:若AB,且B中至少有一个元素不属于A,则AB(或BA)相等:若AB,且BA,则A=B结论:若有限集A中有n(nN*)个元素,则A的子集有2n个,真子集有(2n-1)个集合的基本运算并集:AB=x|xA,或xB,ABAB=B交集:AB=x|xA,且xB,ABAB=A补集:UA=x|xU,且xA,ABUAUB二、充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”为真命题“若p,则q”为假命题推出关系由p能推出q,记作pq由p不能推出q,记作p /q条件关
2、系p是q的充分条件p不是q的充分条件q是p的必要条件q不是p的必要条件三、充要条件如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有pq,又有qp,就记作pq.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.概括地说,如果pq,那么p与q互为充要条件.四、全称量词与全称量词命题全称量词全称量词命题全称量词命题的真假判断短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 “”表示含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为xM,p(x)全真为真,一假为假五、存在量词与存在量词命题存
3、在量词存在量词命题存在量词命题的真假判断短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. 存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为xM,p(x)一真为真,全假为假六、全称量词命题和存在量词命题的否定命题的类型命题的符号表示命题的否定的符号表示命题的否定的类型全称量词命题p:xM,p(x)p:xM,p(x)存在量词命题存在量词命题p:xM,p(x)p:xM,p(x)全称量词命题七、不等式的主要性质1.对称性:abbb,bcac.3.加法法则:aba+cb+c;ab,cda+cb+d.4.乘法法则:ab,c0acbc
4、;ab,c0acb0,cd0acbd.5.倒数法则:ab,ab01ab0anbn(nN,n2).7.开方法则:ab0nanb(nN,n2).八、基本不等式如果a,b是正数,那么aba+b2(当且仅当a=b时,等号成立).九、二次函数与一元二次方程、不等式设一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1、x2,且x1x2,=b2-4ac,则不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0)的解集的各种情况如下表:0=00)的图象ax2+bx+c=0(a0)的根有两个不相等的实数根x1,x2(x10(a0)的解集x|xx2xxb2aRax2+bx+c0)的解集x|x1xx2十、函数的概念及其表示
5、函数一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数表示法解析法、列表法和图象法十一、函数的单调性与奇偶性1.函数的单调性增函数减函数设函数f(x)的定义域为I,区间DI:如果x1,x2D当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就称f(x)在区间D上单调递增,D叫做f(x)的递增区间当x1f(x2),那么就称f(x)在区间D上单调递减,D叫做f(x)的递减区间2.函数的最大(小)值前提一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件xI,都有f(x)M;
6、x0I,使得f(x0)=MxI,都有f(x)M;x0I,使得f(x0)=M结论那么称M是函数f(x)的最大值那么称M是函数f(x)的最小值3.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果xI,都有-xI,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果xI,都有-xI,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称十二、幂函数定义一般地,函数y=x叫做幂函数,其中x是自变量,是常数常见五种幂函数的图象性质幂函数在(0,+)上都有定义当0时,图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0
7、,+)上单调递增当0,m,nN*,n1)a-mn=1amn=1nam(a0,m,nN*,n1)运算性质aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a0,b0,r,sQ2.指数函数及其性质概念一般地,函数y=ax(a0,且a1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R底数的范围a10a0时,y1;x0时,0y1x1;x0时,0y0,且a1,M0,N0)定义一般地,如果ax=N(a0,且a1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN常用对数以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为lg N自然对数以无理数e=2.718 28为底的对数叫做自然对数,并把l
8、ogeN记为ln N结论loga1=0;logaa=1;alogaN=N;logaab=b运算性质loga(MN)=logaM+logaN;logaMN=logaM-logaN;logaMn=nlogaM(nR)换底公式logab=logcblogca(a0,且a1;b0;c0,且c1)2.对数函数及其性质概念一般地,函数y=logax(a0,且a1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+)底数的范围a10a1时,y0;0x1时,y1时,y0;0x0在(0,+)上是增函数在(0,+)上是减函数十五、函数与方程1.函数的零点概念对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函
9、数y=f(x)的零点等价关系方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有公共点函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解2.二分法求函数的零点二分法的概念对于在区间a,b上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法步骤(给定精确度)(1)确定零点x0的初始区间a,b
10、,验证f(a)f(b)0.(2)求区间(a,b)的中点c.(3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点;若f(a)f(c)0(此时零点x0(a,c),则令b=c;若f(c)f(b)0(此时零点x0(c,b),则令a=c.(4)判断是否达到精确度:若|a-b|0,0)的图象的两种方法:必修二知识点汇编 第六章平面向量及其应用一、平面向量的线性运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律:a+b=b+a;(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差数乘实数
11、与向量a的积是一个向量,记作a(1)模:|a|=|a|;(2)方向:当0时,a与a的方向相同;当0时,a与a的方向相反;当=0时,a=0设,是实数.(1)(a)=()a;(2)(+)a=a+a;(3)(a+b)=a+b二、向量共线定理向量a(a0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数,使b=a.三、平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1,2,使a=1e1+2e2.若e1,e2不共线,我们把e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.四、平面向量的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2
12、,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1),|a|=x12+y12,ab=|a|b|cos =x1x2+y1y2(为a与b的夹角).五、余弦定理及其推论1.余弦定理三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2cacos B,c2=a2+b2-2abcos C.2.推论cos A=b2+c2-a22bc,cos B=a2+c2-b22ac,cos C=a2+b2-c22ab.六、正弦定理及其常见变形1.正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即asinA=bs
13、inB=csinC=2R(R为ABC外接圆半径).2.常见变形a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R,abc=sin Asin Bsin C,a+b+csinA+sinB+sinC=2R.第七章复数一、复数的有关概念及代数表示1.复数把形如a+bi(a,bR)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部.把z=a+bi(a,bR)这一表示形式叫做复数的代数表示式,简称代数形式.2.复数集全体复数所构成的集合C=a+bi|a,bR叫做复数集.3.复数相等在复数集C=a+bi|a,bR中任取两个
14、数a+bi,c+di(a,b,c,dR),我们规定:a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d.4.复数的分类复数z=a+bi(a,bR)实数(b=0),虚数(b0)纯虚数(a=0),非纯虚数(a0).二、复数的几何意义三、复数的四则运算设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则(1)z1z2=(ac)+(bd)i;(2)z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;(3)z1z2=a+bic+di=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i(z20).对任意z1,z2,z3C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3),z1
15、z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.第八章立体几何初步一、常见几何体的面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.圆柱的侧面积S侧=2rl,表面积S=2r(r+l).圆锥的侧面积S侧=rl,表面积S=r(r+l).圆台的侧面积S侧=(r+r)l,表面积S=(r2+r2+rl+rl).球的表面积S=4R2.其中r,r分别为上、下底面半径,l为母线长,R为球的半径.二、常见几何体的体积柱体的体积V=Sh;锥体的体积V=13Sh;台体的体积V=13(S+SS+S)h;球的体积V=43R3.其中S,S分别为上、下底面面积,h为高,R为球的半
16、径.三、平面的基本事实基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.四、空间点、直线、平面之间的位置关系1.空间中直线与直线的位置关系共面直线相交直线:在同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:在同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一
17、个平面内,没有公共点.2.空间中直线与平面的位置关系(1)直线在平面内有无数个公共点;(2)直线与平面相交有且只有一个公共点;(3)直线与平面平行没有公共点.当直线与平面相交或平行时,直线不在平面内,也称为直线在平面外.3.空间中平面与平面的位置关系(1)两个平面平行没有公共点;(2)两个平面相交有一条公共直线.五、空间平行关系的判定及性质1.直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.2.直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行.3.平面与平面平行的判定定理:如果一个平面内的两条相
18、交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行.4.平面与平面平行的性质定理:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行.六、空间垂直关系的判定及性质1.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.2.直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.3.平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直.4.平面与平面垂直的性质定理:两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直.第九章统计一、随机抽样简单随机抽样从总体中逐个抽取样本的方法,分为放回简
19、单随机抽样和不放回简单随机抽样分层随机抽样将总体分层,按照比例从各层中独立抽取样本的方法二、用样本估计总体频率分布样本中某个数据(范围)在总体中占有的比例称为这个数据(范围)的频率,使用频率分布表、频率分布直方图表达样本数据的频率分布样本的数字特征百分位数一组数据的第p百分位数使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值众数样本数据中出现次数最多的数据中位数从小到大排序后,中间的数或者中间两数的平均数平均数x1,x2,xn的平均数是x=1n(x1+x2+xn)方差、标准差s2=1ni=1n(xi-x)2=1ni=1nxi2-x2,s=1ni=1
20、n(xi-x)2三、频率分布直方图的特征1.各个小矩形的面积和为1.2.纵轴的含义为频率组距,矩形的面积=组距频率组距=频率.3.样本数据的平均数的估计值等于各个小矩形的面积乘该矩形底边中点横坐标之和.4.众数为最高矩形的底边中点的横坐标第十章概率一、有限样本空间与随机事件1.随机试验:把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验.2.样本点:把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点,一般用表示.3.样本空间:全体样本点的集合称为试验的样本空间,一般用表示.4.有限样本空间:如果一个随机试验有n个可能结果1,2,n,则称样本空间=1,2,n 为有限样本空间.5.随机事件:把样本空间的子
21、集称为随机事件,简称事件,把只包含一个样本点的事件称为基本事件.6.必然事件:作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以总会发生,我们称为必然事件.7.不可能事件:空集不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为不可能事件.二、事件的关系和运算事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生BA(或AB)相等A发生导致B发生,B发生也导致A发生A=B并事件(和事件)A与B至少有一个发生AB(或A+B)交事件(积事件)A与B同时发生AB(或AB)互斥(互不相容)A与B不能同时发生AB=互为对立A与B有且仅有一个发生AB=,且AB=三、古典概型1.特征(1)有限
22、性:样本空间的样本点只有有限个;(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.2.概率公式设试验E是古典概型,样本空间包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=kn=n(A)n().其中n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.四、概率的基本性质性质1:对任意的事件A,都有P(A)0.性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P()=1,P()=0.性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(AB)=P(A)+P(B).推广:如果事件A1,A2,Am两两互斥,那么事件A1A2Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1A2Am)=
23、P(A1)+P(A2)+P(Am).性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).性质5:如果AB,那么P(A)P(B).性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).五、事件的相互独立性1.概念对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.2.性质A与B是相互独立事件,则A与B,A与B,A与B也都相互独立.六、频率与概率1.频率与概率的关系(1)频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.(2)频率是随机的,概率是确定的,可以用频率f(n)(A)来估计概率P(A).2.随机模拟利用计算器或计算机软件产生随机数做模拟试验,由模拟试验得到频率来估计概率,这种用计算器或计算机模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法.
