1、振动力学振动力学参考书目：参考书目：1.王伟等王伟等振动力学与工程应用振动力学与工程应用,郑州大学出版社郑州大学出版社,2008 2.胡少伟等胡少伟等结构振动理论及其应结构振动理论及其应用用,中国建筑工业出版社中国建筑工业出版社,2005课程特点与学习方法课程特点与学习方法 课程性质课程性质:力学专业课力学专业课 课程特点课程特点:理论繁杂、工程应用性强理论繁杂、工程应用性强;与多门与多门学科紧密相关学科紧密相关 数学基础数学基础:微积分、微分方程、线性代数、复微积分、微分方程、线性代数、复变函数、积分变换、计算方法、级数等变函数、积分变换、计算方法、级数等;力学基础力学基础:理论力学、分析力
2、学、材料力学、理论力学、分析力学、材料力学、弹性力学、结构力学、有限元等。弹性力学、结构力学、有限元等。第第1章章 导导 论论 振动的概念振动的概念 振动研究的问题及其分类振动研究的问题及其分类 振动分析的力学模型振动分析的力学模型 振动问题的研究方法振动问题的研究方法1.什么是振动什么是振动 振动振动Vibration，就是物体在，就是物体在静平衡静平衡位置附近位置附近所作的所作的往复运动往复运动。我们只研究物体在静平衡位置附近我们只研究物体在静平衡位置附近所作的往复微小弹性运动。所作的往复微小弹性运动。1.1 机械振动概述机械振动概述2.机械振动现象机械振动现象 机械振动是自然界非常普遍的
3、运动现象，机械振动是自然界非常普遍的运动现象，广泛存在于工程技术和日常生活中。广泛存在于工程技术和日常生活中。如如:日常生活中，心脏的跳动、钟摆的摆动、日常生活中，心脏的跳动、钟摆的摆动、琴弦的振动、车箱的晃动、大海波涛桥等等琴弦的振动、车箱的晃动、大海波涛桥等等;工程技术领域，桥梁与建筑物的振动、飞工程技术领域，桥梁与建筑物的振动、飞行器与船舶的振动、机床与刀具的振动、各种动行器与船舶的振动、机床与刀具的振动、各种动力机械的振动、以及地震、风振、噪声等等，都力机械的振动、以及地震、风振、噪声等等，都是属于机械振动的范畴。是属于机械振动的范畴。3.产生振动的原因产生振动的原因 一是由外界干扰引
4、起，二是结构本身固一是由外界干扰引起，二是结构本身固有的原因引起。有的原因引起。4.研究振动问题的目的研究振动问题的目的J 工程和日常生活中，振动现象和振动问工程和日常生活中，振动现象和振动问题既有有用的一面也有不利的一面。题既有有用的一面也有不利的一面。J 利用振动原理设计出很多常用的物品和利用振动原理设计出很多常用的物品和机械结构，如摆钟、振动筛、振动物料传机械结构，如摆钟、振动筛、振动物料传送带、振动打桩机械等等。送带、振动打桩机械等等。而大多数情况下而大多数情况下,振动会产生不良、甚至严振动会产生不良、甚至严重、灾难性的后果。重、灾难性的后果。L 由于振动由于振动,降低了机器的动态精度
5、和其它使降低了机器的动态精度和其它使用性能用性能;L 由于振动由于振动,机器在使用过程中产生巨大的反机器在使用过程中产生巨大的反复变动的荷载复变动的荷载,导致使用寿命的降低导致使用寿命的降低;L 有时候振动甚至酿成灾难性事故有时候振动甚至酿成灾难性事故,如大桥因如大桥因共振而倒塌共振而倒塌,烟囱因风振而倾倒烟囱因风振而倾倒,飞机因颤振而飞机因颤振而坠落等等。坠落等等。5.研究振动问题的总目标研究振动问题的总目标 研究振动产生的原因和它的运研究振动产生的原因和它的运动规律动规律;寻求控制和消除振动的方法寻求控制和消除振动的方法;振动检测，分析事故原因及控振动检测，分析事故原因及控制环境噪声制环境
6、噪声;振动技术的应用振动技术的应用1.振动问题中的名词概念振动问题中的名词概念 振动系统：在振动问题中所研究的振动系统：在振动问题中所研究的对象。如机器或结构物等。对象。如机器或结构物等。激励或输入：外界对振动系统的作激励或输入：外界对振动系统的作用或引起机器运动的力。用或引起机器运动的力。激励或输入是随时间变化的，将引激励或输入是随时间变化的，将引起振动的发生。起振动的发生。1.2 振动系统及参量振动系统及参量1.3 振动系统的分类及研究方法振动系统的分类及研究方法 确定性激励确定性激励:可用时间的确定函数来描可用时间的确定函数来描述的激励述的激励;随机激励随机激励:不能用时间的确定函数表示
7、不能用时间的确定函数表示的激励。随机激励具有一定的统计规律性，的激励。随机激励具有一定的统计规律性，可以用随机函数和随机过程描述。可以用随机函数和随机过程描述。响应或输出：机器或结构在激励作用响应或输出：机器或结构在激励作用下产生的动态行为。下产生的动态行为。确定性激励下的响应不一定是确定的，确定性激励下的响应不一定是确定的，但随机激励下的响应一定是随机的。但随机激励下的响应一定是随机的。2.工程振动分析的类别工程振动分析的类别 振动分析：研究振动系统、激励振动分析：研究振动系统、激励(输入输入)和和响应响应(输出输出)三者之间的关系。三者之间的关系。理论上讲，只要知道两者就可以确定第理论上讲
8、，只要知道两者就可以确定第三者。这样，工程振动分析所要解决的问题三者。这样，工程振动分析所要解决的问题可以归纳为下面几类。可以归纳为下面几类。（1）响应分析）响应分析 已知系统和输入参数，求系统响应。已知系统和输入参数，求系统响应。包括位移、速度、加速度和力的响应。这包括位移、速度、加速度和力的响应。这为计算和分析结构的强度、刚度、允许的为计算和分析结构的强度、刚度、允许的振动能量水平等提供了依据。振动能量水平等提供了依据。（2）系统设计）系统设计 已知振动系统激励已知振动系统激励(输入输入)和所要满足和所要满足的动态响应的动态响应(输出输出)的要求，设计合理的的要求，设计合理的系统参数。对机
9、器和结构的设计而言，系统参数。对机器和结构的设计而言，这类问题更为重要。这类问题更为重要。通常系统设计要依赖于响应分析，通常系统设计要依赖于响应分析，所以在实际工作中，响应分析和系统设所以在实际工作中，响应分析和系统设计这两个问题是交替进行的。计这两个问题是交替进行的。（3）系统识别）系统识别 已知振动系统的激励已知振动系统的激励(输入输入)和响应和响应(输出输出)求系求系统参数统参数,以便了解系统的特性。以便了解系统的特性。系统识别包括物理参数识别系统识别包括物理参数识别(确定系统的物理确定系统的物理参数参数:质量、刚度、阻尼等质量、刚度、阻尼等)和模态参数识别和模态参数识别(确定确定或估计
10、系统的固有特性或估计系统的固有特性:固有频率、振型等固有频率、振型等)。（4）环境预测）环境预测 在已知系统响应在已知系统响应(输出输出)和系统参数的情况下和系统参数的情况下确定系统的输入确定系统的输入,以判别系统的环境特征。以判别系统的环境特征。对结构进行振动分析，首先要把所研究对结构进行振动分析，首先要把所研究的对象以及外界对它的作用和影响简化为理的对象以及外界对它的作用和影响简化为理想的力学模型。这种力学模型不但要简单，想的力学模型。这种力学模型不但要简单，而且在动态特性方面，应尽可能地与原始结而且在动态特性方面，应尽可能地与原始结构等效。构等效。实际工程结构力学模型的建立实际工程结构力
11、学模型的建立,是振动分是振动分析中很关键很难的一步。本课程只学习一些析中很关键很难的一步。本课程只学习一些基本的概念。基本的概念。振动系统的力学基本模型中包括三个基振动系统的力学基本模型中包括三个基本本“元件元件”：质量、弹性和阻尼。：质量、弹性和阻尼。3.振动分析的力学模型振动分析的力学模型 质量质量:和理论力学的概念一样，是物体惯和理论力学的概念一样，是物体惯性大小的度量。在振动模型中简化为刚体性大小的度量。在振动模型中简化为刚体;弹簧弹簧:表示振动系统弹性的理想模型。简表示振动系统弹性的理想模型。简化为无质量的线弹性元件，即弹簧弹性力的化为无质量的线弹性元件，即弹簧弹性力的大小与弹簧两端
12、点的相对位移成正比大小与弹簧两端点的相对位移成正比;阻尼阻尼:任何振动在没有外界干扰任何振动在没有外界干扰(激励激励)时都时都会逐渐消失，因此，系统存在一种阻碍振动会逐渐消失，因此，系统存在一种阻碍振动持续进行的阻力，这种阻力称为阻尼。简化持续进行的阻力，这种阻力称为阻尼。简化为无质量的阻力元件。阻尼力的分析比弹簧为无质量的阻力元件。阻尼力的分析比弹簧力的分析要复杂得多。力的分析要复杂得多。弹簧表示力与位移的关系弹簧表示力与位移的关系;阻尼表示力与速度阻尼表示力与速度的关系的关系;质量表示力与加速度的关系。质量表示力与加速度的关系。4.振动过程的机理分析振动过程的机理分析 任何结构，之所以能产
13、生振动，是因为它本身任何结构，之所以能产生振动，是因为它本身具有质量和弹性。具有质量和弹性。从能量关系看从能量关系看,质量可以储存动能质量可以储存动能,弹性可以储弹性可以储存势能。当外界对系统作功时存势能。当外界对系统作功时,质量就吸收动能而质量就吸收动能而具有运动速度，进而发生位移，使弹性元件储存具有运动速度，进而发生位移，使弹性元件储存变形能变形能,因而就具有使质量恢复原来状态的能力。因而就具有使质量恢复原来状态的能力。这样，能量不断地变换就导致系统质量的反这样，能量不断地变换就导致系统质量的反复运动（振动）。复运动（振动）。5.振动系统的分类振动系统的分类（1）按产生振动的输入按产生振动
14、的输入(激励激励)特性分类特性分类 分为自由振动、强迫振动和自激振动。分为自由振动、强迫振动和自激振动。自由振动自由振动:系统受到初始激励作用后，仅靠其本身系统受到初始激励作用后，仅靠其本身的弹性恢复力的弹性恢复力“自由地自由地”振动，其振动的特性仅决定振动，其振动的特性仅决定于系统本身的物理特性于系统本身的物理特性(质量和刚度质量和刚度);（如摆钟）（如摆钟）受迫振动或称强迫振动受迫振动或称强迫振动:系统受到外界持续的激励系统受到外界持续的激励作用而作用而“被迫地被迫地”进行振动，其振动特性除决定于系进行振动，其振动特性除决定于系统本身的物理特性外，还决定于激励的特性统本身的物理特性外，还决
15、定于激励的特性;工程中的大部分振动都属于此类振动工程中的大部分振动都属于此类振动(振动机械、振动机械、转子偏心引起的振动等转子偏心引起的振动等)。自激振动：在系统自身控制的激励作用下发生自激振动：在系统自身控制的激励作用下发生的振动。在适当的反馈作用下，系统会自动地激的振动。在适当的反馈作用下，系统会自动地激起定幅振动起定幅振动,一旦振动被激起一旦振动被激起,激励也随之消失。激励也随之消失。例如：桥梁受风载作用后激发的振动例如：桥梁受风载作用后激发的振动;电线在电线在风载作用线的舞动等。风载作用线的舞动等。（2）按振动的输出特性分类）按振动的输出特性分类 分为简谐振动、非简谐振动和随机振动。分
16、为简谐振动、非简谐振动和随机振动。简谐振动与非简谐振动：是否可以用简单的正简谐振动与非简谐振动：是否可以用简单的正弦函数或余弦函数表述其运动规律弦函数或余弦函数表述其运动规律;随机振动随机振动:不能用简单函数或简单函数的组合来不能用简单函数或简单函数的组合来表述其运动规律，只能用统计的方法来研究其规律表述其运动规律，只能用统计的方法来研究其规律的非周期性振动。的非周期性振动。（3）按振动系统的自由度数目分类）按振动系统的自由度数目分类 单自由度、多自由度和弹性体的振动。单自由度、多自由度和弹性体的振动。（4）按振动微分方程或系统的结构参数特性分类）按振动微分方程或系统的结构参数特性分类 线性振
17、动线性振动:振动系统的惯性力、阻尼力、弹性恢复振动系统的惯性力、阻尼力、弹性恢复力分别与加速度、速度、位移成线牲关系，能够用力分别与加速度、速度、位移成线牲关系，能够用常系数线性微分方程表述的振动常系数线性微分方程表述的振动;非线性振动非线性振动:振动系统的阻尼力或弹性恢复力具有振动系统的阻尼力或弹性恢复力具有非线性性质非线性性质,只能用非线性微分方程来表述。只能用非线性微分方程来表述。（5）按振动的周期性分类按振动的周期性分类 周期振动系统、非周期振动周期振动系统、非周期振动(瞬态振动瞬态振动)系统。系统。简谐振动属于周期性振动简谐振动属于周期性振动,非简谐振动也可能非简谐振动也可能是周期性
18、振动。是周期性振动。6.振动问题的研究方法振动问题的研究方法 解决振动问题的方法有理论分析、数值模拟与解决振动问题的方法有理论分析、数值模拟与计算、实验研究等。计算、实验研究等。本课程主要学习振动的基本理论与分析方法，本课程主要学习振动的基本理论与分析方法，为进一步解决实际振动问题和开展研究工作打下为进一步解决实际振动问题和开展研究工作打下良好的基础。良好的基础。第第2章章 单自由度系统单自由度系统自由振动自由振动 单自由度系统单自由度系统:可以用一个独立坐标来确可以用一个独立坐标来确定系统的位置及其运动规律的振动系统定系统的位置及其运动规律的振动系统;单自由度线性系统的振动是最简单的振动单自
19、由度线性系统的振动是最简单的振动系统系统;许多实际问题可以足够精确地简化为单自许多实际问题可以足够精确地简化为单自由度振动系统由度振动系统;单自由度振动系统的一些概念、特征和研单自由度振动系统的一些概念、特征和研究方法，是研究复杂振动系统的基础。究方法，是研究复杂振动系统的基础。2.1 引引 言言 根据振动系统结构形式的不同，建根据振动系统结构形式的不同，建立振动微分方程的方法也不同，主要采立振动微分方程的方法也不同，主要采用牛顿定律、动力学基本定理（动量定用牛顿定律、动力学基本定理（动量定理、动能定理、动量矩定理）以及拉格理、动能定理、动量矩定理）以及拉格朗日方程等。朗日方程等。振动微分方程
20、振动微分方程(P6-20)2.2 自由振动系统自由振动系统2.2 自由振动系统自由振动系统m-k系统的自由振动系统的自由振动(P6)m-k系统虽然非常简单，系统虽然非常简单，但却是许多实际结构振动问但却是许多实际结构振动问题的力学模型。题的力学模型。已知质量为已知质量为m，弹簧的刚，弹簧的刚度系数为度系数为k。取质量的静平衡。取质量的静平衡位置为坐标原点位置为坐标原点,当重物偏离当重物偏离 x 时时,利用牛顿定律可得到运利用牛顿定律可得到运动微分方程：动微分方程：0kxxm 2.2 自由振动系统自由振动系统 扭转振动扭转振动(P9)圆盘在轴的弹性恢复力矩圆盘在轴的弹性恢复力矩作用下在平衡位置附
21、近作扭作用下在平衡位置附近作扭转振动。设转振动。设q q为圆盘相对静平为圆盘相对静平衡位置转过的角度衡位置转过的角度,J为圆盘为圆盘对轴的转动惯量对轴的转动惯量,kt为使轴产为使轴产生单位转角所需施加的扭矩生单位转角所需施加的扭矩(即轴的扭转刚度即轴的扭转刚度)。则。则0tJkqq2.2 自由振动系统自由振动系统复摆复摆(P12)设物体对悬挂点设物体对悬挂点O的的转动惯量为转动惯量为JO，利用定，利用定轴转动微分方程可得到轴转动微分方程可得到用转角用转角f f 表示的转动微表示的转动微分方程分方程:0ffmgaJO 2.2 自由振动系统自由振动系统纯滚动圆盘纯滚动圆盘(P15)已知已知m、r、
22、R，利，利用功率方程用功率方程(动能定理动能定理)或拉格郎日方程可得到或拉格郎日方程可得到用角度用角度ff表示的运动微表示的运动微分方程分方程:0)(23ffgrR 2.2 自由振动系统自由振动系统梁的横向振动梁的横向振动 质量为质量为m的重物放在简支梁的中部，不计梁的的重物放在简支梁的中部，不计梁的质量。设梁长为质量。设梁长为l，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为E，截面惯，截面惯性矩为性矩为I。则利用材料力学的概念可得到：。则利用材料力学的概念可得到：0483ylEIym 2.2 自由振动系统自由振动系统d dst振动微分方程的统一形式振动微分方程的统一形式 比较前面几种不同系统的振动微分
23、方程比较前面几种不同系统的振动微分方程0kxxm 0ffmgaJO 0)(23ffgrR 0tJkqq0483ylEIym 2.2 自由振动系统自由振动系统可以写成统一的数学形式可以写成统一的数学形式0 xkxmeqeq meq和和keq分别称为等效质量和等效分别称为等效质量和等效刚度，刚度，x为广义坐标。为方便起见，以后为广义坐标。为方便起见，以后将等效质量和等效刚度直接写为将等效质量和等效刚度直接写为m和和k。则方程变为：则方程变为：0kxxm 因此只讨论此方程的解即可。因此只讨论此方程的解即可。2.2 自由振动系统自由振动系统1.方程的解方程的解 设设 振动微分方程的解振动微分方程的解(
24、P6)mkn2则方程变为则方程变为 02xxn 通解为通解为 12cossinnnxbtbt或或 sin()nxAtf2.2 自由振动系统自由振动系统0kxxm 设系统的初始条件为：设系统的初始条件为：t0时，时，xx0，0 xx 0102,nxbxb220000,arctannnxxAxxf则可确定上述解中的常数为：则可确定上述解中的常数为：2.2 自由振动系统自由振动系统2.概念与名词概念与名词(P6-7)一阶线性振动微分方程的解是时间一阶线性振动微分方程的解是时间 t 的的简谐函数，因此这种振动为简谐振动。简谐函数，因此这种振动为简谐振动。方程的解中方程的解中 n只决定于系统本身的参数只
25、决定于系统本身的参数m和和k，而与系统的初始条件无关，是系统，而与系统的初始条件无关，是系统本身所固有的特性，所以称为固有频率，或本身所固有的特性，所以称为固有频率，或称圆频率或角频率。称圆频率或角频率。方程解中方程解中的的A称为振幅，是质量偏离静平称为振幅，是质量偏离静平衡位置的最大距离衡位置的最大距离;f f称为初相位。称为初相位。2.2 自由振动系统自由振动系统 从方程的解中还可以看出，系统属于周从方程的解中还可以看出，系统属于周期振动，振动的周期为期振动，振动的周期为nT2 周期是系统振动一次所需要的时间，单位周期是系统振动一次所需要的时间，单位为秒（为秒（s）。）。周期的倒数称为频率
26、，是系统每秒钟振动周期的倒数称为频率，是系统每秒钟振动的次数的次数,单位为单位为1/秒秒(1/s)或赫兹或赫兹(Hz)。记作。记作 f2.2 自由振动系统自由振动系统21nTf 固有频率固有频率 n和频率和频率 f 只相差常数只相差常数2，因，因此经常通称为固有频率。是振动分析中极此经常通称为固有频率。是振动分析中极其重要的参数。其重要的参数。显然显然2.2 自由振动系统自由振动系统 因此因此 n的物理意义是在的物理意义是在2 时间内振动的时间内振动的次数，单位为弧度次数，单位为弧度/秒秒(rad/s)。圆有频率、振幅和初相位是简谐振动的圆有频率、振幅和初相位是简谐振动的三个重要特征量。三个重
27、要特征量。22nfT1.直接计算法直接计算法 即直接利用固有频率的公式进行计算。即直接利用固有频率的公式进行计算。求出振动系统微分方程后，利用等效刚求出振动系统微分方程后，利用等效刚度和等效质量，即可求出固有频率：度和等效质量，即可求出固有频率：固有频率的计算固有频率的计算mkn22.2 自由振动系统自由振动系统2.静位移方法静位移方法(P7)m-k系统是所有一阶线性系统是所有一阶线性微振动系统的模型，利用此模微振动系统的模型，利用此模型得出的结论具有一般性。型得出的结论具有一般性。质量在静平衡位置时弹簧质量在静平衡位置时弹簧的位移为的位移为stmgkdnstkgmd则固有频率为则固有频率为2
28、.2 自由振动系统自由振动系统d dst复摆系统的固有频率复摆系统的固有频率 用转角用转角f f 表示的转动微分表示的转动微分方程方程:0ffmgaJO mg则固有频率则固有频率:OeqeqnJmgamk2.2 自由振动系统自由振动系统纯滚动圆盘系统纯滚动圆盘系统 用角度用角度ff表示的运动表示的运动微分方程微分方程:0)(23ffgrR 则固有频率则固有频率:)(32rRgmkeqeqn2.2 自由振动系统自由振动系统扭转振动系统扭转振动系统 转动方程为转动方程为0tJkqq则固有频率则固有频率:eqtneqkkmJ2.2 自由振动系统自由振动系统梁的横向振动系统梁的横向振动系统 利用振动方
29、程利用振动方程0483ylEIym 固有频率固有频率:348mlEImkeqeqn或利用材料力学公式计算出静位移或利用材料力学公式计算出静位移:348stmglEId固有频率固有频率:348nstgEImld2.2 自由振动系统自由振动系统d dst 对无阻尼自由振动系统，能量（机械对无阻尼自由振动系统，能量（机械能）是守恒的。设系统的动能和势能分能）是守恒的。设系统的动能和势能分别用别用 T 和和 V 表示，则能量方程为表示，则能量方程为 T+V常数常数或或2.3 能量法能量法2.3 能量法能量法0)(VTdtd 系统在静平衡位置的速度最大，动能系统在静平衡位置的速度最大，动能也最大，势能取
30、为也最大，势能取为0位置位置;在质量偏离静平在质量偏离静平衡位置最大时，速度为衡位置最大时，速度为0，动能也为，动能也为0，而，而势能达到最大，利用能量守恒关系得到势能达到最大，利用能量守恒关系得到 TmaxVmax 同时还有下面的关系同时还有下面的关系 利用上面两式可以直接求固有频率。利用上面两式可以直接求固有频率。maxmaxnxx2.3 能量法能量法 例例 利用能量法求纯滚动圆盘系统作利用能量法求纯滚动圆盘系统作微幅振动的固有频率。微幅振动的固有频率。2.3 能量法能量法 一般不考虑弹性元件的质量对振动系统的一般不考虑弹性元件的质量对振动系统的影响，当这些质量不可忽略的时候，影响，当这些
31、质量不可忽略的时候，“瑞利法瑞利法”的思想是：将这些弹性元件所具有的多个集中的思想是：将这些弹性元件所具有的多个集中质量或分布质量简化到系统的集中质量上去，质量或分布质量简化到系统的集中质量上去，从而变成典型的单自由度振动系统。从而变成典型的单自由度振动系统。遵循的原则是：简化后系统的动能与原系遵循的原则是：简化后系统的动能与原系统的动能相等，但并不考虑重力势能的影响。统的动能相等，但并不考虑重力势能的影响。这种简化只是一种近似方法，但误差不大。这种简化只是一种近似方法，但误差不大。2.4 瑞利法瑞利法2.4 瑞利法瑞利法 P17例例2-4-1 质量质量-弹弹簧系统，集中质量为簧系统，集中质量
32、为m，弹簧长度为弹簧长度为l，刚度为，刚度为k，质量为质量为m1，求考虑弹簧，求考虑弹簧质量影响时的固有频率。质量影响时的固有频率。2.4 瑞利法瑞利法d dstlsds13nkmm题题2.13(a)求图示系统的固有频率。求图示系统的固有频率。（与（与P15例例2-3-1对比）对比）举举 例例单单 自自 由由 度度 自自 由由 振振 动动 举举 例例 用定轴转动微用定轴转动微分方程，能量法分方程，能量法 题题2.15 求图示系统微幅振动的微分求图示系统微幅振动的微分方程（方程（m2视为均质圆盘）。视为均质圆盘）。作业：作业：T2.1，4，13举举 例例单单 自自 由由 度度 自自 由由 振振
33、动动 举举 例例用能量法用能量法 无阻尼系统振动过程中能量守恒，振幅保无阻尼系统振动过程中能量守恒，振幅保持不变。而实际情况并非如此，必须考虑阻力持不变。而实际情况并非如此，必须考虑阻力对振动过程的影响。对振动过程的影响。实际阻力的形式很多，有滑动摩擦表面的实际阻力的形式很多，有滑动摩擦表面的阻力、空气或流体阻力、弹性材料的内摩擦阻阻力、空气或流体阻力、弹性材料的内摩擦阻力等，因此阻力的大小变化规律也各不相同。力等，因此阻力的大小变化规律也各不相同。阻力大小与速度成正比的阻尼称为粘性阻阻力大小与速度成正比的阻尼称为粘性阻尼或线性阻尼。这是最简单的情况。尼或线性阻尼。这是最简单的情况。2.5 具
34、有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统1.振动微分方程及其解（振动微分方程及其解（P21）以静平衡位置为坐标原点建立坐标系，可得以静平衡位置为坐标原点建立坐标系，可得系统的运动微分方程系统的运动微分方程0kxxcxm 其中其中c为粘性阻尼的比例常为粘性阻尼的比例常数，称为粘性阻尼系数。数，称为粘性阻尼系数。mgFkFc()stmxcxk xmgd 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统令阻尼比为令阻尼比为2ncm则方程可写为则方程可写为220nnxxx 令其解为令其解为stCex 代入方程得到代入方程得到2220nnss 此
35、特征方程的两个根是此特征方程的两个根是21,2(1)ns 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统 不同的阻尼比不同的阻尼比，对应的解的形式不同，对应的解的形式不同，运动性质也不同。运动性质也不同。2.解及运动形式的讨论（解及运动形式的讨论（P22-26）（1）1（大阻尼情况）（大阻尼情况）此时特征方程有两个不同的实根，通解为此时特征方程有两个不同的实根，通解为2(1)()ntx tBe 2(1)ntDe 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统21,2(1)ns 给出初始条件：给出初始条件：t0时时2002(1)21nnvxB00,vxxx则可确定系数则可确定系数B和
36、和D2002(1)21nnvxD2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统 这种情况对应的运动是一种衰减运动，但不这种情况对应的运动是一种衰减运动，但不是我们所关心的振动形式。设是我们所关心的振动形式。设x00，v00，则，则运动图形大致如下。运动图形大致如下。2(1)ntBe 2(1)ntDe 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统（2）1（临界阻尼情况）（临界阻尼情况）此时特征方程有重根，通解为此时特征方程有重根，通解为()ntxBDt e利用初始条件确定常数为利用初始条件确定常数为000,nBx Dvx 此时的阻尼系数称为临界阻尼系数，记为此时的阻尼系数称为临界阻
37、尼系数，记为ccmkmcnc222.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统21,2(1)ns 临界阻尼情况也是一种非振动形式的衰减运临界阻尼情况也是一种非振动形式的衰减运动，按不同的初始条件其运动图形如下。动，按不同的初始条件其运动图形如下。2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统（3）0 1（小阻尼情况）（小阻尼情况）此时特征方程有一对共轭复根，通解为此时特征方程有一对共轭复根，通解为22(cos1sin1)ntnnxeBtDt或写为或写为利用初始条件确定出常数利用初始条件确定出常数0002,1nnvxBx D2sin(1)ntnxAetf2.5 具有黏性阻尼的振动系统
38、具有黏性阻尼的振动系统21,2(1)ns 2200021nnvxAx 解中有两个因子，一个是衰减的指数解中有两个因子，一个是衰减的指数函数函数 ,它将使振幅越来越小，直至振它将使振幅越来越小，直至振动最终消失动最终消失;20001arctannnxvxf2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统ntAe 另一个是正弦函数另一个是正弦函数 ，它表示系统以相同的周期通过平衡位置。它表示系统以相同的周期通过平衡位置。因此系统呈现为一种衰减形式的等周因此系统呈现为一种衰减形式的等周期振动形式。期振动形式。2sin(1)ntf2sin(1)ntnAetf2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻
39、尼的振动系统ntAeA 单自由度粘性阻尼系统在小阻尼情况单自由度粘性阻尼系统在小阻尼情况下的衰减振动是我们最为关心的振动形式。下的衰减振动是我们最为关心的振动形式。这种衰减振动具有下列特性：这种衰减振动具有下列特性：（1）振幅衰减）振幅衰减 由前面的解可以看出，振幅不再是常由前面的解可以看出，振幅不再是常量，而是以几何级数量，而是以几何级数 快速衰减快速衰减;（2）等时性）等时性 系统仍以相同的周期通过平衡位置系统仍以相同的周期通过平衡位置;2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统ntAe（3）振动频率变小，周期变长）振动频率变小，周期变长 此时系统振动的频率和周期为：此时系统振动
40、的频率和周期为：2221,1dndnT 因此：衰减振动的固有频率比无阻尼系因此：衰减振动的固有频率比无阻尼系统的固有频率小，振动周期变大，但影响统的固有频率小，振动周期变大，但影响不大，特别是当阻尼很小（不大，特别是当阻尼很小（1）时，可）时，可以忽略阻尼对振动频率和周期的影响。以忽略阻尼对振动频率和周期的影响。2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统 振幅衰减的快慢程度可用相邻振幅振幅衰减的快慢程度可用相邻振幅的比值来表示，称为衰减率或减幅率或的比值来表示，称为衰减率或减幅率或减缩率；也可以用衰减率的自然对数来减缩率；也可以用衰减率的自然对数来表示，称为对数衰减率。表示，称为对数
41、衰减率。2.6 对数衰减率对数衰减率2.6 对数衰减率对数衰减率利用前面给出的解利用前面给出的解2sin(1)ntnxAetf可得到衰减率为可得到衰减率为()1nn dndtTit TixAeexAe对数衰减率为对数衰减率为22ln1ndTd 2.6 对数衰减率对数衰减率 若用若用X0表示系统最初的振幅，经过表示系统最初的振幅，经过n次循环次循环后的振幅为后的振幅为Xn，则对数衰减率又可以表示为，则对数衰减率又可以表示为nXXn0ln1d证明：证明：01112nnXXXXXX相乘得相乘得010112nnnnXXXXXXXX则则0lnlnnXnnXd即即nXXn0ln1d2.6 对数衰减率对数衰
42、减率1.4 衰减振动和对数衰减率衰减振动和对数衰减率 题题2-16 求图示系统振动的微分方程和固求图示系统振动的微分方程和固有频率（不计杆的质量，有频率（不计杆的质量，c为黏性阻尼）。为黏性阻尼）。22nccmkm21dn1.4 衰减振动和对数衰减率衰减振动和对数衰减率 题题2-18 图示系统，在空图示系统，在空气中振动周期为气中振动周期为T1，在液体，在液体中振动周期为中振动周期为T2。试证明液。试证明液体的粘性阻尼系数为体的粘性阻尼系数为作业：作业：T2-8、1722211 24 mcTTTT小小 结结3.无阻尼自由振动方程的解无阻尼自由振动方程的解方程方程0kxxm 或或02xxn 通解
43、为通解为 tCtCxnnsincos21nxCxC0201,或或 sin()nxAtf220000,arctannnxxAxxf小小 结结1.名词与概念名词与概念 固有频率固有频率,振幅振幅,周期周期,相位角；线性阻相位角；线性阻尼系数尼系数,临界阻尼系数，阻尼比；衰减率临界阻尼系数，阻尼比；衰减率与对数衰减率；等效质量与对数衰减率；等效质量,等效刚度。等效刚度。2.建立振动微分方程的方法建立振动微分方程的方法 牛顿定律、动能定理（功率方程、机牛顿定律、动能定理（功率方程、机械能守恒）、定轴转动微分方程等。械能守恒）、定轴转动微分方程等。本 章 小 结小小 结结（2）静位移法）静位移法 4.固
44、有频率的确定固有频率的确定（1）按定义直接计算）按定义直接计算mkn2nstgd（3）能量法）能量法（无阻尼自由振动系统）（无阻尼自由振动系统）maxmaxTV以及以及maxmaxnxx小小 结结5.考虑弹性元件质量时的等效质量考虑弹性元件质量时的等效质量 将这些弹性元件所具有的多个集中将这些弹性元件所具有的多个集中质量或分布质量简化到系统的集中质量质量或分布质量简化到系统的集中质量上去，简化后系统的动能与原系统的动上去，简化后系统的动能与原系统的动能相等。能相等。小小 结结或或0002,1nnvxAx B2sin(1)ntnxXet2200021nnvxXx20001arctannnxvx小
45、小 结结6.黏滞阻尼自由振动系统的解黏滞阻尼自由振动系统的解（1）方程）方程或或0kxxcxm 220nnxxx 阻尼比阻尼比22nccccmckm22(cos1sin1)ntnnxeAtBt（2）小阻尼解）小阻尼解小小 结结（3）临界阻尼系数（）临界阻尼系数（z z1时）时）mkmcnc222221,1dndnT（4）衰减振动频率与周期）衰减振动频率与周期（5）对数衰减率）对数衰减率1lnlniixxd01lnnXnXndT221小小 结结教材例题与习题：教材例题与习题：例例 2.2.12.2.3，2.3.12.3.2 2.4.12.4.2，2.5.2，2.5.3，2.6.1 2.6.2，2
46、.6.4习题习题 2-1，3，4，8，9，1113，1518第第3章章 单自由度系单自由度系统强迫振动统强迫振动 系统在外部激励作用下的振动称为系统在外部激励作用下的振动称为受迫振动或强迫振动。受迫振动或强迫振动。自由振动只是系统对初始扰动自由振动只是系统对初始扰动(初初始条件始条件)的响应。由于阻尼的存在的响应。由于阻尼的存在,振动振动现象很快就会消失。现象很快就会消失。要使振动持续进行，必须有外界激要使振动持续进行，必须有外界激励输入给系统以补充阻尼消耗的能量。励输入给系统以补充阻尼消耗的能量。所谓谐和激励就是正弦或余弦激励。所谓谐和激励就是正弦或余弦激励。3.1 单自由度系统在谐和单自由
47、度系统在谐和激振下的强迫振动激振下的强迫振动3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 设激励为设激励为F(t)=F0sin t，这里这里 为激振频率，利用牛顿为激振频率，利用牛顿定律并引入阻尼比定律并引入阻尼比 可得到可得到202sinnnFxxxtm 齐次方程的通解上章已经给出。设其特解为齐次方程的通解上章已经给出。设其特解为:0sin()pxXt代入方程确定系数代入方程确定系数X0和和f f为：为：00222/,(1)(2)FkXrr22arctan1rr其中：其中：nr为频率比。为频率比。3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振
48、下的强迫振动3.1.1 非齐次方程的特解（非齐次方程的特解（P33-34）稳态响应分析稳态响应分析(P34-39)1.稳态响应稳态响应xp=X0sin(tf f)的性质的性质(P34)（1）在谐和激振条件下）在谐和激振条件下,响应也是谐和的响应也是谐和的,其其频率与激振频率相同频率与激振频率相同;（2）谐和激励强迫振动的振幅）谐和激励强迫振动的振幅X0和相位角和相位角决定于系统本身的物理性质和激振力的大小决定于系统本身的物理性质和激振力的大小和频率，与初始条件无关和频率，与初始条件无关;3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动2.幅频特性曲线（幅频特性曲线（
49、P35）对于稳态响应，定义动力放大系数对于稳态响应，定义动力放大系数R为为响应的振幅响应的振幅X0与最大干扰力与最大干扰力F0所引起的静所引起的静位移的比值：位移的比值：以以 为参数，画出为参数，画出R-r 曲线即幅频特性曲线即幅频特性曲线，表明了阻尼和激振频率对响应幅值曲线，表明了阻尼和激振频率对响应幅值的影响。的影响。022201/(1)(2)XRFkrr3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动（3）强迫振动振幅）强迫振动振幅X0的大小，在工程的大小，在工程实际中具有重要的意义。如果振幅超过实际中具有重要的意义。如果振幅超过允许的限度，构件就会产生过大的
50、交变允许的限度，构件就会产生过大的交变应力而导致疲劳破坏，或影响机械加工应力而导致疲劳破坏，或影响机械加工或仪表的测量精度。因此在振动工程中或仪表的测量精度。因此在振动工程中必需控制振幅的大小。必需控制振幅的大小。3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动Rr讨论：讨论：r1时时2222110(1)(2)Rrrr000022222/(1)(2)FkFFXkrmrr3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动Rr振幅的大小主要决定于系统的惯性。这就是高速振
