1、第七章第七章 概率概率一、事件及其概率一、事件及其概率二、概率的两个基本法则二、概率的两个基本法则高 尔 顿 钉 板 试 验7.1 事件及其概率一、随机事件1.随机现象：在相同条件下反复进行的观察或试验，结果无法事先预定的现象。2.随机事件：随机现象中出现的各种可能的结果。用A、B、C等表示。3.必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；4.不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；7.1 事件及其概率一、随机事件随机试验必须符合以下三个条件：1.可以在相同的条件下重复的进行。2.每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。随机事件
2、在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性。7.1 事件及其概率二、事件的概率1.频率：对于随机事件A，如果在N次试验中出现a次，则A发生的频率记作：NAa)(F1)(F0A7.1 事件及其概率二、事件的概率2.概率：反映事件在试验中发生的可能性大小的数量化指标叫做概率。3.经验概率/后验概率4.先验概率7.1事件及其概率 3.经验概率/后验概率 以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率值作为随机事件A概率的估计值。这样寻得的概率称为后验概率。mn抛掷次数（n）正面向上次数（频数m ）频率（m/n ）德摩根204810610.5181蒲丰40
3、4020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.500530000149840.499672088361240.50117.1事件及其概率 3.经验概率计算某事件在一系列试验中发生的次数，然后计算发生次数与试验总次数的比值得到的频率。在不变的条件下重复进行n次试验，事件A发生的频率随着n的增大，逐渐逼近某一数值，这个数值即事件A的概率。当试验次数n很大时，一般以事件A发生的频率 去估计其概率P(A)。问题：女婴出生的概率是多少？7.1事件及其概率 有些情况很难按照概率的古典定义去计算某一事件的概率。例如：研究青少年的犯罪率；某种新药在治疗中的有效率；保
4、险公司人寿保险。7.1 事件及其概率二、事件的概率4.先验概率/古典概率满足条件：（1）试验中各种可能结果是有限的；（2）每种结果发生的可能性是不变的；则：NAK)(PK代表事件A包含的基本事件数N代表可能发生的基本事件总件数7.1 事件及其概率二、事件的概率4.先验概率例1：掷一枚均匀的骰子，求掷出偶数的概率。可能的结果：1，2，3，4，5，6符合事件A(偶数)的结果：2，4，6可能结果的总数 n=6符合事件A的结果的数目K=363)(偶数P2114一袋中有红球2个，兰球3个，白球5个，现从袋中随意抽出一球，求下列事件发生的概率。(a)抽得红球或白球(c)抽得的球並非白球(b)抽得黑球105
5、2)(红球或白球P107球的总数=2+3+5 =10个 P(黑球)=0 P(並非白球)=P(红球或兰球)1032105211)(0EP结论:P(不可能事件)P(必然事件)15例 3:一个家庭有3个孩子。求下列事件的概率:(a)这个家庭有3个男孩。(b)这个家庭有2个男孩和1个女孩。(c)这个家庭至少有1个男孩。设B代表男孩，G代表女孩。可能的结果是 可能的结果的数目=8(a)P(BBB)81(c)P(至少有1个男孩)(b)P(2B1G)83811=1-P(没有男孩)87B B BB B GB G BB G GG B BG B GG G BG G G7.1事件及其概率1.1.掷掷一枚一枚均匀均匀
6、的的骰子，骰子，掷掷出出点数为点数为“1 1”的概率的概率？2.掷掷一枚一枚不均匀不均匀的的骰子多次，骰子多次，掷掷出出点数为点数为“1 1”的概的概率率？其其结结果如下果如下 :点数123456次数188131074掷骰子总次数掷骰子总次数n=18+8+13+10+7+4=6018+8+13+10+7+4=60P P2 2=18/60=0.3=18/60=0.3P1=1/6P1=1/6 0.1670.167先验概率经验概率7.1事件及其概率需要注意的几点：求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率；概率是频率的稳定值，而频率是概
7、率的近似值；概率反映了随机事件发生的可能性的大小；必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0因此 0=P(A)=1。5.小概率事件：在推断统计中，将一次试验中发生的概率小于0.05的事件称为小概率事件，认为它是在一次试验中几乎不可能发生的事件。7.1事件及其概率Q：小概率事件举例？190.9510.9540.940.970.920.9优等品频率优等品频率19029544701949245优等品数优等品数2000100050020010050抽取球数抽取球数mnnm某批乒乓球产品质量检查结果表：某批乒乓球产品质量检查结果表：当抽查的球数很多时，抽到优等品的频率 接近于常数0.95，在它附近摆动。n
8、m7.1事件及其概率1.概率的加法如果A、B 不可能同时发生，那么它们至少有一个发生的概率是：例:从去掉大小王的一副扑克牌中随机抽到黑桃Q的概率是1/52，而抽到一张红心的概率是1/4；因此“抽到黑桃Q或者红心”的概率是 1/52+1/4=7/26。)()()(BPAPBAP7.2 概率的两个基本法则1.1.概率的加法概率的加法互斥（互不相容）事件互斥（互不相容）事件与与对立事件对立事件217.2 概率的两个基本法则对立事件是互斥事件的特殊情况！对立事件是互斥事件的特殊情况！2.概率的乘法（独立事件）如果A、B 相互不产生影响，那么它们同时发生的概率是：)()()(BPAPBAP7.2 概率的
9、两个基本法则2.概率的乘法（独立事件）7.2 概率的两个基本法则例:一个毕业生给三家单位各发一份求职信，被拒绝的概率分别是 1/2，2/3，3/4；那么他一份工作都找不到的概率是：1/22/33/4=0.25或者说他至少能找到一份工作的概率是：1-0.25=0.75。（六）概率的乘法（非独立事件）而当A与B不相互独立时，往往在已知事件B发生的条件下去计算事件A的概率，这时称为在B发生的情况下A的条件概率，记做 ；同样在A发生的情况下B的条件概率为 ，这时：两个事件之积的概率等于其中一个事件的概率乘以在它发生的条件下另一事件的条件概率。即24)/(BAP)/(ABP)/()()(ABPAPBAP
10、)/()()(BAPBPBAP7.2 概率的两个基本法则25例例:某中学初二年级学生参加课外小组的情况如下：某中学初二年级学生参加课外小组的情况如下：外语外语数学数学天文天文未参加任何小组未参加任何小组合计合计男男7 72727181840409292女女121215155 5555587871919424223239595179179若从该年级任取一名学生，则若从该年级任取一名学生，则该生是男生的概率该生是男生的概率;是外语小组成员的概率是外语小组成员的概率;是男生且为外语小组成员的概率是男生且为外语小组成员的概率;是女生且为外语小组成员的概率是女生且为外语小组成员的概率分别为多少？分别为多
11、少？7.2 概率的两个基本法则解：令“该生是男生”为事件A；“该生是女生”为事件B“该生是外语小组成员”为事件C则“该生是男生且为外语小组成员”为事件AC“该生是女生且为外语小组成员”为事件BC从题目所给数据可知：26一、概率一、概率27487.017987)(BP076.0927)/(ACP137.08712)/(BCP根据乘法定理：根据乘法定理：039.0076.0514.0)/()()(ACPAPCAP067.0137.0486.0)/()()(BCPBPCBP514.017992)(AP一、概率一、概率7.3 正态分布：应用最广泛的连续型分布 正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以
12、通常称为高斯分布.德莫佛 德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.高斯7.3 正态分布1.公式：xexfx,21)(222)(是随机变量的平均数；是随机变量的标准差；e 自然对数的底2.718；圆周率。7.3 正态分布2.图形特点 正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线.当x 时，f(x)0。7.3 正态分布2.图形特点 决定了图形的中心位置，决定了图形中 峰的陡峭程度.7.3正态分布2.图形特点：为f(x)的两个拐点的横坐标。x=7.3 正态分布3.举例1：某大学男大学生的身高数据直方图红线是拟合的正态密度曲线7.3正态分布3.举例2：零件的尺寸；纤
13、维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.7.4 标准正态分布1.公式由来：xexfx,21)(222)(z,21)(2z2exf=0=17.4 标准正态分布2.图形 z,21)(2z2exf7.4 标准正态分布曲线的特点1.曲线最高点为Z=0，Y取得最大值0.3989.2.曲线下的总面积即概率的总和为1，对称轴左右各0.5.曲线两侧横坐标绝对值相等的对应点高度相等，对应的曲线下面积相等。3.平均数、众数、中位数相等，重合于Z=0上.4.“3 准则”：可以认为，Y 的取值几乎全部集中在3,3区间内.7.5正态曲线
14、下面积的应用（一）推求考试成绩中特定区间的人数（一）推求考试成绩中特定区间的人数例:已知某年级200名学生考试成绩呈正态分布，平均分为85分，标准差为10分，学生甲的成绩为70分，问全年级成绩比学生甲低的学生人数是多少？解：属于已知Z值求P值问题。一般分3步完成：a)计算甲生成绩的标准分数；b)根据Z值查表求得对称轴与过Z值纵线所夹的面积；再计算出Z值左侧的曲线面积；c)将面积乘以总人数，即可得比甲生分数低的学生的实际人数。甲的标准分数：=(70-85)/10=-1.5 XXZ查表，Z=1.5时，P=0.43319,故Z=-1.5左侧的面积为：0.5-0.43319=0.06681 200 0
15、.06681=13(人)所以全年级成绩比学生甲低的学生人数是13人。例:某次升学考试，学生成绩符合正态分布，1000名考生英语平均60分，标准差15分，试求：（1）70-80分之间有多少人？（2）90分以上有多少人？解：已知学生的分数，求某分数区间的实际人数。属于ZP问题。(1)11(7060)/150.67XXZ 根据Z1，Z2查表，得P1=0.24857，P2=0.40824，P=P2-P1=0.15967，即分数在70-80之间的人数占总人数的15.967%，即10000.15967=160人。22(8060)/151.33XXZ(2)33(9060)/152XXZ（二）推求考试成绩中某
16、一特定人数比率的分数界限（二）推求考试成绩中某一特定人数比率的分数界限 例例1010 某次招生考试，学生成绩符合正态分布，学生成绩的平均分为80分，标准差为10分，要择优录取25%学生进入高一级学校学习，问最低分数线是多少分？查表得P=0.47725，90分以上人数比率为：0.5-0.47725=0.02275。即10000.02275=23(人）。由于录取率为25%，则正态曲线下对称轴与过最低录取线分数的纵线所夹面积为0.5-0.25=0.25，查表，最近的P=0.24857，对应的Z=0.67。因为ZXX，XXZ将它变为得 X=80+0.6710=86.7，因此这次考试的最低录取分数线为8
17、6.7分。解：它属于PZ问题。根据录取率可算出曲线下对应的面积，查正态分布表，可得录取分数线对应的Z值，再根据平均分，标准差，算出录取分数线的原始分数X值。解：（1）已知优胜者人数为20人，总人数为200人，可求出优胜者人数比率：20/200=0.1，下面属于PZ问题。66.781.289.1978.54XXZ 正态曲线下右侧面积比率为0.10,表中P值应为0.5-0.1=0.4,查表，最近的P值为P=0.39973，对应的Z值为1.28，所以即优胜者最低分数应是78.54 分。例:某次数学竞赛，学生成绩呈正态分布，参赛学生200人，平均分66.78分，标准差为9.19分，（1）若奖励前20名
18、竞赛优胜者，其最低分应是多少？（2）某生得80分，他在参赛中排第几名？先求该生成绩的标准分数44.119.978.6680XXZ查正态分布表得，P1=0.42507，成绩等于和高于该生的人数比率即曲线下右侧面积，P2=0.5-P1=0.07493。即 2000.07493=15（人）所以该生在参赛者中应排在第15名。（2）求某生在参赛中排列的名次，就是求成绩等于和高于他的人数占总人数的比率，进而求实际人数。属于ZP问题。（三）确定按能力或成绩等级分组的各组人数 假设学生成绩呈正态分布，学生能力也呈正态分布，按成绩等级或能力进行分组，各组的人数不应是均等的，而应是中等能力、中等等级的人数多高能力
19、与低能力组，高成绩与低成绩等级组的人数少。可以利用正态分布理论解决此类问题。例:某年级进行数学能力测验后，拟按数学能力将学生分成五个组。该次测验参加人数为300人，平均分为60分，标准差为13.2分，问各组人数及原始分数区间都是怎样的？解：在正态分布下，99.73%的数据在3之间，全距为6。若分成五个等级组，按各组距相等，应为6/5=1.2，两端组可延至正负无穷，因此各组测验成绩的标准分数区间界限依次为：-1.8以下（第一组），-1.8-0.6（第二组），-0.6-0.6（第三组），0.6-1.8（第四组），1.8以上（第五组）。由标准分数查表得各等级对应的正态曲线下面积比率分别为：0.035
20、93，0.23832，0.4515，0.23832，0.03593。根据正态分布的轴对称性，第一组与第五组人数相等，应为：3000.03593=11（人）。第二组与第四组人数相等：应为：3000,23832=71（人）。第三组人数为：3000.4515=136（人）。由标准分数计算原始分数界限，得X1=60+13.2(-1.8)=36.24X2=60+13.2(-0.6)=52.08X3=60+13.20.6=67.92X4=60+13.21.8=83.76 第一组至第五组原始分数区间依次是：36.24以下，36.24-52.08，52.08-67.92，67.92-83.76，83.76以上
21、。（四）将等级评定结果转化为连续变量型分数（四）将等级评定结果转化为连续变量型分数 由于学生学习成绩或能力是服从正态分布的，如果要将等级评定结果转化为连续变量型分数，可以利用正态分布模型将等级成绩转换为标准分数，再进行线性转换，转换为类似于百分制评分中的连续变量型分数。例13 某教师评全班50人的作文，有8人被评为优秀，17人评为良，20人评为中，5人被评为及格。求各等级作文的标准分数和线性转换后的连续变量型分数。解：先求出老师评定的各等级人数比率，再求出各等级比率的中点值，计算出正态分布表中相应的面积比率，通过查表得出标准分数，再转换为连续型分数。教师评定的各等级人数比率为优 8/50=0.
22、16 良 17/50=0.34 中 20/50=0.40 及格 5/50=0.10各等级人数比率的中点值为：优0.08，良0.17，中0.20，及格0.05。四个等级人数比率中点值对应的正态分布表中的P值（即Z=0到各等级标准分数之间的面积比率）为 优 P1=0.5-0.08=0.42 良 P2=0.5-(0.16+0.17)=0.17 中 P3=0.5-(1-0.16-0.34-0.20)=0.5-0.3=0.2 及格 P4=0.5-0.05=0.45 优 =80+10*1.41=94.1 良 X2=80+100.44=84.4 中 X3=80+10(-0.52)=74.8 及格 X4=80
23、+10(-1.64)=63.6ZXX1查正态分布表得各级的标准分数为 Z1=1.41，Z2=0.44，Z3=-0.52，Z4=-1.64 如果把标准分数按照平均数为80，标准差为10进行线性转换，则四个等级的标准分数分别可转换为连续型分数。7.3 概率密度函数概率概率+图像图像=7.3 概率密度函数某大学男大学生的身高数据直方图红线是拟合的正态密度曲线概率密度函数概率密度函数：当试验次数无限增加，直方图趋近于光滑曲线，当试验次数无限增加，直方图趋近于光滑曲线，曲线下包围的面积表示概率。该曲线下包围的面积表示概率。该曲线曲线称为概率密度函称为概率密度函数。数。7.3 概率密度函数T分布分布卡方分布卡方分布F分布分布
