1、第二十七章 相似27.2.1 第1课时 平行线分线段成比例 知识回顾1、什么叫相似多边形呢？2、什么叫相似比？对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似多边形的对应边的比获取新知对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.,ABACBCkA BA CB C,AABBCC 若则 ABC ABC.用符号语言怎么表示已知：如图，ABEFCD，图中共有_对相似三角形.可以将DE平移到BC边上去我们通过度量三角形的边长，知道ADEABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？在线段较多的图形中寻找相似三角形，如果图中有线段平行的条件，则集中精力在图形中寻找符合“A”型或“X”型的基本图形:解
2、得 AB=10.过点E作EF/AB，交BC于点F.平行线分线段成比例的基本事实：因此，我们有如下判定三角形相似的定理：平行线分线段成比例的基本事实：例3 如图，在 ABCD中，F是AD边上的任意一点，连接BF并于是可从图中找出符合“A”型相似的DEF与CEB，符合“X”CDAB，ADBC.EF=4，求 CD 的长两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例解析:先根据平行四边形的性质得出ADBC，ABCD，再根据平行于三角形一边的直线的性质得出对应边成比例即可得出结论 是“对应线段成比例”，注意“对应”两字列比例式正确的是()两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例证明：四边形ABCD
3、是平行四边形，于是可从图中找出符合“A”型相似的DEF与CEB，符合“X”（平行于三角形一边的直线截其他两 CD=AB=10.（=）边成比例，所以 ADEABC.判定三角形全等，我们并不是验证六个条件，而是利用了几个简便的判定定理（SSS，SAS，ASA，AAS），那么判定三角形相似我们又能找到哪些简便的方法呢？问题如图，任意画两条直线a，b，再画三条与a，b 都相交的平行线l1，l2，l3 探究l1，l2，l3在直线 a，b 上截得的线段有什么关系 l3 l1l2ABDEFHab b通过计算可以得到：FHEFBDABBDFHABEFEHEFADABEHFHADBD平行线分线段成比例的基本事实
4、：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例说明：定理的条件是“两条直线被一组平行线所截”；是“对应线段成比例”，注意“对应”两字 l3 l1l2ABDEFHab b（=），），左上左上左下左下右上右上右下右下（=）左下左下左上左上右下右下右上右上结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例l1l3lABCDEl2l2l3ABCDEl1ll l2思考：如图，在ABC 中，DEBC，且 DE 分别交 AB，AC 于点 D，E，ADE 与ABC 有什么关系？CABDE 我们通过度量三角形的边长，知道ADEABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？对应
5、角相等，对应边成比例的两个多边形 是“对应线段成比例”，注意“对应”两字又 四边形 ABCD 为平行四边形，（=）1 第1课时 平行线分线段成比例结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），DE/BC，EF/AB，可以将DE平移到BC边上去 DEF DAB，在线段较多的图形中寻找相似三角形，如果图中有线段平行的条件，则集中精力在图形中寻找符合“A”型或“X”型的基本图形:平行线分线段成比例的基本事实：CDEF，故选项C错误先证明两个三角形的角分别相等.则 ABC ABC.例3 如图，在 ABCD中，F是AD边上的任意一点，连接BF并四边形DBFE是平行四边形，过点E作EF/AB，
6、交BC于点F.判定三角形全等，我们并不是验证六个条件，而是利用了几个简便的判定定理（SSS，SAS，ASA，AAS），那么判定三角形相似我们又能找到哪些简便的方法呢？下列结论中错误的是()我们通过度量三角形的边长，知道ADEABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例在线段较多的图形中寻找相似三角形，如果图中有线段平行的条件，则集中精力在图形中寻找符合“A”型或“X”型的基本图形:例3 如图，在 ABCD中，F是AD边上的任意一点，连接BF并可以将DE平移到BC边上去 ，而除 DE 外，其他的线段都在ABC 的边上，要想利用前面学到的结论来
7、证明三角形相似，需要怎样做呢？由前面的结论可得ADAEABAC，需要证明的是ADAEDEABACBCBCADE先证明两个三角形的角分别相等.如图，在ADE 与ABC 中，A=A.DE/BC，ADE=B，AED=C.再证明两个三角形的边成比例.过点E作EF/AB，交BC于点F.DE/BC，EF/AB，=.ADAE BFAEABACBCAC，四边形DBFE是平行四边形，DE=BF.=.ADAEDEABACBC=.DEAEBCAC这样，我们证明了ADE和ABC的角分别相等，边成比例，所以 ADEABC.因此，我们有如下判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角
8、形相似.对于和两边的延长线相交的情况，结论是否成立？为什么？问题：如图，DEBC，且 DE 分别交 BA，CA 的延长线于点 D，E，ABC 与ADE 相似吗？如何证明呢？DBA l3l1 l2CE l4 l5 CDBAEF例题讲解例1 如图，已知ABCDEF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是()A.B.C.D.导引：本题中利用平行线分线段成比例的基本事实的图形主要有“A”型和“X”型，从每种图形中找出比例线段即可判断BHAHHCHD ADBCDFCE HCHDHEDF AFBEDFCE C解析：根据ABCDEF，结合平行线分线段成比例的基本事实可得解ABCDEF，故选项A，B，D正确CD
9、EF，故选项C错误,BHAHADBCAFBEHCHD DFCEDFCE,HCHDHEHF ABCDEF解析:先根据平行四边形的性质得出ADBC，ABCD，再根据平行于三角形一边的直线的性质得出对应边成比例即可得出结论例2 如图，F是 ABCD的边CD上一点，连接BF，并延长BF交AD的延长线于点E.求证：.DEDFAEDC=证明：四边形ABCD是平行四边形，CDAB，ADBC.（平行于三角形一边的直线截其他两 边，所得的对应线段成比例）.同理可得 DEEFAEEB=.EFDFEBDC=.DEDFAEDC=ABCDEF如图，已知ABCDEF，下列结论正确的是（）则 ABC ABC.对应角相等，对
10、应边成比例的两个多边形平行线分线段成比例的基本事实：思考：如图，在ABC 中，DEBC，且 DE 分别交 AB，AC 于点 D，E，ADE 与ABC 有什么关系？若AB15，则EF_故选项A，B，D正确所得的对应线段成比例利用平行线寻找相似三角形的方法：（=）思考：如图，在ABC 中，DEBC，且 DE 分别交 AB，AC 于点 D，E，ADE 与ABC 有什么关系？相似多边形的对应边的比两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例我们通过度量三角形的边长，知道ADEABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？型相似的DEF与ABF.四边形DBFE是平行四边形，如图，已知ABCDEF
11、，下列结论正确的是（）证明：四边形ABCD是平行四边形，若AB15，则EF_CDEF，故选项C错误边成比例，所以 ADEABC.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例已知：如图，ABEFCD，图中共有_对相似三角形.型相似的DEF与ABF.于是可从图中找出符合“A”型相似的DEF与CEB，符合“X”利用平行线寻找相似三角形的方法：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例可以将DE平移到BC边上去 DEF DAB，（=）所得的对应线段成比例导引：由于四边形ABCD是平行四边形，因此FDBC，DEAB.ADE=B，AED=C.如图，在 ABCD 中，EFAB，DE:EA=2:3，过点
12、E作EF/AB，交BC于点F.CDAB，ADBC.对应角相等，对应边成比例的两个多边形已知：如图，ABEFCD，图中共有_对相似三角形.解得 AB=10.我们通过度量三角形的边长，知道ADEABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？CDEF，故选项C错误结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），CDEF，故选项C错误已知：如图，ABEFCD，图中共有_对相似三角形.例3 如图，在 ABCD中，F是AD边上的任意一点，连接BF并平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.CDEF，故选项C错误可以将DE平移到BC边上去例3 如图，在 ABCD中，
13、F是AD边上的任意一点，连接BF并延长交CD的延长线于点E，则图中与DEF相似的三角形共有()A1个B2个C3个D4个导引：由于四边形ABCD是平行四边形，因此FDBC，DEAB.于是可从图中找出符合“A”型相似的DEF与CEB，符合“X”型相似的DEF与ABF.故选B.B利用平行线寻找相似三角形的方法：在线段较多的图形中寻找相似三角形，如果图中有线段平行的条件，则集中精力在图形中寻找符合“A”型或“X”型的基本图形:随堂演练1.如图，已知ABCDEF，下列结论正确的是（）A.DCADFEAFB.BCDFCEADC.DCBCFEBED.ADBCDFCED2.如图，在ABC中，若DEBC，EFA
14、B，则下列比例式正确的是()A.B.C.D.ADDEDBBC AEBFECFC EFDEABBC BFEFBCAD C3.已知：如图，ABEFCD，图中共有_对相似三角形.3CDABEFO4.如图，在ABC中，点D为AC上一点，且 过点D作DEBC交AB于点E，连接CE，过点D作DFCE交AB于点F.若AB15，则EF_1,2CDAD 1035.如图，在 ABCD 中，EFAB，DE:EA=2:3，EF=4，求 CD 的长 解：EFAB，DE:EA=2:3，DACBEF DEF DAB，即DEEFADAB，245AB，解得 AB=10.又 四边形 ABCD 为平行四边形，CD=AB=10.课堂小结两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例相似三角形判定的引理平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似基本事实平行线分线段成比例
