1、不等式复习不等式复习考纲解读1、不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解 不等式（组）的实际背景。2、一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序。3、二元一次不等式组与简单线性规划问题（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组;（3）会从实际情况中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。4、基本不等式：(a+b)/2ab(a,b0)（1）了解基本不等式
2、的证明过程;（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题;5、含绝对值的不等式（1）理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式;|a+b|a|+|b|;|ab|ac|+|cb|;（2）会利用绝对值的几何意义来解以下类型的不等式;|ax+b|c;|ax+b|c;|xa|+|xb|c.6、不等式的证明（1）会用不等式和证明一些简单问题，能够利用平均值不等式求一些特定函数的极值。（2）了解证明不等式的基本方法；比较法、综合法、分析法、反证法、缩放法、数学归纳法。含绝对值的不等式及其解法含绝对值的不等式及其解法知识结构不等关系与不等式不等关系与不等式二元一次不等式二元一次不
3、等式(组组)与简单与简单线性规划问题线性规划问题基本不等式基本不等式-最大值最小值最大值最小值不等式的证明不等式的证明不不等等式式一元二次不等式一元二次不等式及其解法及其解法基本性质基本性质简单线性规划问题简单线性规划问题二元一次不等式（组）二元一次不等式（组）与平面区域与平面区域求范围问题求范围问题比较大小问题比较大小问题.0;0;0babababababa 从上面的性质可知，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们研究不等关系的一个出发点.基本事实作差比较法一、不等式的基本性质一、不等式的基本性质不等式的性质性质1 如果ab,那么ba;如果bb说明：此性质可称为不等式的自
4、反性性质2如果ab,bc,那么ac.说明：此性质可称为不等式的传递性。性质3如果ab,那么a+cb+c说明：此性质可称为不等式的加法性质也叫平移性，即不等式的两边同时加上同一个常数，不等号的方向不变.性质4 如果ab,c0,那么acbc;说明：此性质可称为不等式的乘法性质，也叫伸缩性：即不等式的两边同时乘上同一个正数，不等号方向不变，不等式的两边同时乘上同一个负数，不等号的方向改变.如果ab,c0,那么acb,cd,那么a+cb+d;说明：此性质可称为不等式的叠加性：两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向.性质6 如果ab0,cd0,那么acbd;说明：此性质可称为不等式的叠乘性：两边都
5、是正数的同向不等式相乘，所得不等式与原不等式同向.性质7 如果ab0,那么anbn(nN,n2);说明：此性质可称为不等式的乘方的性质：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向.性质8 如果ab0,那么 (nN,n2);说明：此性质可称为不等式的开方的性质：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时开方所得的不等式和原不等式同向.nnba 性质9 如果ab0,那么ba11如果ba0,那么ba11如果b0a,那么 返回 ab11比较大小问题 1+1aRa已知，试比较与1 a的大小。1+1 a分析：要判断与1 a的大小，只需研究它们差的符号。22221-+=,1111=
6、0=0=1+1112100+111310,+11aaaaaaaaaaaaaaaaa解析：1 a当时，当，且时，1 a当时，0当a=0,b0时，不等式的解集为R当a=0,b0时，不等式的解集为x|x ab当a0时，不等式的解集为x|x0 其中a，b，c是常数.一般地，如果对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a0)有两个不等的根 x1=，x2=aacbb242aacbb24221xx一元二次不等式的解法其中当当=b=b2 2-4-4a ac0c0时时 ax2+bx+c0)的解集为xx|21xxax2+bx+c0(a0)的解集为xx|21或xxx大于符号取两边大于符号取两边小于符号取中间小于符号取
7、中间x2x1yxOyxOx2x1一元二次不等式解法小结),(),(21xx2|abxx),(21xxR例1.解下列一元二次不等式1）x2-3x+203）-2x2+3x+202）x2-x+10 在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，x-y=6表示一条直线，平面内表示一条直线，平面内的所有的点被直线的所有的点被直线x-y=6分成分成三部分：三部分：1)在直线在直线x-y=6上的点；上的点；2)在直线在直线x-y=6左上方的区左上方的区域内的点；域内的点；3)在直线在直线x-y=6右下方的区右下方的区域内的点域内的点.Oxy66x-y=61 1、二元一次不等式表示的区域、二元一次不等式表示的区域
8、在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y6的解为坐标的点都在直线l 的左上方；反过来，直线l 左上方点的坐标都满足不等式x-y6.因此在平面直角坐标系中，不等式x-y6表示直线x-y=6右下方的平面区域；直线x-y=6叫做这两个区域的边界.66x-y6x-y=6 二元一次不等式二元一次不等式 ax+by+c0ax+by+c0在平面直角坐标系中表示直线在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0 ax+by+c=0 某一侧所有点组成的某一侧所有点组成的平面区域，为表示区域不包括边平面区域，为表示区域不包括边界，我们把直线画成虚线；界，我们把直线画成虚线；平面区域的一般结论：平面区域的一般结论：
9、二元一次不等式二元一次不等式ax+by+c0ax+by+c0在在平面直角坐标系中表示的平面区域平面直角坐标系中表示的平面区域包括边界，把边界画成实线包括边界，把边界画成实线.ax+by+c0Oxyax+by+c0判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法 对于直线对于直线ax+by+c=0同一侧的所有点，把它的坐同一侧的所有点，把它的坐标标(x，y)代入代入ax+by+c，所得的符号都相同，故只需，所得的符号都相同，故只需在直线在直线ax+by+c=0的某一侧取一特殊点的某一侧取一特殊点(x0，y0)以以ax0+by0+c的正负的情况便可判断的正负的情况便可判断ax+by+c0表示这表示这一直
10、线哪一侧的平面区域，特殊地，当一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当c0时常把时常把原点作为此特殊点原点作为此特殊点.方法一、方法一、二元一次不等式表示的平面区域二元一次不等式表示的平面区域例例 画出不等式画出不等式x+4y4表示的平面区域表示的平面区域.Oxy解：先作出边界直线x+4y=4,并画成虚线.取原点（0，0）代入x+4y-4，因为 0+40-4=-40 所以原点（0，0）在x+4y-40表示的平面区域内，不等式x+4y4表示的区域如图所示（在直线x+4y=4的左下方）x+4y-4=041x+4y0时，时，ax+by+c0表示这一直线右侧的平面区域，表示这一直线右侧的平面区域，ax+by
11、+c0时，时，ax+by+c0表示这一直线上方的平面区域，表示这一直线上方的平面区域，ax+by+c0时，时，(当当b0时时)结果反之结果反之.方法二、方法二、二元一次不等式组表示的平面区域例 画出不等式组表示的平面区域.3005xyxyxOxy35x-y+5=0 x+y=0 x=3 二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分.2、线性规划问题、线性规划问题 某工厂用某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用每生产一件甲产品使用4个个A配件耗时配件耗时1h，每生产一，每生产一件乙产品使用件
12、乙产品使用4个个B配件耗时配件耗时2h，该厂每天最多可从，该厂每天最多可从配件厂获得配件厂获得16个个A配件和配件和12个个B配件，按每天工作配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？分析分析:设甲乙两种产品设甲乙两种产品分别生产分别生产x、y件，由件，由已知条件可得二元一已知条件可得二元一次不等式组：次不等式组：0,012416482yxyxyx 将上述不等式组表示成将上述不等式组表示成平面上的区域，图中阴影部平面上的区域，图中阴影部分的坐标为整数的点的集合分的坐标为整数的点的集合就代表所有可能的日生产安就代表所有可能的日生产安排，即当点
13、排，即当点P(x,y)在上述平在上述平面区域中时，所有安排的生面区域中时，所有安排的生产任务产任务x、y才有意义才有意义.48403yx=4x+2y=8y=3如（如（0，0）（）（0，1）（）（0，2）（）（0，3）（1，0）（）（1，1）（）（1，2）（）（1，3）（2，0）（）（2，1）（）（2，2）（）（2，3）（3，0）（）（3，1）（）（3，2）（）（4，0）（）（4，1）（4，2）x 若生产一件甲产品获利若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产万元，生产一件乙产品获利品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？万元，采用哪种生产安排利润最大？分析：设工厂获得的利润为分析：设工厂获得的利
14、润为z，则，则 z=2x+3y上述问题转化为当上述问题转化为当x,y满足条件满足条件0,012416482yxyxyx并且为非负整数时，并且为非负整数时，z的最大值是多少？的最大值是多少？如（如（0，0）（）（0，1）（）（0，2）（）（0，3）（1，0）（）（1，1）（）（1，2）（）（1，3）（2，0）（）（2，1）（）（2，2）（）（2，3）（3，0）（）（3，1）（）（3，2）（）（4，0）（）（4，1）（）（4，2）把约束条件的整数点坐标全部列举出来代入z=2x+3y可比较算得当x=4,y=2时利润z最大，最大值为z=24+32=14（万元）4840 x=4x+2y=8y=3x 当z
15、变化时，可以得到一组互相平行的直线.考虑z=2x+3y可变形为 332zxy32可以看成x、y的直线方程，斜率为 ，在y轴上的截距为3y3z截距 可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.同时坐标x，y应在约束条件所表示的平面区域内.3z3z向上平移直线可以容易得到最大截距 及相应的x，y值.当x=4，y=2时，得到最大值，z也达到最大值为14万元.3z 例子中，利润函数z=2x+3y是关于x，y的目标函数，其中x，y满足的平面区域的条件常称为约束条件，由于都是由二元一次不等式组构成的,所以又称为线性约束条件；如：0,012416482yxyxyx在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小在线性约
16、束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题，统称为值的问题，统称为线性规划问题 线性规划的相关概念可行解可行解 ：满足线性约满足线性约束条件的解束条件的解(x(x，y)y)叫可叫可行解；行解；如（如（1 1，2 2）、）、（4 4，2 2）等等.可行域可行域 ：由所有可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域；组成的集合叫做可行域；如图中阴影部分中的整如图中阴影部分中的整数点坐标的集合数点坐标的集合 最优解最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解性规划问题的最优解.如点（如点（4 4，2 2）或）或x=4,y=2x=4,y=2使得使
17、得z=2x+3yz=2x+3y取得最大值，（取得最大值，（4 4，2 2）是最优解）是最优解.线性规划线性规划48403yx=4x+2y=8y=3x说明：1）约束条件的平面区域就是可行域，可以是封闭多边形，也可以是不封闭的.2）最优解可以只有一个，也可以多个，是有限多的，也可以无限多的.即最优解可以是不唯一.但最大值或最小值只有一个.3）在平移目标函数变形得到直线时，最优解往往在区域的边界（或附近）).,(2,22”成立“时当且仅当则若baabbaRba四、基本不等式四、基本不等式基本不等式基本不等式1 1.,2,0,0”成立时“当且仅当则若babaabba基本不等式基本不等式2 2 如果把
18、看作是正数a、b的等差中项，把 看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：2ba ab两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.基本不等式2abab 为a、b的算术平均数，为几何平均数，那么2ba ab两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.基本不等式的推广：基本不等式的推广：若若 则则 叫做叫做n个正数的算术平均数，个正数的算术平均数，叫做叫做n个正数的个正数的几何平均数几何平均数.,Raaan21naaan21nnaaa21 naaan 21nnaaa21n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.的最小值时，求当1141xxx利用基本不等式求函数的最值利用基本不等式求函数的最值
19、例1、解：解：x1，x-108411)1(42411)1(4114xxxxxx11)1(4xx当且仅当，即23x211x时4114xx114xx的最小值是8。的最大值时，求当)32(320 xxx利用基本不等式求函数的最值利用基本不等式求函数的最值例2、解：解：0 x0，2-3x0)32(331)32(xxxx当且仅当，即31x32312)32(3312xxxx323时31)32(xx.31)32(320的最大值是时，xxx 利用基本不等式求函数的最值之要领利用基本不等式求函数的最值之要领注：积定和最小，和定积最大注：积定和最小，和定积最大四种均值关系：四种均值关系：两个正数两个正数a,b的调
20、和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根之间的关系是：之间的关系是：求最值的三个条件求最值的三个条件：（1）正；（）正；（2）定；（）定；（3）相等）相等abbaab22222baba 在有些问题中在有些问题中,有时也会遇到相等不成有时也会遇到相等不成立的情况立的情况例如：已知例如：已知0 x0，b0时函数时函数 在在(0，+)上是增函数；上是增函数；xbaxy 3、当、当a0时函数时函数 在在(0，+)上是减函数；上是减函数；xbaxy 4、当、当a0，b0时函数时函数 在在(0，上上是减函数；在是减函数；在 ，+)上是增函数；上是增函数；xbax
21、yabab3绝对值三角不等式绝对值三角不等式 性质性质1：|ab|_|a|b|.性质性质2：|a|b|_|ab|.性质性质3：|a|b|_|ab|_|a|b|.利用以上性质可证明不等式或求不等式的最利用以上性质可证明不等式或求不等式的最值值 4绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式含绝对值的不等式|x|a的解集的解集不等式不等式a0a0a0|x|a绝对值不等式的题型梳理题型一 解含绝对值的不等式例1 解不等式:（1）|2x+1|4;(2)|2x+1|+|x-2|4题型二 求含绝对值的函数最值例2 函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为_.题型三 含绝对值不等式的证明例3
22、已知|A-a|m/2,|B-b|m/2,证明不等式|（A+B)-(a+b)|）小于（小于（）都是都是都不是都不是至少至少n n个个至多至多n n个个反设词反设词不大于不大于（）不小于不小于（）不都是不都是至少有一个至少有一个是是至多至多n-1n-1个个至少至少n+1n+1个个原结论词原结论词有无穷多个有无穷多个存在唯一的存在唯一的对任意对任意p p，使，使恒成立恒成立反设词反设词只有有限多个只有有限多个不存在或至少存在两个不存在或至少存在两个至少有一个至少有一个p p，使，使不成立不成立1 1、定义、定义八、放缩法八、放缩法欲证不等式欲证不等式ABAB，可通过适当放大或缩小，借助一，可通过适当
23、放大或缩小，借助一个个(或多个或多个)中间量中间量C C作比较，使得作比较，使得ACAC与与CBCB同时同时成立，由不等式的传递性知成立，由不等式的传递性知ABAB显然成立，这种方显然成立，这种方法叫做放缩法。法叫做放缩法。2 2、证明思路、证明思路利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特征利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特征及已知条件，采取舍掉式中一些正项或负项，或者及已知条件，采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母、把式子中的某些在分式中放大或缩小分子、分母、把式子中的某些项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的
24、目的此类证法是一种技巧性较强的不等变形，必须的此类证法是一种技巧性较强的不等变形，必须时刻注意放缩的跨度，进行恰当地放缩，任何不适时刻注意放缩的跨度，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩宜的放缩(放的过大或过小放的过大或过小)都会导致推证的失败。都会导致推证的失败。2 2、证明思路、证明思路九、构造函数法九、构造函数法1 1、定义、定义根据函数的单调性证明不等式的方法根据函数的单调性证明不等式的方法.（1）构造函数）构造函数（2）探讨函数的单调性）探讨函数的单调性（3）利用单调性证明不等式）利用单调性证明不等式习题讲解 绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法1、已知函数、已知函数f(x)|xa|x2
25、|.(1)当当a3时，求不等式时，求不等式f(x)3的解集；的解集；(2)若若f(x)|x4|的解集包含的解集包含1,2，求，求a的取值范围的取值范围 自主解答(1)当 a3 时，f(x)2x5，x2，1，2x3，2x5，x3.当 x2 时，由 f(x)3 得2x53，解得 x1；当 2x3 时，f(x)3 无解；当 x3 时，由 f(x)3 得 2x53，解得 x4；所以 f(x)3 的解集为x|x1，或 x4解：f(x)|xa|x2|，f(x)|(xa)(x2)|a2|.由条件知|a2|3，即a23 或 a23，a1 或 a5.即 a 的取值范围为(，51，)在本题条件下，若 f(x)3 对一切实数 x 恒成立，求 a的取值范围设函数 f(x)x22x，实数 a 满足|xa|1.求证：|f(x)f(a)|2|a|3.
