1、考点50抛物线项目内容定义 图象 标准方程_（p0）_（p0）_（p0）_（p0）范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴 平面内与一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线y2=2pxy2=2pxx2=2pyx2=2pyx轴x轴y轴y轴项目内容标准方程_（p0）_（p0）_（p0）_（p0）焦点 准线 顶点 离心率弦长公式AB=_，其中(x1，y1),(x2，y2)为弦的端点，k为弦所在直线的斜率y2=2pxy2=2pxx2=2pyx2=2py02pF（,）02pF（,）02pF（,）02pF（,）=2px=2px=2py=2py（0，0）e=122121
2、214kxxx x（）1.焦点在x轴的正半轴上，且p=1的抛物线的标准方程为（）A.x2=yB.y2=xC.x2=2yD.y2=2x2.抛物线y2=4x的焦点到准线的距离为（）A.1B.2C.8D.163.准线为y=4的抛物线的标准方程（）A.x2=4yB.x2=8yC.x2=16yD.y2=16x焦点在x轴正半轴，p=1，y2=2x.2p=4，p=2，即焦准距为2.DBC4.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线2x3y6=0上，则抛物线的方程为（）A.y2=6xB.y2=12xC.x2=2yD.y2=12x5.抛物线y=ax2的焦点坐标是（0，），则a的值为（）A.16B.8C.
3、4D.26.若抛物线y2=8x上一点M到焦点的距离是4，则点M的横坐标为_.18y=ax2，即x2=y，焦点为（0，），焦点在y轴正半轴上，a0且 =，a=2.181a1a1814设M（x0，y0），则x00，由抛物线定义知4=x0+=x0+2，x0=2.2pBD2根据题意焦点是直线2x3y6=0与x轴的交点，令y=0，得x=3，F（3，0），=3，p=6，抛物线的方程为y2=12x.2p【例1】求满足下列条件的抛物线的标准方程:（1）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且经过点（2，4）；（2）顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线x2y+4=0上.解：（1）根据题意，焦点在x轴正半轴或y轴正半轴上
4、，设方程为y2=2px（p0）或x2=2py（p0），所求方程为y2=8x或x2=y.（2）令x=0，得y=2；令y=0，得x=4，焦点为F（0，2）或F（4，0），方程为x2=8y或y2=16x.将点（2，4）分别代入得p=4或p=，12【思路点拨】求抛物线的标准方程，先确定焦点的位置，再找一个条件即可.本例中两个题目所提抛物线的焦点位置均有两种可能，因此需要通过题目中的具体情况来讨论解题，关键是焦点位置的确定.【变式训练1】求以原点为顶点，对称轴为坐标轴，且经过点P（3，6）的抛物线的标准方程.解：焦点在x轴负半轴或y轴负半轴上，设方程为y2=2px或x2=2py（p0），抛物线方程为y2
5、=12x或x2=y.32将点（3，6）分别代入得p=6或p=，34【例2】已知抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离为4，求点P的坐标.解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），准线方程为x=1，设P（x0，y0）（x00，由抛物线定义知4=|y0|+=y0+1，y0=3，代入x2=4y，得x0=2 ，P（2 ，3）.2p33设P（x0，y0），则x00，|PM|=x0+=x0+1=5，x0=4，代入y2=4x，得y0=4.SMPF=|PM|y0|=54=10.2p1212【例3】已知抛物线y2=2px（p0）上一点P，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（）A.相交B.相切C.相离D.由p确定如图
6、所示.过点P作PQy轴于Q，设PF中点为M，过点M作MNy轴于N，则由线段MN为梯形FOQP的中位线知|MN|=（|PQ|+|OF|）=（|PQ|+）=|PF|=r.即以|PF|为直径的圆与y轴相切.p2121212B【思路点拨】由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，利用抛物线定义结合图形可以推出PF的中心（即圆心）到y轴的距离等于PF=半径，即相切.12【变式训练3】已知F是抛物线y2=2px（p0）的焦点，过F的直线与抛物线交于A，B两点，则以AB为直径的圆与抛物线的准线（）A.相离B.相切C.相交D.由p确定如图所示.设AB中点为M，分别过A，M，B作准线的垂线
7、，垂足分别为A，M，B，由抛物线定义知|AF|=|AA|，|BF|=|BB|，则|AB|=|AA|+|BB|.由梯形中位线知|MM|=（|AA|+|BB|）=|AB|=r.即以AB为直径的圆与抛物线准线相切.1212B【例4】直线ykx与抛物线y24x交于A、B两点，若线段AB的中点横坐标为2，求k的值ykx，y24x，k2x24x0，k1.1224.xxk1224=2.2xxk【思路点拨】直线与曲线相交的中点问题，即根据中点坐标公式x y 可知利用韦达定理，于是不难想到两个方程联立解题122xx，122yy【变式训练4】直线xy2与抛物线y24x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为_（4，
8、2）【提示】yx2，y24x，x28x40，x1x28，x中 4代入yx2得y中2，AB中点坐标为（4，2）122xx，1已知抛物线方程，求焦点、准线等问题时，首先要将方程化为标准方程，再求出p.2求抛物线的方程，首先要确定顶点位置，开口方向和焦点位置，以便准确设出方程，然后利用已知条件求出参数p.3已知抛物线上一点到焦点的距离问题，通常利用抛物线的定义将其转化为准线的距离4涉及距离或长度问题时，充分利用抛物线的定义，能简化解题过程，起到事半功倍的效果A.基础训练一、选择题一、选择题1.抛物线x2+y=0的焦点坐标在（）A.x轴正半轴上B.y轴正半轴上C.x轴负半轴上D.y轴负半轴上2.抛物线
9、y=x2的准线方程是（）A.4y+1=0B.4x+1=0C.2y+1=0D.2x+1=03.若抛物线y2=2px（p0）上一点A到焦点的距离为3的点的横坐标为2，则p等于（）A.4B.3C.2D.1x2+y=0，x2=y，焦点在y轴负半轴上.由抛物线定义知x0+=2+=3，p=2.2p2pDACy=x2，x2=y，2p=1，p=，=，准线y=，即4y+1=0.p21214144.焦点到准线的距离为8，对称轴为y轴的抛物线标准方程为（）A.x2=8yB.x2=8yC.x2=16yD.x2=16y或x2=16y5.抛物线y=px2（p0）的焦点坐标为（）A.B.C.D.6.顶点在坐标原点，焦点坐标
10、为（2，0），则抛物线的标准方程为（）A.y2=4xB.y2=8xC.x2=4yD.x2=8y或y2=8x,04p,04p10,4p10,4pp=8，焦点在y轴正、负半轴上，x2=16y.y=px2即x2=y，焦点在y轴正半轴上，F .10,4p1p =2，p=4且焦点在x轴正半轴上，抛物线方程为y2=8x.2pDDB二、填空题二、填空题7.抛物线3x2y2=0的焦点坐标是_，准线方程是_.8.以x轴为对称轴，且过点M（5，4）的抛物线的标准方程为_.9.抛物线y2=2px（p0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线的焦点与准线的距离为_.10.已知点P是抛物线y2=16x上的一点，它
11、到对称轴的距离为12，则|PF|=_.3,08F（）38x 2165yx 2133x2y2=0，y2=x，焦点在x轴正半轴上，且2p=，p=，=，F（，0），准线方程为x=.3232342p 383838根据题意焦点在x轴的负半轴上.设方程为y2=2px（p0），将点（5，4）代入得2p（5）=16，p=，y2=x.85165由抛物线的定义知5=4+，p=2，即焦点到准线的距离为2.2p抛物线关于x轴对称，设P（x0，y0），则|y0|=12，即y0=12，代入y2=16x，得x=9，|PF|=x0+=9+4=13.2p三、解答题三、解答题11.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一
12、点P（m，4）到焦点的距离为6，求抛物线的标准方程.解：抛物线焦点在y轴上，过点P（m，4），焦点在y轴的负半轴上.抛物线标准方程为x2=8y.又|PF|=6，|4|+=4+=6，p=4，2p2p12.设抛物线的顶点是双曲线9x216y2=144的中心，焦点是双曲线的右焦点，求抛物线的标准方程.a2=16，b2=9，c2=a2+b2=25，a=4，b=3，b=5，且焦点在x轴上，抛物线标准方程为y2=20 x.解：9x216y2=144，=1，22169xy右焦点为（5，0），=5，p=10，2pB.能力提升1.抛物线y2=2px（p0）上有点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3
13、）三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等数列，则（）A.x1，x2，x3成等差数列B.x1，x3，x2成等差数列C.y1，y2，y3成等差数列D.y1，y3，y2成等差数列2.F为抛物线y2=2x的焦点，点P是抛物线上的动点，点A的坐标是（3，2），当|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标是（）A.（4，2）B.（4，2）C.（2，2）D.（2，2）由抛物线定义知，|AF|=x1+，|BF|=x2+，|CF|=x3+，由|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，知2|BF|=|AF|+|CF|，即2（x2+）=x1+x3+，2x2=x1+x3，x1，x2，x3成等差数列.2p2
14、p2p2p2p2pAC如图所示.过P作PQ垂直于准线，Q为垂足，则由抛物线定义知，|PQ|=|PF|，|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|，当P，Q，A三点共线时，|PA|+|PQ|最短，此时yP=yA=2，代入y2=2x，得xP=2，P（2，2）.3.已知点M是抛物线y2=4x上的一点，F为抛物线的焦点，点A在圆C:（x4）2+（y1）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值为_.4如图所示.M，A分别为抛物线与圆上的动点，过M作MN与准线垂直于N，则|MA|+|MF|=|MN|+|MA|，当M，N，A与圆心C（4，1）共线时|MN|+|MA|最短，此时|MA|+|MN|=|CN|r=4+1=4+11=4，即|MA|+|MF|最小值为4.2p
