1、参数恒成立问题参数恒成立问题1.考查方式考查方式 近年来全国各地高考数学试题，考查参数恒成立的有关试题非常普遍，这类问题既含参数又含变量，形式灵活、思维性强，主要考察对化归、分类讨论、数形结合等数学思想方法的灵活运用。考题通常以含参不等式恒成立形式考题通常以含参不等式恒成立形式出现：出现：已知某个已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围不等式恒成立，求其中的参数的取值范围。除了在除了在选择和填空中以中等及以上难度出现外，还常在全选择和填空中以中等及以上难度出现外，还常在全国卷第国卷第23题题、第、第21题题中中分别结合含绝对值不等式分别结合含绝对值不等式与与导数导数进行综合考察进行综合考察
2、。一、内容概述一、内容概述2.考点分析考点分析 解决参数恒成立问题的方法主要有：参变分离法、函数性质（最值）法、数形结合法等。重点：重点：根据条件根据条件构造恰当的函数构造恰当的函数化归为函数的单调化归为函数的单调性及最值问题。性及最值问题。难点：难点：函数构造的恰当性及函数构造的恰当性及含参的含参的分类讨论分类讨论问题问题。一、内容概述一、内容概述3.考点误区考点误区将主元与参数分离时需注意不等式中参数系数的正负系数的正负以及对特殊点的单独讨论；参变分离后，构造的函数过于复杂，不便研究其单调参变分离后，构造的函数过于复杂，不便研究其单调性及最值的应大胆性及最值的应大胆直接构造含参函数，通过分
3、类讨论直接构造含参函数，通过分类讨论完成函数最值的研究；完成函数最值的研究；一、内容概述一、内容概述（1 1）函数性质法：）函数性质法：（构造含参函数，求最值）（构造含参函数，求最值）（2 2）参变分离法：）参变分离法：（构造确定函数，求最值）（构造确定函数，求最值）f(x)0恒成立恒成立 f(x)f(x)max；f(x)g(a)恒成立恒成立g(a)0f(x)0恒成立恒成立f(x)max0.f(x)min0；二、例题示范二、例题示范.023(5)31,0(,021)31,0(021235)(0)()31,0(2恒成立）时，则当时，又当即恒成立，时，）依题意知当解：（bxxxxxxbxxxfxf
4、x例1：则时，又当，恒成立，即时，）依题意知当解：（,021)31,0(021235)(0)()31,0(2xxxxbxxxfxfx91,(.910)23(350)31(0)()31()()31,0()(),23(5)(的取值范围为所以有恒成立，由则单调递增，在令bbbgxggxgxgbxxg函函数数性性质质法法1.1.构造含参函数构造含参函数2.2.求函数最值求函数最值3.3.求参数范围求参数范围.023(5)31,0(恒成立）时，当bxx91,(.913235)31()31()()()310(,325)(325的取值范围为所以所以单调递减，所以易知，令即bgbgxgxgxxxgxb参参变变
5、分分离离法法1.1.参变分离参变分离构造确定函数构造确定函数2.2.求函数最值求函数最值3.3.求参数范围求参数范围.023(5)31,0(恒成立）时，当bxx则时，又当，恒成立，即时，）依题意知当解：（,021)31,0(021235)(0)()31,0(2xxxxbxxxfxfx,2)(1,12xgx时，）当解：（函函数数性性质质法法，则恒成立若令0)(,0)(.1,1,2)(min2xhxhxaxxxh含参分含参分类讨论类讨论1.1.构造构造含参函含参函数数2.2.求函求函数最值数最值.022)(1,1 1,1)()(2axxxfxxgxf恒成立，即时，等价于当的解集包含所以例2：函函数
6、数性性质质法法，则恒成立若令0)(,0)(.1,1,2)(min2xhxhxaxxxh-11-11-11-111.1.构造构造含参函含参函数数2.2.求函求函数最值数最值含参分含参分类讨论类讨论0)1(0210)1(1200)1(120)1(12hahahaha或或或2ax 2ax 2ax 2ax.1,1,11的取值范围为所以aa3.3.求参求参数范围数范围.022)(1,1 1,1)()(,2)(1,122axxxfxxgxfxgx恒成立，即时，等价于当的解集包含所以时，）当解：（函函数数性性质质法法.1,1,110)1(0)1(0)(1,1.1,1,2)(2的取值范围为所以则恒成立，时，若
7、根据二次函数性质，aahhxhxxaxxxh242)(1,1 1,1)()(,2)(1,122axxxfxxgxfxgx恒成立，即时，等价于当的解集包含所以时，）当解：（1,1.1)1()()(01.1)1()()(210.1,0()0,1)(,2)(minmax2的取值范围为所以时，当时，当单调递增和在易知令函数ahxhaxhaxhxhaxhxxaxxhxxxh参参变变分分离离法法参变参变分离分离构造构造函数函数函数函数最值最值参数参数范围范围恒成立；时，显然当20.222xaxxxax评析：本例可转化为含参二次函数（基本初等型）恒评析：本例可转化为含参二次函数（基本初等型）恒成立问题，可根
8、据二次函数的性质进行求解，可利用成立问题，可根据二次函数的性质进行求解，可利用函数的图像理解记忆二次函数的性质。也可用参变分函数的图像理解记忆二次函数的性质。也可用参变分离法，前提是构造的确定函数比较容易判断其单调性离法，前提是构造的确定函数比较容易判断其单调性，以确定其最值。，以确定其最值。0)(2020)(2,0)(0)(0)(,0)(0.30)(2020)(2,0)(0)(0)(,0)(0.2;000)(;000)(.1)0()(2nfnabnabmmfmabnmxxfnfmfnmxxfanfnabnabmmfmabnmxxfnfmfnmxxfaaRxxfaRxxfacbxaxxf或或恒
9、成立在上恒成立在上时，当或或上恒成立在恒成立在上时，当上恒成立在上恒成立在设型：式后求解。常见基本类区间端点值等列出关系、数图象的开口、对称轴成立问题：结合二次函二次函数在闭区间上恒 )(4)(.)(40)(6)()2(22xfxfxhRxxfxfmxfRxxmfxf令恒成立对于所以，恒成立，且，对于因为，又时，取得等号，当且仅当由解22)22(22)2(.0222)()2(:2222xfxfxxfxxxxxx评析：本例通过参变分离法转化为求复合型函数的最值，评析：本例通过参变分离法转化为求复合型函数的最值，可通过研究内外层函数的单调性解决，本例中内层为指数可通过研究内外层函数的单调性解决，本
10、例中内层为指数型函数，外层为对勾函数型，在恰当的条件下对勾函数型型函数，外层为对勾函数型，在恰当的条件下对勾函数型可利用均值不等式解决，需要注意的是均值的一正二定三可利用均值不等式解决，需要注意的是均值的一正二定三相等的要求。相等的要求。.44)(4)(,4)0(4004)(4)(2)(4)()(minmin2的最大值为，故实数，所以即时，且当而mxhmxhffxxfxfxfxfxh例3：;)(1ln1minminxgxxxa;0)(minxf.1112121)(,0)1(,11ln)(.011ln0),1(2222xxxaxxaxxggxxaxxgxxaxxfx则令时，）当解：（;0)(),
11、1()(0)(,012112),1(2i22xgxxgxgxxxaxxa上单调递增，因此在，故时，当200)1(110aha或1h(x)x=a-1200aa或例4：.2,(.0)1()(),1()(,0)(),1(,11,1;111;1110)(2ii2212122221的取值范围是综上，因此单调递减，在时，故当得由时，令当agxgxxxgxgxxxxxxaaxaaxxga1g(x)x2x11x2x1+-g(x);0)(),1()(0)(,012112),1(2i.1112)(,0)1(,11ln)(.011ln0),1(22222xgxxgxgxxxaxxaxxxaxxggxxaxxgxxa
12、xxfx上单调递增，因此在，故时，当则令时，）当解：（;0)(minxf思路一：转化为;1ln1minxxxa思路二：转化为.011lnminxxax思路三：转化为评析：本例中构造恰当的函数是难点，一般会有三种思路：评析：本例中构造恰当的函数是难点，一般会有三种思路：前两种思路构造的函数单调性不易研究，求导后函数前两种思路构造的函数单调性不易研究，求导后函数依旧过于复杂无法顺利讨论单调性，进而求最值受阻。而依旧过于复杂无法顺利讨论单调性，进而求最值受阻。而思路三构造的函数巧妙的将对数与分式结构分离后求导，思路三构造的函数巧妙的将对数与分式结构分离后求导，则化解了前两种思路的困境。则化解了前两种
13、思路的困境。；时，则当若）解：（0)(,01)0,(0.2)1()(1xfexmxemxfmxmx.),0()0,()(.0)(,01),0(0)(,01)0,(0.0)(,01),0(单调递增单调递减，在在所以时，当；时，则当若时，当xfxfexxfexmxfexmxmxmx例5：,1,1,10)1(,10)1(1)()(1,1,.0)(1,00,1)(1221212emeemeeffeffexfxfxxxxfmxxexfmmmmx即的充要条件是：，所以对于任意处取得最小值在单调递增，故在单调递减，在，）知，对任意）由（.),00,()(.0)(),00)(0,(1)(1)(单调递增单调递减
14、，在在故时，当；时，当，则设函数mgmgmmgmemgememgmm ,1,1,10)1(,10)1(1)()(1,1,.0)(1,00,1)(1221212emeemeeffeffexfxfxxxxfmxxexfmmmmx即的充要条件是：，所以对于任意处取得最小值在单调递增，故在单调递减，在，）知，对任意）由（-01 -1+g(m).1,1.10)(110)()(1.0)(0)(1,102)1(,0)1(1的取值范围是综上，即时，当；，即单调递增，时，当成立即，时，故当，又mememgmememgmgmmgmgmeeggmm-1g(m)01评析：本例涉及双变量（双主元）恒成立问题，评析：本例
15、涉及双变量（双主元）恒成立问题，与单变量恒成立问题的差别在于要考虑构造的两与单变量恒成立问题的差别在于要考虑构造的两个函数的最值问题。个函数的最值问题。g(0)=2-e0恒成立恒成立f(x)min0；f(x)0恒成立恒成立f(x)max0.一次函数、二一次函数、二次函数等常见次函数等常见函数函数复杂型函数复杂型函数函函数数函数最值函数最值利用导数利用导数研究函数研究函数最值最值三、归纳总结三、归纳总结简单复合型函简单复合型函数数 f(x)f(x)max；f(x)g(a)恒成立恒成立g(a)f(x)min.适用于：参变能分离，适用于：参变能分离，且最值易求出且最值易求出.难点：含参分类讨论难点：含参分类讨论
