1、3第三章 一元一次方程 约公元约公元825825年，中亚细亚年，中亚细亚数学家阿尔数学家阿尔花拉子米写了花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样一本代数书，重点论述怎样解方程。这本书的拉丁译本解方程。这本书的拉丁译本为为对消与还原对消与还原。“对消对消”与与“还原还原”是什么意思呢？是什么意思呢？实际问题实际问题一元一次方程一元一次方程设未知数列方程设未知数列方程 分析实际问题中的数量关系，利用其中的分析实际问题中的数量关系，利用其中的相相等关系等关系列出方程，是解决实际问题的一种数学列出方程，是解决实际问题的一种数学方法方法.某校三年共购买计算机某校三年共购买计算机140台，去年购买数量台，去年
2、购买数量是前年的是前年的2倍，今年购买数量又是去年的倍，今年购买数量又是去年的2倍前年倍前年这个学校购买了多少台计算机？这个学校购买了多少台计算机？分析分析:设前年这个学校购买了计算机设前年这个学校购买了计算机x x台，则去年购买计算台，则去年购买计算机机2x2x台，今年购买计算机台，今年购买计算机4x4x台，台，根据问题中的相等关系根据问题中的相等关系：前年购买量去年购买量今年购买量前年购买量去年购买量今年购买量140台台列得方程列得方程x+2 x+4 x=140思考：怎样解思考：怎样解这个方程呢？这个方程呢？24140 xxx分析：解方程，就是把分析：解方程，就是把方程变形，变为方程变形，
3、变为 x=a（a为常数）的形式。为常数）的形式。合并同类项合并同类项系数化为系数化为1 1想一想：上面解方程中想一想：上面解方程中“合并同类项合并同类项”起了什么作起了什么作用？用？根据等式的性质根据等式的性质 合并同类项起到了“化简化简”的作用，即把含有未知数的项合并，从而把方程转化为ax=b，使其更接近x=a的形式(其中a,b是常数)。合并同类项的作用：合并同类项的作用：实际问题实际问题一元一次方程一元一次方程 设未知数设未知数 列方程列方程思考：如何列方程？分哪些步骤？思考：如何列方程？分哪些步骤？一一.设未知数设未知数二二.分析题意找出等量关系分析题意找出等量关系三三.根据根据等量关系
4、等量关系列方程列方程86252)1(xx364155.135.27)2(xxxx合并同类项，得)1(221x，得系数化为14x解下列方程解下列方程解：例例2 有一列数，按一定规律排成有一列数，按一定规律排成1，-3,9，-27,81，-243，.其中某三个相邻数的和是其中某三个相邻数的和是-1701，这三个数，这三个数各是多少？各是多少？解：后面一个数都是前一个数的-3 倍，设某三个相邻的数第一个是 x，则第二、第三个分别是-3x,9x，所以 x-3x+9 x=-1701解得 x=-243解下列方程解下列方程 30.30.510 xx(4)61.52.53mmm 132722xx 1529xx
5、请欣赏一首诗：请欣赏一首诗：太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼；太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼；一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中；一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中；剩下十五围着我，共有多少请算清。剩下十五围着我，共有多少请算清。你能列出方程来解决这个问题吗？你能列出方程来解决这个问题吗？111524xxx 一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是一，它的全部，加起来总共是3333。求这个数。求这个数。解：设这个数是解：设这个数是x，则：，则：把一些图书分给某班同学阅读，如果每人把一些图书分给某班同学阅读，如果每人3本，本，则剩余
6、则剩余20本；若每人本；若每人4本，则还缺少本，则还缺少25本，这个班的本，这个班的学生有多少人？学生有多少人？问题问题分析：设这个班有分析：设这个班有x x名学生，这批书共有（名学生，这批书共有（3x+203x+20）本这）本这批书共有（批书共有（4x4x2525）本。）本。表示同一个量的两个不同的式子相等（即：这批表示同一个量的两个不同的式子相等（即：这批书的总数是一个定值）书的总数是一个定值）3x+20=4x251、使方程右边不含、使方程右边不含 x 的项的项2、使方程左边不含常数项、使方程左边不含常数项等式两边减4x，得：3x+204x=4x254x3x+204x=253x+204x2
7、0=2520等式两边减20，得：3x4x=25203x4x=2520 3x+20=4x25 上面方程的变形，相当于把原方程上面方程的变形，相当于把原方程左边左边的的20变为变为20移到移到右边右边，把，把右边右边的的4x变为变为4x移到移到左边左边.把某项从等把某项从等式一边移到式一边移到另一边时有另一边时有什么变化？什么变化？解方程中解方程中“移项移项”起了什么作用起了什么作用？通过移项，含通过移项，含未知数的项未知数的项与与常数项常数项分别列于分别列于方程的方程的左右两边左右两边，使方程更接近于，使方程更接近于 x=a 的形式的形式.像上面那样，等式一边的某项像上面那样，等式一边的某项变号
8、变号后移到另后移到另一边，叫做一边，叫做移项移项。320425xx342520 xx 45x 45x 移项移项合并同类项合并同类项系数化为系数化为1 1例例2 解方程解方程(1)37322xx 3(2)312xx421125573223)1(xxxx，得系数化为合并同类项，得移项，得814213123)2(xxxx，得系数化为合并同类项，得移项，得解：例例4 4 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多水排量要比环保限制的最大量还多200t200t；如用新工；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少艺，则废水排量比环保限制的最
9、大量少100t.100t.新、新、旧工艺的废水排量之比为旧工艺的废水排量之比为2 25 5，两种工艺的废水排，两种工艺的废水排量各是多少？量各是多少？分析：因为新，旧工艺的废水排量之比为2:5，所以可设它们分别为2x t和5x t，再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程。解：设新、旧工艺的废水排量分别为 2xt 和 5xt根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得 5x-200=2x+100 移项，得 5x-2x=100+200 合并同类项，得 3x=300 系数化为1，得x=100 所以 2x=200 5x=500答：新、旧工艺生产的废水排量分别为200 t和500 t。练习练习 解下列方程解下列方程(1)6745;xx 13(2)624xx (3)5278;xx 35(4)13;22xx
