1、2实例探究实例探究:高斯高斯(17771855)德国著名数学家。德国著名数学家。高斯高斯10岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？首项与末项的和：首项与末项的和：1+100=101，第第2项与倒数第项与倒数第2项的和项的和2+99=101，第第50项与倒数第项与倒数第50项的和：项的和：50+51=101，于是所求的和是：于是所求的和是：10150=5050。问题问题:如何求一般等差数列的前如何求一般等差数列的前n项和？项和？等差数列的前等差数列的前n项和项和数列数列an中，中，a1+a2+a3+an称为数列称为数列an的前的前n项和，记为项和，记为Sn.Sn
2、=a1+a2+a3+anSn=an+an-1+an-2+a2+a1如果把两式左右两端相加，将会有什么结果？如果把两式左右两端相加，将会有什么结果？倒序相加法倒序相加法探究发现探究发现如何求一般等差数列如何求一般等差数列an的前的前n项和项和Sn？Sn=a1+(a1+d)+a1+(n-1)dSn=an+(an-d)+an-(n-1)d2Sn=n(a1+an)2)(11nnaanS 公式公式an=a1+(n-1)ddnnnaSn2)1(21 公式公式公式公式1公式公式2观察公式观察公式2,看其与二次函数有何联系？看其与二次函数有何联系？2)(1nnaanS dnnnaSn2)1(1 将公式将公式2
3、：变形可得变形可得dnnnaSn2)1(1 ,2,21dabda 令令，为为常常数数则则有有),(2babnanSn 当当d0时，时，Sn是一个是一个常数项为零常数项为零的二次函数的二次函数.当当d=0时，时，Sn=na1，an是一个常数列，是一个常数列，ndandSn)2(212 .),(2的的形形式式为为常常数数项项的的和和都都可可以以写写成成即即任任何何一一个个等等差差数数列列前前babnanSnn .的等差数列的等差数列，公差为，公差为是首项为是首项为；abanSbannSnn 三、公式的应用：三、公式的应用：例例1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列根据下列各题中的条件，求相应的
4、等差数列 an的的Sn知三求二知三求二nnSanda,15.6042)325.14(26267.0)1(5.1432)1(1 nnsnndnaa所所以以得得先先由由5002)955(1010 s2550)2(2)150(501005050 s(1)a1=5,an=95,n=10.求求S10(2)a1=100,d=-2,n=50.求求S50(3)a1=14.5,d=0.7,an=32.前前9项项例例2.等差数列等差数列-10，-6，-2，2，前多少项和是前多少项和是54?变式：变式：1645(1)求等差数列求等差数列13，15，17，81的各项和。的各项和。a51+a52+a80=393(2)在
5、等差数列在等差数列an中，中，a4=0.8，a11=2.2,求求a51+a52+a80三、公式的应用：三、公式的应用：2n252nn (3)设设等差数列等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若a6=S3=12，则，则an的通项的通项an=_(4)已知已知数列的通项数列的通项an=-5n+2，则其前，则其前n项和项和为为_(5)已知等差数列已知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，a5=15，a10=25.(1)求通项求通项an；(2)若若Sn=112，求，求n.an=7+(n-1)2=2n+5n=83.已知已知a3+a7-a10=8,a11-a4=4,则则S13=_100例例3.在等差
6、数列在等差数列an中，中，(1)a3+a33=6，求，求S35；(2)a33 =10，求，求S65.变式：变式：在等差数列在等差数列an中中-301562.已知已知a1-a4-a8-a12+a15=2，则，则S15=_三、公式的应用：三、公式的应用：1.已知已知a6+a9+a12+a15=20，则，则S20=_四、小结四、小结 本节课学习了以下内容：本节课学习了以下内容：2)(1nnaanS dnnnaSn2)1(1 1、等差数列的前项和公式、等差数列的前项和公式1：2、等差数列的前项和公式、等差数列的前项和公式2：),(.)2(2212为为常常数数即即babnanSndandSnn 3、当、
7、当d0时，等差数列的前时，等差数列的前n项的和是一个项的和是一个常数项为零的二次函数常数项为零的二次函数.的等差数列的等差数列，公差为，公差为是首项为是首项为；abanSbannSnn 五、等差数列前五、等差数列前n项和问题项和问题例例1、已知、已知数列数列an的前的前n项和为：项和为：Sn=3n2-2n，求这，求这个数列的通项公式个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？是，它的首项与公差分别是什么？解：解：Sn=3n2-2n，a1=S1=3-2=1，当当n2时，时，an=Sn-Sn-1=3n2-2n-3(n-1)2-2(n-1)=6
8、n-5，当当n=1时，时，a1=1也满足上式也满足上式.an=6n-5，而，而an+1-an=6数列数列an成等差数列，且首项为成等差数列，且首项为1，公差为，公差为6方法点评：方法点评：a1=S1是求数列通项的必经之路，是求数列通项的必经之路，an=Sn-Sn-1，一般是针对一般是针对n2时的自然数时的自然数n而言的，因此，要注意验证而言的，因此，要注意验证n=1时是否也适合，若不适合时，则应时是否也适合，若不适合时，则应分段分段写出通项公写出通项公式式由数列的前由数列的前n项和求数列的通项公式的步骤：项和求数列的通项公式的步骤：1、令、令n=1，求，求a1，即，即a1=S1.2、当、当n2
9、时，时，an=Sn-Sn-1.3、验证、验证n=1时，时，an=Sn-Sn-1是否成立是否成立.4、得出结论、得出结论.变式：已知变式：已知数列数列an的前的前n项和为：项和为：Sn=4n2+2(nN*)，则求，则求an解：解：Sn=4n2+2，a1=S1=4+2=6，当当n2时，时，an=Sn-Sn-1=4n2+2-4(n-1)2+2=8n-4，当当n=1时，时，a1=8-4=46不满足不满足.2,4816nnnannnnnTnannSna项和项和的前的前求数列求数列项和项和的前的前、数列、数列例例|,22052322 ,220523|34.035034,7.3401043,10431,10
10、432,10112205123221211211nnSaaaaaaTnanannnanaannSSanSannnnnnnnnnnn 时，时，当当时，时，；当；当时，时，即当即当，得，得由由的通项公式为的通项公式为所以数列所以数列时，也适合上式，时，也适合上式，当当时，时，当当解：解：)35(,3502220523)34(2205233502220523)220523()3422053423(22)()(2)()(|35222223421342136353421353421nnnnnnTnnnnSSaaaaaaaaaaaaaaaaaTnnnnnnn，故故时，时，当当nnnTnaaaa项和项和的前
11、的前求数列求数列中中等差数列等差数列|,12,60,171 练习练习 20,1260212323,20,21232322nnnnnnTn例例3.在等差数列在等差数列an中，已知第中，已知第1项到第项到第10项的和为项的和为310，第，第11项到第项到第20项的和为项的和为910，求第，求第21项到第项到第30项的和。项的和。解：设等差数列的首项为解：设等差数列的首项为a1，公差为，公差为d，由题意，得，由题意，得 即：即：解得：解得：a21=4+206=124，910310102010SSS 910310219202031029101011dada 641da15106291012410302
12、221 aaa从上例中我们发现：从上例中我们发现：S10，S20-S10，S30-S20也成等差也成等差数列，你能得出更一般的结论吗？数列，你能得出更一般的结论吗？等差数列前等差数列前n项和的性质：项和的性质：等差数列中：等差数列中：Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，Snk-S(n-1)k也成等差数列也成等差数列.即等差数列依次每即等差数列依次每k项之和仍成等差数列，其公差项之和仍成等差数列，其公差是是k2d练习：练习：1、等差数列、等差数列an的前的前m项和为项和为30，前，前2m项和为项和为100，则数列的前则数列的前3m项的和为多少？项的和为多少？S3m=2102、等差数列、等差数列a
13、n，S10=10，S20=100，求，求S40S40=520已知两个等差数列已知两个等差数列an,bn，它们的前，它们的前n项项和分别是和分别是Sn,Tn，则，则等差数列前等差数列前n项和的性质：项和的性质：1212 nnnnTSba已知两个等差数列已知两个等差数列an,bn，它们的前，它们的前n项和分别项和分别是是Sn,Tn，若，若.,13288bannTSnn求求 2315练习练习例例1、等差数列、等差数列an中，中，a1=25，S17=S9，问数列前，问数列前多少项之和最大，并求此最大值多少项之和最大，并求此最大值六、等差数列前六、等差数列前n项和的最值问题项和的最值问题16913169
14、)13()2(2)1(25225,289921617172111917项之和最大，最大值是项之和最大，最大值是故前故前从而从而，得得解一：由解一：由 nnnnSdadadaSSn解二：解二：S17=S9，S17-S9=0 即即a10+a11+a17=0.a10+a17=a11+a16=a13+a14.a13+a14=0 a1=250，a130，a140，前前n项之和为项之和为Sn，且且S7=S13，问，问n为何值时为何值时Sn最大？最大？最大最大时，时，即，即，解一：解一：nnSnanannadnnnaSdadadaSS1019100)10(19)20(192)1(01922121313267
15、7121211111137 最大最大即即，解二：解二：10111013711110131210987131370,0,0,0000-11SaadSSaaaaaaaaaSSSS 1、已知等差数列、已知等差数列an中，中，a1=-2,并且并且S3=S7，试求，试求Sn的最小值及此时的的最小值及此时的n的值。的值。练习练习9505950)5(92)10(92920929222942)1(29422222173 项和最小，最小值为项和最小，最小值为时前时前当当得得和和，由，由差为差为解：设该等差数列的公解：设该等差数列的公nnnnnnnnnnnnnSdaSSdn2、已知等差数列、已知等差数列an中，中
16、，a10,并且并且S4=S9，试求，试求Sn的最大值时的最大值时n的值。的值。6或或73、等差数列、等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,已知已知a3=24，S11=0求求(1)数列数列an的通项公式的通项公式 (2)当当n为何值时，为何值时，Sn最大，最大，Sn最大值为多少最大值为多少 ndnaan848)1(1 n=5或或6时时,最大值为最大值为120.练习练习的值的值，求，求设设的值；的值；和和求求设设项和为项和为记前记前的前三项为的前三项为、已知等差数列、已知等差数列141173)2(,2550)1(.,2,4,14 knnknnbbbbnSbkaSSnaaakkbbbbkkkbbb
17、bbnnSbnnnnnSdnnnaSkakkkkkkkdkkkaSaadaaaaaaaaaaakknnnnnk222)44()114()111()17()13(122)1(22)1()2(50,3)(515002550255022)1(22)1(.2282)1(2,2,4,1)1(21411731411732121121231321 ，则则是等差数列是等差数列，所以，所以得得由由，舍去舍去或或，解得，解得即即得得由由，公差，公差，又又由已知得由已知得解：解：裂项法求和裂项法求和nnnnnnTnbaSbaSbnaS项和项和的前的前，求数列，求数列，且，且项和，项和，的前的前是等差数列是等差数列、
18、例例21211115333 12)111(2)111(2)3121(2)2111(2)111(2)1(22)1(1121)14()33(21331)2(3313322331422133153 nnnnnbbbTnnnnbnnSnadadadadadadabdadaSdaadaadaannnnnn，解解得得由由已已知知得得，则则，公公差差为为的的首首项项为为解解：设设 )(1knn)11(1knnk knn1)(1nknk 1342312113423121)2()()()()()1(nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 的两种常见变形：的两种常见变形：一般地，每一项都能拆分为
19、两项的差，累加后能一般地，每一项都能拆分为两项的差，累加后能抵消若干项的数列可用抵消若干项的数列可用裂项求和法裂项求和法求和求和22)111(21)111()3121()211(21)111(212)1(1)1(1)2(20)1)(2(02)12()1(2 nnnnnTnnnnanbnaaanananannnnnnnnn，是正项数列，是正项数列，由于由于得得由由解：解：nnnnnnnnSnbanbananaa项和项和的前的前，求数列，求数列设设的通项公式；的通项公式；求数列求数列满足满足、正项数列、正项数列练习：练习：)1(1)2()1(02)12(12 nnnnnnSnbnabaaaaa项和
20、项和的前的前，求数列，求数列设设的通项公式；的通项公式；求求，中，中，、等差数列、等差数列1)2()1(2429197 .,)13)(23(1,项和求其前且练习：已知数列nnnaann13 nn求通项公式求通项公式1、已知、已知a1=3且且an=Sn-1+2n(n2，nN*)，求，求an和和Sn.122111111112)12(2,2)32(1,32)32(,22)12(21223212122222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnSnnnanSSannSnSSSSSSSSaSSa，时时当当，的等差数列，且的等差数列，且是公差为是公差为，解：解：nnnnnaaSnSa，求
21、，求项和且项和且表示前表示前中，中，、已知在正项数列、已知在正项数列122 12213,112200)2)()12(41)12(412)12(41)12(411221111-1-1-1-21-21-1-21-1-2 naaaaaaaaaaaaaaaaaSSanaaSaaSaSnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn为公差的等差数列为公差的等差数列为首项，为首项，是以是以，时，时，当当，解：解：练习练习nnnnnnnSaaaSnSa及及，求，求项和且项和且表示前表示前中，中，、已知在正项数列、已知在正项数列 221.)2(1)1(.21),2(02211的通项公式的通项公式求求是一个等差数列；是一个等差数列；求证：求证：，且满足，且满足项和项和的前的前、已知数列、已知数列nnnnnnnaSanSSaSna nnnannaaaaa求求，中，中，、在数列、在数列2321324 .132321nnnannaaaaa求求，中中，、在在数数列列 nnnanaaaaa求求，中中，、在在数数列列23215 nnnanaaaaa求求，中，中，、在数列、在数列23216
