1、4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式激趣诱思知识点拨从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亩,增产稻谷3 500亿千克,年增稻谷可养活6 000万人口.这一切都归功于一个人“杂交水稻之父”袁隆平,西方世界称他的杂交水稻是“东方魔稻”,并被认为是解决下个世纪世界性饥饿问题的法宝.袁隆平在培育某水稻新品种时,培育出第一代120粒种子,并且从第一代起,由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子,那么到第5代时大约可以得到这个新品种的多少粒种子?学习了本节内容之后,你就能得到这个问题的答案了.激趣诱思知识点拨一、等比数列一般地,如果一个数列从第2项起,
2、每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q0)表示.名师点析对等比数列定义的理解(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征).(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠倒.(4)等比数列中的任何一项均不能为零.(5)等比数列的公比可以是正数、负数,但不能为零.激趣诱思知识点拨微练习判断下列数列是不是等比数列.如果是,写出其公比q.1,0,1,0,1,0,;1,-4,16,-64,256,.解:不是等
3、比数列;是等比数列,公比为1;是等比数列,公比为 ;不是等比数列;是等比数列,公比为-4.激趣诱思知识点拨二、等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,此时G2=ab.名师点析等比中项概念的理解(1)只有同号的两个实数才有等比中项.(2)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数.激趣诱思知识点拨微练习 A.1B.-1C.1D.2 答案:C 激趣诱思知识点拨三、等比数列的通项公式首项为a1,公比为q的等比数列an的通项公式为an=a1qn-1.名师点析已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的三个,可以求
4、得第四个量.微拓展(1)通项公式an=a1qn-1,q的次数比等号前的项数小1,不能记错.此公式中q的次数可以这样记:次数为等号前面的项an的项数n减去等号后的项a1的项数1.(2)变形公式an=amqn-m,此公式中q的次数也可以这样记:次数为等号前面的项an的项数n减去等号后的项am的项数m.探究一探究二探究三素养形成当堂检测等比数列通项公式的应用等比数列通项公式的应用例1在等比数列an中,求解下列问题:(1)若a2=3,a5=,求an的通项公式;(2)若a2=4,q=2,an=128,求n;(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,求a7.分析:先根据等比数列的通项公式,结合条件列出方程
5、(组)求得a1,q,再解决其他问题.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟等比数列的计算(1)等比数列的基本量是a1和q,很多等比数列问题都可以归结为其基本量的运算问题.解决这类问题时,最核心的思想方法是解方程(组)的方法,即依据题目条件,先根据等比数列的通项公式建立关于a1和q的方程(组),再解方程(组),求得a1和q的值,最后解决其他问题.(2)在等比数列的基本量运算问题中,建立方程(组)进行求解时,要注意运算的技巧性,特别注意整体思想的应用.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1在等比数列an中,a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.探究一
6、探究二探究三素养形成当堂检测等比中项及其应用等比中项及其应用例2(1)已知等比数列的前3项依次为x,2x+2,3x+3,求实数x的值.(2)已知等比数列an,a2a3a4=64,a3+a6=36,求a1和a5的等比中项.分析:(1)可由等比中项的定义建立关于x的方程求解:(2)先求出a1和a5的值,再根据等比中项的定义求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)因为等比数列的前3项依次为x,2x+2,3x+3,所以x(3x+3)=(2x+2)2,解得x=-1或x=-4.又因为当x=-1时,2x+2=3x+3=0不合题意,所以实数x的值为-4.所以a5=a1q4=16.设a1和a5的等比中
7、项为G,则G2=a1a5=16,所以G=4,故a1和a5的等比中项是4.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟等比中项的求解策略1.任意两个实数都有等差中项,且等差中项是唯一的.与等差中项不同,只有同号的两个数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数.2.若a,b,c成等比数列,则必有b2=ac;但若b2=ac,a,b,c不一定成等比数列.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2在等差数列an中,a1=9,公差d=1.若ak是a1和a2k的等比中项,则k=()A.2B.4C.6D.8解析:依题意,得 =a1a2k,即9+(k-1)2=99+(2k-1),整理,得k2-2k-8=0
8、,解得k=4(k=-2舍去).答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测等比数列的判断与证明等比数列的判断与证明例3(1)判断下列数列是否为等比数列.1,3,32,33,3n-1,;-1,1,2,4,8,;a1,a2,a3,an,.(2)已知数列an满足a1=5,an=an-1+1(n2),bn=an-3.求证:bn为等比数列;求an的通项公式.分析:(1)判定等比数列,要抓住3个要点:从第二项起.要判定每一项,不能有例外.每一项与前一项的比是同一个常数,且不能为0.(2)先对给出的等式an=an-1+1进行转化变形,与bn=an-3相结合,得出bn与bn-1的关系,从而判断数列bn是否为等比
9、数列;由bn为等比数列,先求出bn,再根据bn=an-3求出an.探究一探究二探究三素养形成当堂检测(1)解:记数列为an,显然a1=1,a2=3,an=3n-1,.数列为等比数列,且公比为3.记数列为an,显然a1=-1,a2=1,a3=2,当a=0时,数列为0,0,0,是常数列,不是等比数列;当a0时,数列为a1,a2,a3,a4,an,显然此数列为等比数列,且公比为a.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究在本例(2)中,若将条件改为“数列an的前n项和Sn满足Sn=an+1(nN*)”,再求an的通项公式.探究一探
10、究二探究三素养形成当堂检测通项法证明等比数列通项法证明等比数列典例已知数列an是各项均为正数的等差数列,且lg a1,lg a2,lg a4成等差数列,又bn=,n=1,2,3,则数列bn是否为等比数列?分析:先求出数列an的通项公式,再求出数列bn的通项公式,从而判断bn是否为等比数列.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:因为lg a1,lg a2,lg a4成等差数列,所以2lg a2=lg a1+lg a4,即 =a1a4,设an的公差为d,所以(a1+d)2=a1(a1+3d)d2=a1dd=0或d=a1.当d=0时,an为常数列且各项均为正数,所以bn也为常数列且各项均为正数.所以
11、bn为等比数列.当d=a10时,=a1+(2n-1)d=d+2nd-d=2nd=(2d)2n-1,即bn=(2d)2n-1,所以bn为等比数列.综合可知bn为等比数列.方法点睛用通项公式证明一个数列为等比数列时,关键是求出an=a1qn-1这个形式.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.下列数列为等比数列的是()A.0,1,2,4,B.22,42,62,82,C.q-1,(q-1)2,(q-1)3,(q-1)4,答案:D 探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.在等比数列an中,已知a5+a1=34,a5-a1=30,则a3=()A.8B.-8 C.8 D.16解析:由a5+a1=34,a5-a
12、1=30,得a1=2,a5=32,所以公比q4=16,所以q2=4,所以a3=a1q2=24=8.答案:A 3.若等比数列的首项为4,公比为2,则数列中第3项与第5项的等比中项为.解析:a3=422=16,a5=424=64,答案:32 探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.若数列an的前n项和Sn满足Sn=4an+1(nN*),则数列an的通项公式为.探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.若等比数列an的各项均为正数,且前3项依次为1,a+1,2a+5.(1)求该数列的通项公式;(2)判断728是不是该数列中的项.解:(1)依题意,得(a+1)2=2a+5,解得a=2(a=-2舍去).(2)令3n-1=728,解得n=log3 728+1,但log3 728+1N*,所以728不是该数列中的项.
