1、第十二章全等三角形第十二章全等三角形1了解全等形及全等三角形的概念2理解全等三角形的性质重点探究全等三角形的性质难点掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素一、情境导入一位哲人曾经说过：“世界上没有完全相同的叶了”，但是在我们的周围却有着好多形状、大小完全相同的图案你能举出这样的例子吗？二、探究新知1动手做(1)和同桌一起将两本数学课本叠放在一起，观察它们能重合吗？(2)把手中三角板按在纸上，画出三角形，并裁下来，把三角板和纸三角形放在一起，观察它们能够重合吗？得出全等形的概念，进而得出全等三角形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合
2、的两个三角形叫做全等三角形2观察观察ABC与ABC重合的情况总结知识点：对应顶点、对应角、对应边全等的符号：“”，读作：“全等于”如：ABC ABC.3探究(1)在全等三角形中，有没有相等的角、相等的边呢？通过以上探索得出结论：全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等(2)把ABC沿直线BC平移、翻折，绕定点旋转，观察图形的大小形状是否变化得出结论：平移、翻折、旋转只能改变图形的位置，而不能改变图形的大小和形状把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角如ABC和DEF全等，记作ABC DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应
3、顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；A和D，B和E，C和F是对应角三、应用举例例1如图，ADE BCF，AD6 cm，CD5 cm，求BD的长分析：由全等三角形的性质可知，全等三角形的对应边相等，找出对应边即可解：ADE BCF，ADBC.AD6 cm，BC6 cm.又CD5 cm，BDBCCD651(cm)四、巩固练习教材练习第1题教材习题12.1第1题补充题：1全等三角形是()A三个角对应相等的三角形B周长相等的三角形C面积相等的两个三角形D能够完全重合的三角形2下列说法正确的个数是()全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的周长相等；全等三角形的面积相等
4、A1B2C3D43如图，已知ABC DEF，A85，B60，AB8，EF5，求DFE的度数与DE的长补充题答案：1D2D3DFE35，DE8五、小结与作业1全等形及全等三角形的概念2全等三角形的性质作业：教材习题12.1第2，3，4，5，6题本节课通过学生在做模型、画图、动手操作等活动中亲身体验，加深对三角形全等、对应含义的理解，即培养了学生的画图识图能力，又提高了逻辑思维能力1下列各组的两个图形属于全等图形的是()2下列说法中正确的有()用一张底片冲洗出来的10张1寸相片是全等形；我国国旗上的4颗小五角星是全等形；所有的正方形是全等形；全等形的面积一定相等A1个 B2个 C3个 D4个DC3
5、如图，将ABC沿CB方向平移得到DFE，则ABC _，ABC的对应角是 ，C的对应角是 ，BC的对应边是_4如图，将ABC绕点A顺时针方向旋转得到ADE，那么BAC的对应角是_，B的对应角是_，AC的对应边是_，BC的对应边是_DFEDFEDEFFEDAEDAEDE5(习题1变式)如图，ABC DBC，且A和D，ABC和DBC是对应角，请写出三组对应边：，_，另一组对应角：6如图，ABC ABC，则C的度数是()A56 B51 C107 D73AB和DBAC和DCBC和BCACB和DCBD7如图，ABC CDA，AC7 cm，AB5 cm，BC8 cm，则AD的长是()A7 cm B5 cmC
6、8 cm D无法确定8如图，ABC FED，那么下列结论错误的是()AECBD BEFABCDFBD DACFDCC9如图，ABC DEF，B30，A50，BF2，求DFE的度数与EC的长解：在ABC中，ACB1803050100.ABCDEF，DFEACB100，EFBC，ECBF210如图，RtABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到DEF，下列结论中错误的是()AABC DEF BDEF90CACDF DECCF11如图，ADE BDE，若ADC的周长为12，AC的长为5，则CB的长为()A8 B7 C6 D5DB12如图，RtABE RtECD，点B，E，C在同一条直线上，下列结论：A
7、EED；AEDE；BCABCD；ABDC.其中正确的是 13(习题2变式)如图，ABD ACE，写出对应边和对应角，并证明12.解：对应边：AB与AC，AD与AE，BD与CE；对应角：ABD与ACE，AA，ADB与AEC.ABDACE，ADBAEC，1214如图，ABD EBC，AB3 cm，BC5 cm，求DE的长解：ABDEBC，BEAB3 cm，BDBC5 cm，DEBDBE2 cm15如图，已知ABC ADE，其中CAE40，C50，问DE与AC有何位置关系？请说明理由解：DEAC.理由：ECAECCAE504090，AFE90，DEAC方法技能：1找全等三角形的对应元素的方法：(1)
8、在两个全等三角形中最长边对最长边，最短边对最短边，最大角对最大角，最小角对最小角；(2)对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角；(3)重合的边(角)是对应边(角)，公共边(角)是对应边(角)，对顶角是对应角2全等三角形性质的应用：(1)求线段：全等三角形的对应边相等，可直接确定对应边的数量关系，也可间接求相关线段的长度等；(2)求角：全等三角形的对应角相等，可直接确定对应角的数量关系，也可间接求相关角的大小等易错提示：1不能准确确定全等三角形的对应关系2对应关系考虑不全面而出错（1）(2)(3)思考思考每组的两个图形有什么特点?观察观察重合重合能够完全重合的两个图形叫做能够完全重合的两个图
9、形叫做全等形全等形观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？与同伴进行交流。观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？与同伴进行交流。全等图形的特征：全等图形的特征：同一张底片洗出的照片是能够完全重合的同一张底片洗出的照片是能够完全重合的全等形包括全等形包括规则规则图形和图形和不规则不规则图形全等图形全等ABCEDF能够完全重合的能够完全重合的两个三角形两个三角形,叫叫 全等三角形全等三角形.记作记作:A AB BC CD DE EF F读作读作 :ABC全等于全等于DEF注意：书写全等式时要 求把对应顶点字 母放在对应的位 置上。“全等”用符号“”来表示，读作“”全等于全等于ABCD
10、EF互相重合的边叫做对应边互相重合的顶点叫做对应顶点互相重合的角叫做对应角A DB EC FAB与与DEBC与与EFAC与与DFA与与DB与与EC与与F（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）ABCDEF1、全等三角形的对应边相等,2、全等三角形的对应角相等。（已知）（已知）（全等三角形的对应边相等）全等三角形的对应边相等）AB=DE，BC=EF，AC=DFA=D,B=E,C=F全等三角形的性质:ABC DEFABCDEF先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试1：ABC DEFAB=DE,BC=EF,AC=DF.A=D,B=E,C=F.ABCD先写出全等式，再指出它们的对应
11、边和对应角试一试2：ABC ABDAB=AB,BC=BD,AC=AD.BAC=BAD,ABC=ABD C=D.规律一：规律一：有公共边的，公共边是对应边有公共边的，公共边是对应边先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试3：ACODBAOC BODAO=BO,AC=BD,OC=OD.A=B,C=D,AOC=BOD.规律二：规律二：有对顶角的，对顶角是对应角有对顶角的，对顶角是对应角ABCDE先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试4：ABC ADEAB=AD,AC=AE,BC=DEA=A,B=D,ACB=AED.规律三：规律三：有公共角的，公共角是对应角有公共角的，公共角是对应角AB
12、CDE先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试5：ABC DECAB=DE,AC=DC,BC=ECA=D,B=E,ACB=DCE.规律四：规律四：一对最长的边是对应边一对最长的边是对应边 一对最短的边是对应边一对最短的边是对应边ADEBCAFDEFDEFDEFDEFDEFDEFDEFDEFDEFDEFDE先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试6：ABC FDEAB=FD,AC=FE,BC=DEA=F,B=D,ACB=FED.规律五：规律五：一对最大的角是对应角一对最大的角是对应角 一对最小的角是对应角一对最小的角是对应角ODCBAODCBA已知A0B COD 指出图指出图中两三角
13、形的对应边和对应角中两三角形的对应边和对应角已知ABC DCB 指出图指出图中两三角形的对应边和对应角中两三角形的对应边和对应角找一找：请指出下列全等三角形的对应边和对应角找一找：请指出下列全等三角形的对应边和对应角1、ABE ACF对应角是：对应角是：A和和A、ABE和和ACF、AEB和和AFC；对应边；对应边是是AB和和AC、AE和和AF、BE和和CF。2、BCE CBF对应角是：对应角是：BCE和和 CBF、BEC和和CFB、CBE和和 BCF。对应边是：。对应边是：CB和和BC、CE和和BF、CF和和BE。3、BOF COE对应角是对应角是:BOF和和COE、BFO 和和CEO、FOB
14、和和EOC。对应边是：。对应边是：OF和和OE、OB和和OC、BF和和CE。例例1若若DEF ABC,A=70,B=50,点点A的对应点是点的对应点是点D,AB=DE,那么那么F的度数等于（的度数等于（）A.50 B.60 C.50 D.以上都不对以上都不对分析分析:由由A=70,B=50知道知道:C=60,所以所以ABC是不等边三角形是不等边三角形,由由点点A的对应点是的对应点是点点D,AB=DE知道知道:F的对应角是的对应角是C(60)B例例2如图如图,若若OAD OBC,且且O=65,C=20,则则OAD=.ABCDOE分析：由分析：由O=65,C=20知道知道,OBC=95，由由OAD
15、 OBC知：知：OAD=95。95 例例3：如图，若：如图，若ABC AEF,AB=AE,B=E,则下则下列结论：列结论：AC=AF,FAB=EAB,EF=BC,FAC=EAB,其中正确结论的个数是（其中正确结论的个数是（）A.1个个 B.2个个 C.3个个 D.4个个分析：由分析：由ABC AEF和和 B=E知：知：AC=AF.所以所以是正确的。是正确的。AC=AF,FECBAA例例3：如图，若：如图，若ABC AEF,AB=AE,B=E,则下则下列结论：列结论：AC=AF,FAB=EAB,EF=BC,FAC=EAB,其中正确结论的个数是（其中正确结论的个数是（）A.1个个 B.2个个 C.
16、3个个 D.4个个分析分析:由由AB=AE和和AC=AF知知:EF=BC,所以是正所以是正确的。确的。EF=BCFECBA例例3：如图，若：如图，若ABC AEF,AB=AE,B=E,则下则下列结论：列结论：AC=AF,FAB=EAB,EF=BC,FAC=EAB,其中正确结论的个数是（其中正确结论的个数是（）A.1个个 B.2个个 C.3个个 D.4个个分析分析:由由EF=BC知知:BAC=EAF,得得 FAC=EAB,所以所以是正确的。是正确的。FAC=EABFECBA例例3：如图，若：如图，若ABC AEF,AB=AE,B=E,则下则下列结论：列结论：AC=AF,FAB=EAB,EF=BC
17、,FAC=EAB,其中正确结论的个数是（其中正确结论的个数是（）A.1个个 B.2个个 C.3个个 D.4个个FECBA分析分析:因为因为FAC=EAB,要要使使FAB=EAB正确正确,必须有必须有FAC=FAB,而而AF并不是角并不是角平分线平分线,所以不正确。所以不正确。C例例4：如图，已知：如图，已知ABC FED,BC=ED,求求证证:ABEFFECBAD证明证明:ABC FED,BC=ED BC与与ED是对应边是对应边 =,()ABEF将上述证明过程补充完整将上述证明过程补充完整.全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等例例5：如图，已知：如图，已知ABD AEC,B和和E,是对
18、应角是对应角,AB与与AE是对应边是对应边,试说明试说明:BC=DE.ABCDE分析分析:因为因为ABD AEC并并且且B和和E是对应角是对应角,所以所以AD和和AC是对应边是对应边,又因为又因为AB与与AE是对应边是对应边,所以所以BD和和EC是是对应边对应边,即即BD=EC,所以所以BDCD=ECCD,所以所以BC=DE.例例6：如图：如图,已知已知AEF是是ABC绕绕A点顺时针旋转点顺时针旋转55得到的得到的,求求BAE,CAF和和BME的度数的度数.NABCFME解解:因为因为AE和和AF分别是分别是AB和和AC旋转后的位置旋转后的位置,所以所以BAE=CAF=55;又因又因为为AEF
19、 ABC,所以所以B=E,因为因为ANB和和ENM是对顶角是对顶角,所以所以BME=BAE=55;ABCDA+B=C+D例例7：如图：如图,已知已知ABE ACD,且且1=2,B=C,请指出其余的对应边和对应角请指出其余的对应边和对应角.21ABCDEABE ACD2.叫做全等三角形。1.能够重合的两个图形叫做 。全等形全等形4.全等三角形的 和 相等对应边对应边对应角对应角对应顶点对应顶点课课 堂堂 小小 结结 能够重合的两个三角形3.“全等”用符号“”来表示，读作“”对应边对应边对应角对应角5.书写全等式时要求把对应字母放在对应 的位置上全等于全等于 其中：互相重合的顶点叫做互相重合的边叫
20、做互相重合的角叫做寻找对应元素的规律寻找对应元素的规律（1）有公共边的，公共边是对应边；）有公共边的，公共边是对应边；（2）有公共角的，公共角是对应角；）有公共角的，公共角是对应角；（3）有对顶角的，对顶角是对应角；）有对顶角的，对顶角是对应角；（4）两个全等三角形最大的边是对应边，）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边；最小的边是对应边；（5）两个全等三角形最大的角是对应角，）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角；最小的角是对应角；思考一：若你手上有一张长方形纸片，如何是长方形变成两个最大的全等三角形，而总面积又没有 变化？思考二：拓展与延伸 下图是一个等边三角形，你
21、能把它分成两个全等三角形吗？你能把它分成三个全等三角形吗？四个呢？第十二章全等三角形第十二章全等三角形一、全等三角形的概念及其性质全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，重合的点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。全等三角形性质：（1）对应边相等 （2）对应角相等（3）周长相等 （4）面积相等注意：“全等”的记法“”，全等变换：平移、旋转、翻转。例1、已知如图（1），ABC DCB,对应边:_与_,_与_,_与_,对应角:_与_,_与_,_与_.1.请指出图中全等三角形的对应边和对应角2、图中 ABD CDB,则AB=；AD=；BD=；ABD=_ ；ADB=
22、_；A=_ ；CDCBBDCDBCBDCAB与CD、AD与CB、BD与DBABD与CDB、ADB与CBD、A与C有公共边的，公共边是对应边.有公共角的，公共角是对应角.有对顶角的，对顶角是对应角.一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边.一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角.在找全等三角形的对应元素时一般有什么规律？3、如图ABD EBC，AB=3cm,BC=5cm,求DE的长解：ABD EBCAB=EB、BD=BCBD=DE+EBDE=BD-EB =BC-AB =5-3=2cm知识回顾：一般三角形 全等的条件：1.定义（重合）法；2.SSS；3.SAS；4.ASA；5.AAS.直角三
23、角形 全等特有的条件：HL.包括直角三角形不包括其它形状的三角形解题中常用的4种方法证明：在ABC和ADC中 AC=AC AB=AD CB=CD ABC ADC （SSS）BAC=DAC AC平分BAD练习1：如图，AB=AD,CB=CD.求证:AC 平分BADADCB2、如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC,B=C,试问AD=AE吗？为什么？EDCBA解：AD=AE理由：在ACD和ABE中 B=C AB=AC A=A ACD ABE （ASA）AD=AE3、如图，OBAB,OCAC,垂足为B,C,OB=OCAO平分BAC吗？为什么？OCBA答：AO平分BAC理由：OBAB,OCAC B=
24、C=90 在RtABO和RtACO中 OB=OC AO=AO RtABO RtACO （HL）BAO=CAO AO平分BAC 4、如图，AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD 求证：DCAB证明：在ABO和CDO中 OA=OC AOB=COD OB=OD ABO CDO（SAS）A=C DCABAODBC练习5：如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带那块去合适？为什么？BAFEDCBA6、如图，已知ACEF,DEBA,若使ABC EDF,还需要补充的条件可以是 或或或AB=EDAC=EFBC=DFD
25、C=BF7：已知 AC=DB,1=2.求证:A=D21DCBA证明：在ABC和DCB中 AC=DB 1=2 BC=CB ABC DCB （SAS）A=D 8、如图，已知，ABDE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。FEDCBAABF DECCBF FECABC DEF答：9、如图，已知E在AB上，1=2，3=4，那么AC等于AD吗？为什么？4321EDCBA解：AC=AD理由：在EBC和EBD中 1=2 3=4 EB=EB EBC EBD (AAS)BC=BD 在ABC和ABD中 AB=AB 1=2 BC=BD ABC ABD (SAS)AC=AD10、已
26、知，ABC和ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD EDCAB变式：以上条件不变，将ABC绕点C旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论还成立吗？证明：ABC和ECD都是等边三角形 AC=BC DC=EC BCA=DCE=60 BCA+ACE=DCE+ACE即BCE=DCA在ACD和BCE中 AC=BC BCE=DCA DC=EC ACD BCE (SAS)BE=AD分析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等。至于D，因为AD和BC是对应边，因此ADBC。C符合题意。说明：本题的解题关键是要知道中两个全等三角形中，对应顶点定在对应的位置上，易错点是容易找错
27、对应角 。例题精析：连接例题例2如图2，AECF，ADBC，ADCB，求证：ADF CBE 分析：已知ABC A1B1C1，相当于已知它们的对应边相等.在证明过程中，可根据需要，选取其中一部分相等关系.例3已知：如图3，ABC A1B1C1，AD、A1D1分别是ABC和A1B1C1的高.求证：AD=A1D1图3例4：求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。分析：首先要分清题设和结论，然后按要求画出图形，根据题意写出已知求证后，再写出证明过程。例5、如图6，已知：A90，AB=BD，EDBC于 D.求证：AEED 提示：找两个全等三角形，需连结BE.图6例6、如图：AB=AC
28、，BD=CD，若B=28则C=；如图：将纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知1+2=100，则A=度；1.如图1：ABF CDE，B=30，BAE=DCF=20.求EFC的度数.练习题：2、如图2，已知：AD平分BAC，AB=AC，连接BD，CD，并延长相交AC、AB于F、E点则图形中有（）对全等三角形.A、2B、3C4D、5C图1图2（800）3、如图3，已知：ABC中，DF=FE，BD=CE，AFBC于F，则此图中全等三角形共有（）A、5对B、4对C、3对D2对 4、如图4，已知：在ABC中，AD是BC边上的高，AD=BD，DE=DC，延长BE交AC于F，求证：BF是ABC中边上的高
29、.提示：关键证明ADC BFCB5、如图5，已知：AB=CD，AD=CB，O为AC任一点，过O作直线分别交AB、CD的延长线于F、E，求证：E=F.提示：由条件易证ABC CDA 从而得知BACDCA，即：ABCD.知识梳理：1：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？2：全等三角形有哪些性质？3：三角形全等的判定方法有哪些？能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。SSS、SAS
30、、ASA、AAS、HL(RT)总结提高学习全等三角形应注意以下几个问题：（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；（2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”1 1、全等用符号、全等用符号 表示，读作表示，读作：。2 2、若、若 ABCABC DEF DEF，则，则B=B=,BAC=BAC=,BC=,BC=,AC=,AC=.全等于全等于E EEFEFDFDFEDFEDFACB第二题图第二题图判断题判断题1 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（。（）2 2）全等三角形的周长相等。）全等三角形的周长相等。（）3 3）全等三角形的面积不相等。全等三角形的面积不相等。（）X X 1、若、若AOCAOCBODBOD，AC=AABOCD 2、若、若ABDABDACACE E，BD，BDA 3、若若ABCABCCDA,AB=CDA,AB=BACBAC A BCDBDBDB BC CE ECCE EA ACDCDDCADCAA AB BC CD DE E公共点公共点公共角公共角公共边公共边
