1、第二章第二章 有限差分法及热传导的数值计算有限差分法及热传导的数值计算1 求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。近下的积分求解，从而获得分析解。近100100年来年来,对大量几何对大量几何形状及边界条件比较简单的问题获得了分析解形状及边界条件比较简单的问题获得了分析解,但对于工程但对于工程技术中遇到的许多几何形状或边界条件复杂的导热问题技术中遇到的许多几何形状或边界条件复杂的导热问题,由由于数学上的困难目前还无法得出其分析解于数学上的困难目前还无法得出其分析解.随着计算机技术随着计算机技术的迅速发展，并得到日益
2、广泛的应用的迅速发展，并得到日益广泛的应用.对物理问题进行离散对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，这些数值解法主要有以求解的数值方法发展得十分迅速，这些数值解法主要有以下几种：下几种：（1 1）有限差分法）有限差分法 （2 2）有限元方法）有限元方法 （3 3）边界元方法）边界元方法 2 数值解法的实质数值解法的实质 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代
3、替，通过求解按一定方法建立起来的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。量的值。该方法称为数值解法。这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。量的数值解。3 理论解 在规定的边界条件下积分，有很大局限性；数值解 借助计算机，前景广阔。1.有限差分法原理（连续的问题 离散的问题）以有限差分 无限微分 无限划分 实质 达到精度 以差分代数方程 微分方程 计算机帮助 （当离散点足够多时可以满足要求）xtdxdt4建立控制方程及定解条
4、件建立控制方程及定解条件确定节点（确定节点（区域离散化区域离散化）建立节点物理量的代数方程建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值设立温度场的迭代初值求解代数方程求解代数方程是否是否收敛收敛解的分析解的分析改进初场改进初场是是否否物理物理问题的数值求解过程问题的数值求解过程5 下面先对稳态导热问题中位于计算区域内部的节点(简称内节点)介绍其离散方程的建立方法，而位于边界上的节点及非稳态导热中的非稳态项的离散将在以后讨论。为讨论方便，把如图中的节点(m，n)及其邻点取出并放大，如图所示。图4-3 内节点离散方程的建立6（b b）xyxynm(m,n)MN基本概念：控制单元、网格划分、节点、基
5、本概念：控制单元、网格划分、节点、边界、步长等边界、步长等二维矩二维矩形域内形域内稳态稳态、常物性常物性的导热的导热问题问题7 下面以一个二维导热问题为例进行分析(有限差分法有限差分法)：把一个二维物体在X及Y方向上分别以 及 距离分割成矩形网格。则其中节点（m，n)的坐标为：X=m ,Y=n ,其余节点类推。（举例）三种基本差分格式：以节点(m，n)为例（1）向前差分：（2）向后差分：（3）中心差分：XYXYyttytxttxtnmnmnmnmnmnm,1,1,yttytxttxtnmnmnmnmnmnm1,1,yttytxttxtnmnmnmnmnmnm2/1,2/1,2/1,2/1,8对
6、无内热源、稳态、二阶导热微分方程，有：用中心差分格式因为：所以：02222ytxtxttxtxttxtnmnmnmnmnmnm,1,2/1,1,2/1,yttytyttytnmnmnmnmnmnm1,2/1,1,2/1,2,1,1,2/1,2/1,22)(2xtttxxtxtxtnmnmnmnmnmnm21,1,2/1,2/1,22)(2ytttyytytytnmnmnmnmnmnm92222ytxt2,1,1)(2xtttnmnmnm21,1,)(2ytttnmnmnm 最终得：最终得：如果取正方形网格，即取如果取正方形网格，即取 ，则上式为：，则上式为：t tm+1,nm+1,n+t+tm
7、-1,nm-1,n+t+tm,n+1m,n+1+t+tm,n-1m,n-1-4t-4tm,nm,n=0=0 上式说明：在导热系数为常量时，热量的转移可用温度差来表达；上式说明：在导热系数为常量时，热量的转移可用温度差来表达；在稳态下，流向任何节点的热量的总和必须为零。在稳态下，流向任何节点的热量的总和必须为零。对于对于每个节点写出上式，然后联立求解方程组每个节点写出上式，然后联立求解方程组，即可求解。，即可求解。（如边界温度已知，可逐步递推求解）（如边界温度已知，可逐步递推求解）yx10泰勒级数展开法泰勒级数展开法根据泰勒级数展开式，用节点根据泰勒级数展开式，用节点(m,nm,n)的温度的温度
8、t tm,nm,n来表示节点来表示节点(m+1,nm+1,n)而温度而温度t tm+1,nm+1,n用节点用节点(m,n)(m,n)的温度的温度t tm,nm,n来表示节点来表示节点(m-1,n)(m-1,n)的的温度温度t tm-1,nm-1,n2233441,234,2624mnmnmnmnmntxtxtxtttxxxxx223341,234,42624mnmnmnmnmntxtxtxtttxxxxx11将上两式相加可得将上两式相加可得24421,1,24,212mnmnm nm ntxttttxxx22,mntx将上式改写成将上式改写成 的表达式，有的表达式，有)(222,1,1,22x
9、oxtttxtnmnmnmnm)(2221,1,22yoytttytnmnmnmnm同样可得：同样可得：表示未明确写出的表示未明确写出的级数余项中的级数余项中的X X的最低阶数为的最低阶数为2 212 根据导热问题的控制方程根据导热问题的控制方程 (导热微分方程导热微分方程 )1,1,1,122220mnmnmnmnmnmnttttttxy若若 x=x=y y 则有则有,1,1,1,11()4m nmnmnm nm nttttt22220ttxy得得13xy14如图所示如图所示 边界节点边界节点 (m,n)(m,n)只能代表半个元体，若边界上有向只能代表半个元体，若边界上有向该元体传递的热流密
10、度为该元体传递的热流密度为q q，据能量守恒定律对该元体有：，据能量守恒定律对该元体有：1.1.边界节点离散方程的建立：边界节点离散方程的建立：(1)(1)平直边界上的节点平直边界上的节点1,1,1,2022mnm nm nm nm nm nm nwttttxyxyttxxyyqy yx2,1,1,12124m nwm nmnm nm nx xqtttt傅里叶定律15(2)(2)外部角点外部角点2,1,12122m nwm nmnm nx xqttt1,1,22042mnm nm nm nm nwttttyxxyx yxyq yx如图所示，二维墙角计算区域中，该节点外角点仅代表如图所示，二维墙
11、角计算区域中，该节点外角点仅代表 1/4 1/4 个以个以 为边长的元体。假设边界上有向该元体传递的热为边长的元体。假设边界上有向该元体传递的热流密度为流密度为 ，则据能量守恒定律得其热平衡式为：，则据能量守恒定律得其热平衡式为：xy、wq16xyqw17(3)(3)内部角点内部角点22,1,1,11,213(22)62wm nmnm nm nmnx qxttttt1,1,1,1,230242mnm nm nm nm nm nmnm nm nwttttttxyxxyyttyx yxyqx yx如图所示内部角点代表了如图所示内部角点代表了 3/4 3/4 个元体，在同样的假设条件个元体，在同样的
12、假设条件下有下有18xyqw19讨论关于边界热流密度的三种情况：讨论关于边界热流密度的三种情况：（1 1）绝热边界）绝热边界即令上式即令上式 即可。即可。0wq（2 2）值不为零值不为零wq流入元体，流入元体，取正，流出元体，取正，流出元体，取负使用上取负使用上述公式述公式 wqwq（3 3）对流边界）对流边界此时此时 ，将此表达式代入上述方程，并将此，将此表达式代入上述方程，并将此项中的项中的 与等号前的与等号前的 合并。对于合并。对于 的情的情形有形有)(,nmfwtthq,m nt,m ntxy 20 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、心、肺、肾等多脏器严重损害的，全身性疾病，而且不少患者同时
13、伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如下：1、早期皮肌炎患者，还往往伴有全身不适症状，如-全身肌肉酸痛，软弱无力，上楼梯时感觉两腿费力；举手梳理头发时，举高手臂很吃力；抬头转头缓慢而费力。皮肌炎图片皮肌炎的症状表现（a a）平直边界）平直边界（b b）外部角点）外部角点（c c）内部角点）内部角点2,1,1,12222m nm nmnm nm nfh xxh xttttt2,1,12212m nm nmnm nfh xxh xtttt2,1,11,1322322m nm nmnm nmnm nfh xxh xtttttt222.2.代数方程的求解方法代数方程的求解方法 2 2）迭代法：迭代法：先对要计
14、算的场作出假设（设先对要计算的场作出假设（设定初场），在迭代计算中不断予以改进，直定初场），在迭代计算中不断予以改进，直到计算前的假定值与计算结果相差小于允许到计算前的假定值与计算结果相差小于允许值为止的方法，称迭代计算收敛。值为止的方法，称迭代计算收敛。1 1）直接解法直接解法：通过有限次运算获得精确通过有限次运算获得精确解的方法，如：矩阵求解，高斯消元法。解的方法，如：矩阵求解，高斯消元法。23 迭代法目前应用较多的是：迭代法目前应用较多的是：1 1）高斯）高斯赛德尔迭代法：赛德尔迭代法：每次迭代计算，每次迭代计算，均是使用节点温度的最新值。均是使用节点温度的最新值。2 2）用雅可比迭代法
15、：）用雅可比迭代法：每次迭代计算，均用每次迭代计算，均用上一次迭代计算出的值。上一次迭代计算出的值。24设有一三元方程组设有一三元方程组：11 112 213 3121 122 223 3231 132 233 33a ta ta tba ta ta tba ta ta tb其中其中 （i=1,2,3 i=1,2,3；j=1,2,3 j=1,2,3）及）及 是已是已知的系数（均不为零）及常数。知的系数（均不为零）及常数。,i jaib25采用高斯采用高斯赛德尔迭代法的步骤：赛德尔迭代法的步骤：（1 1）将三元方程变形为迭式方程：）将三元方程变形为迭式方程：1112 213 3112221 12
16、3 3223331 132 2331()1()1()tba ta tatba ta tatba ta ta26（2 2）假设一组解（迭代初场），记为）假设一组解（迭代初场），记为：并代入迭代方程求得第一并代入迭代方程求得第一 次解次解 每次计算均用每次计算均用最新值最新值代入。代入。(0)(0)(0)123ttt、(1)(1)(1)123ttt、（3 3）以新的初场）以新的初场 重复计算，直到相邻两重复计算，直到相邻两次迭代值之差小于允许值，则称迭代收敛，次迭代值之差小于允许值，则称迭代收敛，计算终止。计算终止。27判断迭代是否收敛的准则：判断迭代是否收敛的准则：)(max)()1()()()
17、1()()1(maxmaxmaxkkikikikikikikittttttttk k及及k+1k+1表示迭代次数；表示迭代次数；第第k k次迭代得到的最大值次迭代得到的最大值(k)maxt当有接近于零的当有接近于零的t t 时，第三个较好时，第三个较好36 1010 允许的偏差；相对偏差 值一般取迭代过程结束28说明：说明：1 1）对于一个代数方程组，若选用的迭代方）对于一个代数方程组，若选用的迭代方式不合适，有可能导致发散，即称式不合适，有可能导致发散，即称迭代过程迭代过程发散发散；2 2）对于常物性导热问题，组成的差分方程）对于常物性导热问题，组成的差分方程组，迭代公式的选择应使一个迭代变
18、量的系组，迭代公式的选择应使一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对值的代数和，此时，结果一定收敛。值的代数和，此时，结果一定收敛。293 3）采用热平衡法导出差分方程时，若每一）采用热平衡法导出差分方程时，若每一个方程都选用导出该方程中心节点的温度个方程都选用导出该方程中心节点的温度作为迭代变量，则上述条件必满足，迭代作为迭代变量，则上述条件必满足，迭代一定收敛。一定收敛。121321233132112233111aaaaaaaaa，这一这一条件条件数学上称主对角线占优（对角占数学上称主对角线占优（对角占优）；优）；30 当计算区域中出现曲
19、线边界或倾斜的边界时，常常用阶当计算区域中出现曲线边界或倾斜的边界时，常常用阶梯形的梯形的折线折线来模拟真实边界，然后再用上述方法建立起边界来模拟真实边界，然后再用上述方法建立起边界节点的离散方程。例如，如要用数值方法确定如图节点的离散方程。例如，如要用数值方法确定如图4-6a4-6a所示所示二维区域的形状因子，显然，根据对称性我们只要考虑四分二维区域的形状因子，显然，根据对称性我们只要考虑四分之一的计算区域即可。图之一的计算区域即可。图4-6a4-6a中的内圆边界可以来用图中的内圆边界可以来用图4-6b4-6b所示的阶梯形的折线边界来近似。只要网格取得足够密，这所示的阶梯形的折线边界来近似。
20、只要网格取得足够密，这种近似处理方法仍能获得相当准确的结果。处理不规则边界种近似处理方法仍能获得相当准确的结果。处理不规则边界的更好的方法要用到坐标变换，这里不做介绍。的更好的方法要用到坐标变换，这里不做介绍。图4-6 不规则区域的处理312.4 2.4 非稳态导热问题的数值解法非稳态导热问题的数值解法 非稳态导热与稳态导热的主要差别在于控制方程中多了一个非稳态项，而其中扩散项的离散方法与稳态导热是一样的。因此，本节讨论重点将放在非稳态项的离散以及扩散项离散时所取时间层的不同对计算带来的影响上。1.1.泰勒展开法泰勒展开法 首先以一维非稳态导热为例讨论时间空间区域的离散化。如图4-8所示，x为
21、空间坐标，我们将计算区域划分为(N-1)等份，得到N个空间节点；为时间坐标，我们将时间坐标上的计算区域划分为(I-1)等份，得到I个时间节点。从一个时间层到下一个时间层的间隔称为时间步长。空间网格线与时间网格线的交点，如(n，i)，代表了时间空间区域中的一个节点的位置，相应的温度记为tn(i)。非稳态项 的离散有三种不同的格式。如果将函数在节点(n，i+1)对点(n，i)作泰勒展开，可有32于是有33 由式(b)可得在点(n，i)处一阶导数的一种差分表示式,的向前差分:类似地，将t在点(n，i-1)对点(n，i)作泰勒展开，可得 的向后差分的表达式：如果将t在点(n，i+1)及(n，i-1)处
22、的展开式相加，则可得一阶导数的中心差分的表达式：在非稳态导热问题的数值计算中，非稳态项的上述三种差分格式都有人采用，本书主要采用向前差分的格式，但也简单介绍了向后差分的格式。34 至此，对于形如式(3-10)所示的一维非稳态导热方程，如扩散项取中心差分，非稳态项取向前差分，则有 此式可进一步改写为 求解非稳态导热方程就是从已知的初始温度分布出发，根据边界条件依次求得以后各个时间层上的温度值，式(4-14b)是对平板中各内点进行这种计算的公式。由该式可见，一旦i层上各节点的温度已知，可立即算出(i+1)时层上各内点的温度，而不必求解联立方程，因而式(4-14)所代表的计算格式称为显式差分格式。显
23、式的优点是计算工作量小，缺点是对时间步长及空间步长有一定的限制，否则会出现不合理的结果。35 如果把式(4-14a)中的扩散项也用(i+1)时层上的值来表示，则有 式中已知的是i时层的值tn(i)，而未知量有3个，因此不能直接由上式立即算出tn(i+1)之值，而必须求解(i+1)时层的一个联立方程才能得出(i十1)时层各节点的温度，因而式(4-15)称为隐式差分格式。从时空坐标系中的节点(n，i+1)来看，式(4-15)的左端是非稳态项的一种向后差分。隐式格式的缺点是计算工作量大，但它对步长没有限制，不会出现解的振荡现象。以上是将一维非稳态导热方程中的两个导数项用相应的差分表示式代替而建立差分
24、方程的，这种方法称为泰勒展开法。362.2.热平衡法热平衡法 这种方法不受网格是否均分及物性是否为常数等限制，是更为一般的方法。图4-9示出了一无限大平板的右面部，其右侧面受到周围流体的冷却，表面传热系数为h。此时边界节点N代表宽度为x/2的元体(图中有阴影线的部分)。对该元体应用能量守恒定律可得经整理得一维非稳态导热37 式中 是以x特征长度的傅里叶数，称为网格傅里叶数，一项可作如下变化：式中Fo及Bi分别为网格傅里叶数及网格毕渥数。于是式(4-16b)又可改写为 至此，我们可以把第三类边界条件下、厚度为2的无限大平板的数值计算问题作一归纳。由于问题的对称性，只要求解一半厚度即可。设将计算区
25、域等分为N-1等份(N个节点，见图4-10)，节点1为绝热的对称面，节点N为对流边界，则与微分形式的数学描写相对应的离散形式为3839 其中式(4-20)是绝热边界的一种离散方式，在确定t1(i+1)之值时需要用到t-1(i)。根据对称性该值等于t2(i)。这样，从已知的初始分布t0出发，利用式(4-17)及(4-19)可以依次求得第二时层、第三时层直到 i 时层上的温度值(见图4-8)。至于空间步长x及时间步长的选取，原则上步长越小，计算结果越接近于精确解，但所需的计算机内存及计算时间则大大增加。此外，x及之间的关系还受到显式格式稳定性的影响。下面我们从离散方程的结构来分析，说明稳定性限制的
26、物理意义。式(4-17)的物理意义是很明确的。该式表明，点n上i+l时刻的温度是在该点i时刻温度的基础上计及了左右两邻点温度的影响后得出的。假如两邻点的影响保持不变，合理的情况是：i时刻点n的温度越高，则其相继时刻的温度也较高；反之，i时刻点n的温度越低，则其相继时刻的温度也较低。在差分方程中要满足这种合理性是有条件的，即式(4-17)中tn(i)前的系数必须大于或等于零。如用判别式表示，则为必须保证40 否则将会出现十分不合理的情况。式(4-21)是从一维问题显式格式的内节点方程得出的限制条件。同样的讨论还可以对显式格式的对流边界节点方程式(4-19)进行。显然，为了得出合理的解应有 显然，这一要求比内点的限制还要苛刻。当由边界条件及内节点的稳定性条件得出的Fo不同时，应以较小的Fo为依据来确定所允许采用的时间步长。当然，对第一类或第二类边界条件的问题，则只有内点的限制条件。即 41 小结小结：1.1.导热问题数值求解的基本思想导热问题数值求解的基本思想基本概念基本概念：2.2.有限差分法有限差分法 基本原理基本原理：42
