1、机器人学机器人学王扬威王扬威办公室：办公室：15-B41215-B412wangywnuaa.edu2022-11-261.3 机器人的组成和构型机器人的组成和构型机器人的组成机器人的组成 机器人是一个机电一体化的设备。从控制观点来看，机器机器人是一个机电一体化的设备。从控制观点来看，机器人系统可以分成四大部分：机器人执行机构、驱动装置、人系统可以分成四大部分：机器人执行机构、驱动装置、控制系统、感知反馈系统。控制系统、感知反馈系统。机机 器器 人人执行机构执行机构驱动装置驱动装置控制系统控制系统感知系统感知系统 基基 座座（固定或移动）（固定或移动）手部手部腕部腕部臂部臂部肩部肩部电驱动装置
2、电驱动装置液压驱动装置液压驱动装置气压驱动装置气压驱动装置处理器处理器关节伺服控制器关节伺服控制器内部传感器内部传感器外部传感器外部传感器2022-11-261.3 机器人的组成和构型机器人的组成和构型一、执行机构一、执行机构 包括：手部、腕部、臂部、肩部和基座等。相当于人的肢体。包括：手部、腕部、臂部、肩部和基座等。相当于人的肢体。二、驱动装置二、驱动装置 包括：驱动源、传动机构等。相当于人的肌肉、筋络。包括：驱动源、传动机构等。相当于人的肌肉、筋络。三、感知反馈系统三、感知反馈系统 包括：内部信息传感器，检测位置、速度等信息；外部信息传感器，检测包括：内部信息传感器，检测位置、速度等信息；
3、外部信息传感器，检测机器人所处的环境信息。相当于人的感官和神经。机器人所处的环境信息。相当于人的感官和神经。四、控制系统四、控制系统 包括：处理器及关节伺服控制器等，进行任务及信息处理，并给出控制信包括：处理器及关节伺服控制器等，进行任务及信息处理，并给出控制信号。相当于人的大脑和小脑。号。相当于人的大脑和小脑。内部传感器内部传感器（位形检测）（位形检测）控制系统控制系统驱动驱动装置装置执行执行机构机构工作对象工作对象外部传感器（外部传感器（环境检测）环境检测）1处理器处理器关节控制器关节控制器2022-11-261.3 机器人的组成和构型机器人的组成和构型 液压式液压式具有大的抓举能力，结构
4、紧凑，动作平稳，耐冲击；但要求液压元件有较高的制造精度，密封性能。气动式气动式气源方便，动作迅速，结构简单，造价较低；但难以进行速度控制，抓紧能力较低。电动式电动式电源方便，响应快，驱动力较大，可以采用多种灵活的控制方案。机器人的执行机构的驱动方式机器人的执行机构的驱动方式2022-11-261.3 机器人的组成和构型机器人的组成和构型最常见的构型是用其坐标特性来描述的。最常见的构型是用其坐标特性来描述的。一、工业机器人一、工业机器人（操作臂（操作臂 1、直角坐标型、直角坐标型(3P)结构、控制算法简单，定位精度高；但工作空间较小，结构、控制算法简单，定位精度高；但工作空间较小，占地面积大，惯
5、性大，灵活性差。占地面积大，惯性大，灵活性差。机器人的构型机器人的构型2022-11-261.3 机器人的组成和构型机器人的组成和构型2、圆柱坐标型、圆柱坐标型(R2P)结构简单紧凑，运动直观，结构简单紧凑，运动直观，其运动耦合性较弱，控制也较其运动耦合性较弱，控制也较简单，运动灵活性稍好。但自身占据空间也较大，简单，运动灵活性稍好。但自身占据空间也较大，但转动但转动惯量较大，定位精度相对较低惯量较大，定位精度相对较低。圆柱坐标型机器人模型圆柱坐标型机器人模型Verstran 机器人机器人Verstran 机器人机器人2022-11-261.3 机器人的组成和构型机器人的组成和构型3、极坐标型
6、（也称球面坐标型）、极坐标型（也称球面坐标型）(2RP)有较大的作业空间，结构紧凑较复杂，定位精度较低。有较大的作业空间，结构紧凑较复杂，定位精度较低。极坐标型机器人模型极坐标型机器人模型Unimate Unimate 机器人机器人2022-11-261.3 机器人的组成和构型机器人的组成和构型4、关节坐标型、关节坐标型(3R)对作业的适应性好，工作空间大，工作灵活，结构紧凑，对作业的适应性好，工作空间大，工作灵活，结构紧凑，通用性强，但坐标计算和控制较复杂，难以达到高精度。通用性强，但坐标计算和控制较复杂，难以达到高精度。关节型搬运机器人关节型搬运机器人关节型焊接机器人关节型焊接机器人关节型
7、机器人模型关节型机器人模型2022-11-261.3 机器人的组成和构型机器人的组成和构型5、平面关节型、平面关节型(Selective Compliance Assembly Robot Arm，简称SCARA)仅平面运动有耦合性，控制较通用关节型简单。运动灵活仅平面运动有耦合性，控制较通用关节型简单。运动灵活性更好，性更好，速度快，定位精度高，速度快，定位精度高，铅垂平面刚性好铅垂平面刚性好，适于装，适于装配作业。配作业。SCARA型装配机器人型装配机器人2022-11-261.3 机器人的组成和构型机器人的组成和构型仿生型仿生型 自由度一般较多，具有更强的适应性和灵活性，但控制更自由度一
8、般较多，具有更强的适应性和灵活性，但控制更复杂，成本更高，刚性较差。复杂，成本更高，刚性较差。类人型机器人类人型机器人仿狗机器人仿狗机器人蛇形机器人蛇形机器人 二、特种机器人二、特种机器人 2022-11-261.3 机器人的组成和构型机器人的组成和构型六轮漫游机器人六轮漫游机器人仿鱼机器人仿鱼机器人仿鸟机器人仿鸟机器人六足漫游机器人六足漫游机器人2022-11-261.4 机器人的规格指标机器人的规格指标 自由度数自由度数 衡量机器人适应性和灵活性的重要指标，一般衡量机器人适应性和灵活性的重要指标，一般等于机器人的关节数。机器人所需要的自由度数决定与其等于机器人的关节数。机器人所需要的自由度
9、数决定与其作业任务。作业任务。负荷能力负荷能力 机器人在满足其它性能要求的前提下，能够承机器人在满足其它性能要求的前提下，能够承载的负荷重量。载的负荷重量。工作空间（运动范围）工作空间（运动范围）机器人在其工作区域内可以达到机器人在其工作区域内可以达到的最大距离。它是机器人关节长度和其构型的函数。的最大距离。它是机器人关节长度和其构型的函数。精度精度 指机器人到达指定点的精确程度。它与机器人驱动指机器人到达指定点的精确程度。它与机器人驱动器的分辨率及反馈装置有关。器的分辨率及反馈装置有关。重复精度重复精度 指机器人重复到达同样位置的精确程度。它不指机器人重复到达同样位置的精确程度。它不仅与机器
10、人驱动器的分辨率及反馈装置有关，还与传动机仅与机器人驱动器的分辨率及反馈装置有关，还与传动机构的精度及机器人的动态性能有关。构的精度及机器人的动态性能有关。2022-11-261.4 机器人的规格指标机器人的规格指标 控制模式控制模式 引导或点到点示教模式；连续轨迹示教模式；软引导或点到点示教模式；连续轨迹示教模式；软件编程模式；自主模式。件编程模式；自主模式。运动速度运动速度 单关节速度；合成速度。单关节速度；合成速度。其它动态特性其它动态特性 如稳定性、柔顺性等。如稳定性、柔顺性等。2022-11-26小小 结结 机器人、机器人学的定义机器人、机器人学的定义 机器人的分类机器人的分类 机器
11、人的组成和构型方式及特点机器人的组成和构型方式及特点 机器人的规格指标机器人的规格指标主要内容主要内容机器人学机器人学是一门迅速发展的综合性的前沿学科。它综合运用了机构学是一门迅速发展的综合性的前沿学科。它综合运用了机构学 、机械、机械设计、自动控制设计、自动控制 、计算机技术、计算机技术 、传感技术、力学、传感技术、力学 、电气液压传动、人工智能等学、电气液压传动、人工智能等学科的最新成就。其特点之一是综合、交叉，涉及的领域广泛；另一特点是发展迅速、科的最新成就。其特点之一是综合、交叉，涉及的领域广泛；另一特点是发展迅速、日新月异，尚待研究的问题层出不穷。日新月异，尚待研究的问题层出不穷。2
12、022-11-26目目 录录2.1齐次坐标齐次坐标2.2刚体位姿描述刚体位姿描述2.3 齐次坐标变换与变换矩阵齐次坐标变换与变换矩阵2.4齐次变换矩阵运算齐次变换矩阵运算2.5变换方程变换方程2.6欧拉角与欧拉角与RPYRPY角角第二章第二章 位姿描述和齐次变换位姿描述和齐次变换2022-11-26引引 言言 机器人的位置和姿态描述：机器人的位置和姿态描述：u 机器人一端固定，另一端是用于安装末端执行器（如手爪）的自由端机器人一端固定，另一端是用于安装末端执行器（如手爪）的自由端u 机器人由机器人由N N个转动或移动关节串联而成一个开环空间尺寸链个转动或移动关节串联而成一个开环空间尺寸链u 机
13、器人各关节坐标系之间的关系可用齐次变换来描述机器人各关节坐标系之间的关系可用齐次变换来描述inoa 机器人（机器人（机械手机械手）末端执行器相对于固）末端执行器相对于固定参考坐标系的空间几何描述（即机器定参考坐标系的空间几何描述（即机器人的运动学问题）是机器人动力学分析人的运动学问题）是机器人动力学分析和轨迹控制等相关研究的基础和轨迹控制等相关研究的基础 机器人的运动学即是研究机器人手臂末机器人的运动学即是研究机器人手臂末端执行器位置和姿态与关节变量空间之端执行器位置和姿态与关节变量空间之间的关系间的关系2022-11-26引引 言言 丹纳维特（Denavit）和哈顿贝格（Hartenberg
14、）于1955年提出了一种矩阵代数方法解决机器人的运动学问题 D-H方法 其数学基础即是齐次变换 具有直观的几何意义，广泛应用于动力学、控制算法等方面的研究运动学研究运动学研究运动学正问题运动学正问题运动学逆问题运动学逆问题手在手在哪哪里？里？手手怎么怎么放那放那里？里？2022-11-262.1 齐次坐标齐次坐标位置描述：位置矢量位置描述：位置矢量(position vector)(position vector)空间任意一点空间任意一点 p p 的位置可表示为：的位置可表示为：矩阵表示矢量和表示矢量的模xyzop(x,y,z)xyz pxiyjzk p222xyzp1p，单位矢量2022-1
15、1-262.1 齐次坐标齐次坐标点的齐次坐标点的齐次坐标一般来说，n 维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间实体。有一个特定的投影附加于 n 维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的特定坐标 比例系数。T xyPx y z wzw 式中式中i,j,k为为x,y,z 轴上的单位矢量，轴上的单位矢量，a=,b=,c=，w为比例系数为比例系数 wxwywz齐次坐标表达并不是唯一的，随齐次坐标表达并不是唯一的，随w值的值的不同而不同。在计算机图学中，不同而不同。在计算机图学中，w 作为作为通用比例因子，它可取任意正值，但在通用比例因子，它可取任意正值，但在机器人的运动分析中，总是取机器人的运动分
16、析中，总是取w=1。列矩阵列矩阵Paib jck 2022-11-262.1 齐次坐标齐次坐标xAyAzAoApAp1AAAAxyzp直角坐标系A,P点的齐次坐标：点的齐次坐标点的齐次坐标 几个特定意义的齐次坐标：几个特定意义的齐次坐标：0,0,0,nT 坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数 1 0 0 0T 指向无穷远处的OX轴0 1 0 0T 指向无穷远处的OY轴 0 0 1 0T 指向无穷远处的OZ轴 2022-11-262.2 刚体位姿描述刚体位姿描述接近矢量 a approach方位矢量 o orientation法向矢量 n normal,BBBn o aijk等价于 手爪
17、坐标系手爪坐标系2022-11-26oABpoABp位置描述位置描述2.2 刚体位姿描述刚体位姿描述oABoAABoBoABxPyz2022-11-26自由度自由度 (DOF,Degree of freedom)：物体能够相对坐标系进行独立运动的数目称为自由度。刚体的自由度数目：刚体的自由度数目：三个平移自由度 T1,T2,T3 三个旋转自由度 R1,R2,R3YXZT1T2T3R1R2R3位置描述位置描述2.2 刚体位姿描述刚体位姿描述2022-11-26利用固定于物体的坐标系描述方位利用固定于物体的坐标系描述方位(orientation)。方位又称为姿态。方位又称为姿态(pose)。方位描
18、述方位描述2.2 刚体位姿描述刚体位姿描述 在刚体在刚体B上设置直角坐标系上设置直角坐标系B，利用与，利用与B的坐标轴平行的的坐标轴平行的三个单位矢量表示三个单位矢量表示B的姿态。的姿态。坐标系坐标系B的三个单位主矢量在坐标系的三个单位主矢量在坐标系A中的描述：中的描述：,AAABBBijk坐标系坐标系B相对于坐标系相对于坐标系A的姿态描述：的姿态描述：,AAAABBBBR ijk2022-11-26111213212223313233,AAAABBBBrrrRrrrrrrijkABR 表示刚体B相对于坐标系A的姿态。112131122232132333ABABABr ir jr kr ir
19、jr kr ir jr kijk刚体B与坐标系B固接姿态矩阵（旋转矩阵）姿态矩阵（旋转矩阵）2.2 刚体位姿描述刚体位姿描述9个参量，自由度？个参量，自由度？2022-11-260 0 0AAAAAABBBBBBijjkki1 ,1RRRRABTABABBA旋转变换的逆等于其转置旋转变换的逆等于其转置krrrrjrrrrirrrrrrrrrrkjiyxrrrrrryxBABABABA)()()(2112221132113112312232213222123121113231222112111 1 1AAAAAABBBBBBiijjkk旋转矩阵中的旋转矩阵中的9个元素只有个元素只有3个独立变量，
20、它满足正交条件个独立变量，它满足正交条件姿态矩阵（旋转矩阵）姿态矩阵（旋转矩阵）2.2 刚体位姿描述刚体位姿描述2022-11-26相对于参考坐标系相对于参考坐标系A，坐标系，坐标系B的原点位置和坐标轴的方位可以由的原点位置和坐标轴的方位可以由位置矢量和旋转矩阵描述。刚体位置矢量和旋转矩阵描述。刚体B在参考坐标系在参考坐标系A中的位姿利用坐标中的位姿利用坐标系系B描述。描述。oAABBBRpIRAB0oABp位置与姿态的表示位置与姿态的表示2.2 刚体位姿描述刚体位姿描述2022-11-26平移坐标变换：平移坐标变换：在坐标系在坐标系B中的位置矢量中的位置矢量Bp在坐标系在坐标系A中的表示可由
21、矢量中的表示可由矢量相加获得。相加获得。ABABpppxAyAzAoAApxByBzBoBBpABApBxAzAoABpAoAxBzByAyBpRpBABApRpRpATABABAB旋转坐标变换：旋转坐标变换：坐标系坐标系BB与坐标系与坐标系AA原点原点相同，则相同，则p p点在两个坐标系中点在两个坐标系中的描述具有下列关系：的描述具有下列关系：2.3 齐次变换与齐次变换矩阵齐次变换与齐次变换矩阵一般变换一般变换2022-11-26分别绕分别绕x,y,zx,y,z轴的旋转变换轴的旋转变换(基本旋转变换基本旋转变换)：任何旋转变换可以由有限任何旋转变换可以由有限个基本旋转变换合成得到。个基本旋转
22、变换合成得到。100(,)00R xcssc(,)ABR xpp2.3 齐次变换与齐次变换矩阵齐次变换与齐次变换矩阵基本旋转变换基本旋转变换yByAxBzBoABpBxAzAAP,00100),(csscyR10000),(cssczR2022-11-26ACAABACBBpppRppAABABBpRppyCxAyAzAoAApxByBzBoBBpABApBxCzCC复合变换：复合变换：平移和旋转构成复合变换。平移和旋转构成复合变换。CCBABBBpRpRp2.3 齐次变换与齐次变换矩阵齐次变换与齐次变换矩阵基本复合变换基本复合变换2022-11-26oAABABBRp=p+p110 0 01
23、oAAABBBRppp=2.3 齐次变换与齐次变换矩阵齐次变换与齐次变换矩阵齐次变换齐次变换齐次变换齐次变换是在齐次坐标描述基础上的一种矩阵运算方法，齐次变是在齐次坐标描述基础上的一种矩阵运算方法，齐次变换使齐次坐标作换使齐次坐标作移动移动 、旋转、旋转 、透视、透视 等几何变换。等几何变换。非齐次齐次2022-11-26110 0 01oAAABBBRppp=1 31 1oAABBABRTfsp=旋转旋转平移平移透视透视比例（缩放）比例（缩放）计算机图形学计算机图形学0 0 01oAABBABRTp=齐次变换矩阵齐次变换矩阵2.3 齐次变换与齐次变换矩阵齐次变换与齐次变换矩阵齐次变换矩阵齐次
24、变换矩阵2022-11-26透视变换透视变换（Perspective transformation）举例pp:P x1 PP x1 1()1ppppTTppppppppppppppppppppppppyzyzyzzfyzzyfyfzxyfzxyyfyyfyfyyfyyffxxy以光心为原点O，光轴与y 轴重合，P 为物点，用齐次坐标表示求的齐次坐标，即求根据三角形相似原理：注意是负值，是正值，所以实际上为相减关系又有设111000010000100001111pppppppppppppfppppyzyzyzfffxxxyyyTzzzyf用矩阵表示：zyPypfozpfpzPpy2022-11-
25、26pp:Px1PPx1 1()1ppppTTppppppppppppppppyzyzypzpzpfypzpzpypfypfzxyfzxyyfyyfyfyyfyyffxxy以光心为原点O，光轴与y轴重合，P为物点，用齐次坐标表示求的齐次坐标，即求根据三角形相似原理：注意是负值，是正值，所以实际上为相减关系又有设111000010000100001111pppppppppppppfppppyzyzyyfffxxxyyyTzzzyf用矩阵表示：因此，进行机器人运行学计算时，不能省略透视矩阵，有摄像头时，透视矩阵为 0 -0，没有摄像头时为0 0 0 。f1p1000010000101001111p
26、ppppffppppxxxyyyTTzzzyff 用矩阵表示：透视变换透视变换（Perspective transformation）举例2022-11-26,100000000001),(Rotcsscx平移齐次坐标变换平移齐次坐标变换旋转齐次坐标变换旋转齐次坐标变换1000100010001),Trans(cbacbaTranslation transformation,100000001000),(Rotcsscy100001000000),(RotcssczRotation transformation2.4 齐次变换矩阵运算齐次变换矩阵运算齐次坐标变换齐次坐标变换注意：注意：平移矩阵
27、间可以交换，平移矩阵间可以交换，平移和旋转矩阵间不可以交换平移和旋转矩阵间不可以交换 2022-11-26对于坐标系对于坐标系A、B，A是参考坐标系，是参考坐标系，B相对于相对于A的联体的联体坐标系。坐标系。B相对于相对于A的描述为：的描述为：A相对于相对于B的描述为：的描述为：01oAABBABRpT110101ooAAATAT ABBBBBBAABRpRRpTT2.4 齐次变换矩阵运算齐次变换矩阵运算齐次坐标变换的逆变换齐次坐标变换的逆变换2022-11-26例题例题1 1：坐标系坐标系 B 的初始位姿与参考坐标系的初始位姿与参考坐标系 A 相同，坐标系相同，坐标系 B 相相对于对于 A
28、的的 zA 轴旋转轴旋转 30，再沿，再沿 A 的的 xA 轴移动轴移动 12，沿沿 A 的的 yA 轴移轴移动动 6。求位置矢量。求位置矢量 ApB 和旋转矩阵和旋转矩阵 。假设。假设 p 点在坐标系点在坐标系 B 的描述为的描述为 Bp=5 9 0T，求其在坐标系，求其在坐标系 A 的描述。的描述。RAB0294.1683.1106120951000866.05.005.0866.00612;1000866.05.005.0866.01000303003030)30,(BABABABAABppRppcssczRR解：解：2.4 齐次变换矩阵运算齐次变换矩阵运算2022-11-261101A
29、AABBBAABABBRppppRpppTpBABA 1 ,10 ,1pppRTppBBBAABABAAAp、Bp称为点的齐次坐标，为齐次坐标变换矩阵TAB10294.1683.1110951000010060866.05.01205.0866.0 ,1000010060866.05.01205.0866.010pTppRTBABABAABAB例题例题2：对于例题1利用齐次坐标求解Ap。2022-11-26 纯平移变换与变换次序无关纯平移变换与变换次序无关 旋转变换与变换次序有关旋转变换与变换次序有关 复合变换与变换次序有关复合变换与变换次序有关ssscccsssccsscccsssccscs
30、csscccssccssccsscxRzRyR000011000000100),(),(),(sssccscsscccsssccccscsscsscccssccssccsscyRzRxR001001000000001),(),(),(2.4 齐次变换矩阵运算齐次变换矩阵运算齐次坐标变换的顺序问题齐次坐标变换的顺序问题2022-11-26 绕当前轴绕当前轴 开始开始B、A重合，然后先绕重合，然后先绕XA轴转轴转 得到新坐标系得到新坐标系C，再绕当，再绕当前轴前轴YC轴转轴转得到要求的坐标系得到要求的坐标系B。1)(,)CCBBBRRot ypp=p2)(,)AACCCRRot xpp=p3)(,
31、)(,)ABRot xRot ypp绕当前轴（即相对于运动坐标系）绕当前轴（即相对于运动坐标系）右乘右乘2.4 齐次变换矩阵运算齐次变换矩阵运算齐次坐标变换的顺序问题齐次坐标变换的顺序问题2022-11-26 绕固定轴绕固定轴 开始开始B、A重合，然后重合，然后B先绕先绕XA轴转轴转，再绕，再绕YA轴转轴转。1)(,)ABRot x pp3)(,)(,)ACARot yRot ypp=p4)(,)(,)ABRot yRot xpp2）C、A重合，重合，C再绕再绕YA轴转轴转得到得到B中的矢量在中的矢量在A中的表示中的表示CApp和等价，绕固定轴绕固定轴（及相对固定坐标系）（及相对固定坐标系）左
32、乘左乘2.4 齐次变换矩阵运算齐次变换矩阵运算齐次坐标变换的顺序问题齐次坐标变换的顺序问题2022-11-26刚体位置描述：刚体位置描述：利用齐次坐标变换可以描述刚体的利用齐次坐标变换可以描述刚体的位置和姿态位置和姿态。刚体上其它。刚体上其它点在参考坐标系中的位置可以由变换矩阵乘以该点在刚体坐标系中的位置获点在参考坐标系中的位置可以由变换矩阵乘以该点在刚体坐标系中的位置获得。得。例题例题3：下图中的物体可以由下图中的物体可以由(1,0,0),(-1,0,0),(-1,0,2),(1,0,2),(1,4,0),(-1,4,0)表示。如果表示。如果该物体在基坐标系中先绕该物体在基坐标系中先绕z轴旋
33、转轴旋转90，再绕，再绕y轴旋转轴旋转90，再沿，再沿x轴平移轴平移4，求物体，求物体6个顶个顶点的位置。点的位置。xyzoo1选取物体上与选取物体上与o点重合的点点重合的点o1为刚为刚体坐标系原点，其初始坐标轴体坐标系原点，其初始坐标轴x1y1z1 方向与方向与 xyz 坐标系相同。坐标系相同。2.4 齐次变换矩阵运算齐次变换矩阵运算齐次坐标变换举例齐次坐标变换举例2022-11-26 先绕先绕 z z 轴旋转轴旋转 9090 再绕再绕 y y 轴旋转轴旋转 9090 再沿再沿 x x 轴平移轴平移 4 4xyzoo1yxzoo1x1y1z1xyzoo1x1z1y1yxzoo1x1 y1z1
34、2.4 齐次变换矩阵运算齐次变换矩阵运算2022-11-261000001000014100100001000001001010000001001001001000010000104001Rot(z,90)90,(Rot)0,0,4Trans(yT1000400101000010100001000010400110000001001001001000010000010010)0,0,4rans(Rot(y,90)T)90,(Rot zTxyzoo1xyzoo1x1z1y1xyzoo1x1z1y1x1o1xyzoz1y1对于右乘的结果：（相当于在新坐标系中变换）2.4 齐次变换矩阵运算齐次变换矩
35、阵运算2022-11-261111114400001111114466441111110022004400001111111000001000014100刚体的6个顶点在基坐标系中的位置：2.4 齐次变换矩阵运算齐次变换矩阵运算2022-11-26对于坐标系A、B、C，A是参考坐标系，B相对于A的坐标以及C相对于B的坐标称为联体坐标。设B在A中的表示为T1，C在B中的表示为T2，刚体在C中的表示为T3，刚体在A中的表示为T，则 T=T1 T2 T3 上式可以理解为：上式可以理解为：从基坐标系变换到联体坐标系，右乘。2.4 齐次变换矩阵运算齐次变换矩阵运算联体坐标系联体坐标系2022-11-26
36、 通用旋转变换：通用旋转变换：设设 f 为坐标系为坐标系C的的z轴上的单位矢量，即：轴上的单位矢量，即：则绕矢量则绕矢量 f 的旋转等价于绕坐标系的旋转等价于绕坐标系C的的z轴的旋转：轴的旋转：kajaiafaonaonaonCzyxzzzyyyxxx ,1000000),(Rot),(RotzCfTCSCST1设坐标系设坐标系C在基坐标系下的描述为在基坐标系下的描述为C。对于某一刚体，在基坐标系下的描述为。对于某一刚体，在基坐标系下的描述为T，在坐，在坐标系标系C下的描述为下的描述为S，则：，则：2.4 齐次变换矩阵运算齐次变换矩阵运算通用旋转变换通用旋转变换2022-11-26 T绕绕 f
37、 轴的旋转等价于轴的旋转等价于S绕坐标系绕坐标系C的的z轴的旋转：轴的旋转：100000010000001000010000001000000),(Rotzzzzzzzzzzzyyzyzzyzyzxxzxzzxzxyzzyzyyzyzxzxzzxxzxzyyyyyyyyyyxyxyyxxyxyyxxyxyyxyxxxxxxxxxxxzyxzyxzyxzzzyyyxxxaacoosonsoncnnaacoosonsoncnnaacoosonsoncnnaacoosonsoncnnaacoosonsoncnnaacoosonsoncnnaacoosonsoncnnaacoosonsoncnnaac
38、oosonsoncnnaaaooonnncsscaonaonaonf1111),(Rot),(Rot),(Rot),(Rot),(Rot),(RotCzCTTCzCSTzCfSzCTf2.4 齐次变换矩阵运算齐次变换矩阵运算通用旋转变换通用旋转变换2022-11-26 令令vers=1-c,有：有：cversffccaaaacaaaacoonnaacoocnnaacoosonsoncnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)1()1()(krrrrjrrrrirrrrrrrrrrkjiyxrrrrrryxBABABABA)()()(2112221132113112312
39、23221322212312111323122211211kajaiafaonaonaonCzyxzzzyyyxxx1000000sfsffsacaaaasacaaaasononcoonnaacoosonsoncnnzxyzxyxyzxyxyxyyxxyxyxyxyyxxyxyver)1()()(2.4 齐次变换矩阵运算齐次变换矩阵运算2022-11-26sfffaasacaaaasononcoonnaacoosonsoncnnyzxxzyxzxzxzzxxzxzxzxzzxxzxzvers)()(sfffaasacaaaasononcoonnaacoosonsoncnnyzxzxyzxzxz
40、xxzxzzxzxxzxzzxzxvers)()(sfffaasacaaaasononcoonnaacoosonsoncnnzzxyxzyxyxyxxyxyyxyxxyxyyxyxvers)()(cffaacaaaacoonnaacoosonsoncnnyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyvers)1()(sfffaasacaaaasononcoonnaacoosonsoncnnxyzyzxyzyzyzzyzyyzyzzyzyyzyzvers)()(cffaacaaaacoonnaacoosonsoncnnzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzvers)1()(sfersffaa
41、sacaaaasononcoonnaacoosonsoncnnxzyzyxzyzyzyyzyzzyzyyzyzzyzyv)()(2.4 齐次变换矩阵运算齐次变换矩阵运算2022-11-26 通用旋转变换为：通用旋转变换为：10000versversvers0versversvers0versversvers),(Rotcffsfffsfffsfffcffsfffsfffsfffcfffzzxzyyzxxyzyyzyxyxzzxyxx10000versversvers0versversvers0versversvers1000000cffsfffsfffsfffcffsfffsfffsfffcf
42、faonaonaonzzxzyyzxxyzyyzyxyxzzxyxxzzzyyyxxxccfffaonzyxzyx213)vers(222)1(21zyxaonc等效转角与转轴等效转角与转轴 给出一任意旋转变换，可由上式求得等效转角与转轴。令：将对角线三项相加，得：2.4 齐次变换矩阵运算齐次变换矩阵运算2022-11-26 将旋转规定为绕矢量 f 的正向旋转，使得0 180。于是得到旋转角：旋转矢量为：222)()()(21222xyzxxzzxyyzxxyzonnaaossfonsfnasfao)1()()()(tan222zyxxyzxxzaononnaao)2/()()2/()()2/
43、()(sonfsnafsaofxyzzxyxzx2.4 齐次变换矩阵运算齐次变换矩阵运算多值性：转角和转轴有多组，转角相差多值性：转角和转轴有多组，转角相差360360的整数倍时旋转矩阵相同的整数倍时旋转矩阵相同病态情况：转角是病态情况：转角是0 0或或180180时，转轴不能确定时，转轴不能确定2022-11-26B 基座坐标系W 腕坐标系T 工具坐标系S 工作站坐标系G 目标坐标系 BSSGTT、GTT机器人控制和规划的目标机器人控制和规划的目标2.5 变换方程变换方程2022-11-262.5 变换方程变换方程2022-11-26空间尺寸链空间尺寸链BBWTWTTT TBBSGTSGTT
44、T T TBWBSGWTSGTT TT T TGTT已知，改变已知，改变BWT1BBSGWWSGTTTT T T T2.5 变换方程变换方程2022-11-26回转（横滚）:绕Z轴转,Roll俯仰:绕Y轴转,Pitch 偏转:绕X轴转.Yaw 姿态描述姿态描述2.6 欧拉角与欧拉角与RPY角角RPYRPY角角2.6 欧拉角与欧拉角与RPY角角RPYRPY角角2022-11-26先绕先绕XA轴转轴转，再绕，再绕YA轴转轴转，最后绕，最后绕ZA轴转轴转。(,)(,)(,)(,)000010000001000000100000000100010001RPYRot zRot yRot xcscsscc
45、sscsc 注意注意:绕固定轴绕固定轴 左乘左乘2.6 欧拉角与欧拉角与RPY角角RPYRPY角表示运动姿态角表示运动姿态2022-11-26机器人运动姿态描述机器人运动姿态描述 Z-Y-X欧拉欧拉(Euler)角角：先绕：先绕z轴旋转轴旋转，再绕新的，再绕新的y轴轴(y)旋转旋转，再绕，再绕新的新的x轴轴(x )旋转旋转，以此表示所有的姿态。，以此表示所有的姿态。(,)Rot(,)Rot(,)Rot(,)00001000000100000010000000010001000100ABzyxRzyxcscssccsscscc cc s ss cc s cs ss cs s sc cs s cc
46、 ssc s 00001c c Z-Y-X欧拉欧拉(Euler)角等价的旋转矩阵角等价的旋转矩阵变换表示为：变换表示为：2.6 欧拉角与欧拉角与RPY角角Z-Y-XZ-Y-X欧拉角欧拉角2022-11-26机器人运动姿态描述机器人运动姿态描述 Z-Y-Z欧拉角表示欧拉角表示：先绕：先绕z轴旋转轴旋转，再绕新的，再绕新的y轴轴(y)旋转旋转，再绕新，再绕新的的z轴轴(z )旋转旋转，以此表示所有的姿态。欧拉变换在基坐标系中的表，以此表示所有的姿态。欧拉变换在基坐标系中的表示为：示为：(,)Rot(,)Rot(,)Rot(,)000000000100000010000010000100010001
47、00ABzyzRzyzcscscsscscscc c cs sc c ss cc ss c cc ss c sc cs ss c 00001s sc Z-Y-ZZ-Y-Z欧拉角欧拉角2.6 欧拉角与欧拉角与RPY角角2022-11-26柱面坐标表示位置柱面坐标表示位置：先沿基坐标系的：先沿基坐标系的x x轴平移轴平移r r，再绕基坐标系的再绕基坐标系的z z轴旋转轴旋转，再，再沿基坐标系的沿基坐标系的z z轴轴平移平移z z。100010000100001000010001100001000000100010000100001)0,0,(Trans),(Rot),0,0(Trans),Cyl(
48、zrscsrcscrcssczrzzrzxyzzr 运动姿态的不同坐标系表示运动姿态的不同坐标系表示2022-11-26如用一个绕如用一个绕z z轴旋转轴旋转-的变换矩阵右乘的变换矩阵右乘 10001000100011000010000)()(00)()(100010000),Cyl(zrsrccssczrscsrcscrzxyzzr 上式表明平移矢量未变，旋转矩阵为单位阵，此时末端坐标上式表明平移矢量未变，旋转矩阵为单位阵，此时末端坐标的姿态未变，而只是改变了它的空间位置。的姿态未变，而只是改变了它的空间位置。Cyl(,)zr运动姿态的不同坐标系表示运动姿态的不同坐标系表示2022-11-2
49、6 球面坐标表示位置球面坐标表示位置：先沿基坐标系的：先沿基坐标系的z轴平移轴平移r，再绕基坐标系的，再绕基坐标系的y轴旋转轴旋转，再再沿基坐标系的沿基坐标系的z轴旋转轴旋转。10000100010000100001100000001000100001000000),0,0(Trans),(Rot),(Rot),Sph(rccssrsccccssrcscsccrcssccsscryzr10001000100011000010000)()(00)()(10000)(0)(00100)(0)(10000),Sph(rcsrssrccssccsscrccssrsccccssrcscsccrxyzr
50、如果不希望改变末端坐标的姿态，而只是改变其空间位置，如果不希望改变末端坐标的姿态，而只是改变其空间位置，则需则需要对上式绕新的要对上式绕新的y轴旋转轴旋转-,再再绕新的绕新的z轴旋转轴旋转-，即：，即：运动姿态的不同坐标系表示运动姿态的不同坐标系表示2022-11-26 齐次变换可以用来描述空间坐标系的位置与方向。如果坐标系被固齐次变换可以用来描述空间坐标系的位置与方向。如果坐标系被固定在物体或机械手连杆上，那么该物体或机械手的位置与方向同样定在物体或机械手连杆上，那么该物体或机械手的位置与方向同样很容易被描述。很容易被描述。物体物体A相对于物体相对于物体B的齐次变换可以求其逆，来获得物体的齐
