1、第三章概率3.1随机事件的概率3.1.1随机事件的概率 1.1.事件及分类事件及分类【思考思考】定义中的定义中的“在条件在条件S S下下”,可以去掉吗可以去掉吗?为什么为什么?提示提示:不能不能.因为要判断一个事件是哪种事件因为要判断一个事件是哪种事件,首先要看首先要看清条件清条件,条件决定事件的种类条件决定事件的种类,随着条件的改变随着条件的改变,其结果其结果也会不同也会不同.2.2.频数与频率频数与频率在相同的条件在相同的条件S S下重复下重复n n次试验次试验,观察某一事件观察某一事件A A是否出是否出现现,称称n n次试验中事件次试验中事件A A出现的次数出现的次数n nA A为事件为
2、事件A A出现的频出现的频数数,称事件称事件A A出现的比例出现的比例f fn n(A)=(A)=为事件为事件A A出现的频率出现的频率,其取值范围是其取值范围是0,1.0,1.Ann3.3.概率概率随机事件发生可能性的大小用概率来度量随机事件发生可能性的大小用概率来度量.对于给定的对于给定的随机事件随机事件A,A,事件事件A A发生的频率发生的频率f fn n(A)(A)随着试验次数的增随着试验次数的增加稳定于概率加稳定于概率P(A),P(A),因此可用频率因此可用频率f fn n(A)(A)来估计概率来估计概率P(A),P(A),即即P(A).P(A).Ann【思考思考】(1)(1)频率与
3、试验次数有关吗频率与试验次数有关吗?概率呢概率呢?提示提示:频率是事件频率是事件A A发生的次数与试验总次数的比值发生的次数与试验总次数的比值,与与试验次数有关试验次数有关.频率本身是随机的频率本身是随机的,是一个变量是一个变量,在试验在试验前不能确定前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件发生的做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率会不同频率会不同.概率是一个确定的数概率是一个确定的数,是客观存在的是客观存在的,与试验做没做、与试验做没做、做多少次完全无关做多少次完全无关.(2)(2)试验次数越多试验次数越多,频率就越接近概率吗频率就越接近概率吗?提示提示:不是不是.随着试验次数的增多随
4、着试验次数的增多(足够多足够多),),频率稳定于频率稳定于概率的可能性在增大概率的可能性在增大.但不能说频率越接近概率但不能说频率越接近概率.在事在事件的概率未知的情况下件的概率未知的情况下,我们常用频率作为概率的估计我们常用频率作为概率的估计值值.即概率是频率的稳定值即概率是频率的稳定值,频率是概率的估计值频率是概率的估计值.【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”,错的打错的打“”)”)(1)(1)当水的温度达到当水的温度达到100 100 时沸腾是必然事件时沸腾是必然事件.()(2)(2)一枚骰子投掷一枚骰子投掷1010次均正面向上是不可能事件次均正面向上是不可
5、能事件.(.()(3)“(3)“王宁下次的数学成绩在王宁下次的数学成绩在130130分以上分以上”是随机事是随机事件件.()(4)(4)试验的次数越多试验的次数越多,获得的数据越多获得的数据越多,这时用这时用 来表来表示示P(A)P(A)越精确越精确.()Ann【提示提示】(1)(1).水是否沸腾还与大气压有关水是否沸腾还与大气压有关.(2)(2).10.10次均正面向上的可能性比较小次均正面向上的可能性比较小,但也可能发生但也可能发生.(3).(3).王宁下次的数学成绩在王宁下次的数学成绩在130130分以上分以上,可能发生可能发生,也可也可能不发生能不发生.(4).(4).2.2.下列事件
6、中是必然事件的为下列事件中是必然事件的为()A.A.若若a,b,ca,b,c都是实数都是实数,则则a(bc)=(ab)ca(bc)=(ab)cB.B.没有水和空气没有水和空气,人也可以生存下去人也可以生存下去C.C.抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,反面向上反面向上D.D.射靶射中射靶射中1010环环【解析解析】选选A.AA.A项中的等式是实数乘法的结合律项中的等式是实数乘法的结合律,对任对任意实数意实数a,b,ca,b,c是恒成立的是恒成立的,故故A A项是必然事件项是必然事件.在没有空在没有空气和水的条件下气和水的条件下,人是绝对不能生存下去的人是绝对不能生存下去的,故故B B项是不项是不可能事件
7、可能事件.抛掷一枚硬币时抛掷一枚硬币时,在没得到结果之前在没得到结果之前,并不知并不知道是正面向上还是反面向上道是正面向上还是反面向上,故故C C项是随机事件项是随机事件,D,D项也项也是随机事件是随机事件.3.3.在一次掷硬币试验中在一次掷硬币试验中,掷掷30 00030 000次次,其中有其中有14 98414 984次次正面朝上正面朝上,则出现正面朝上的频率是则出现正面朝上的频率是_,_,这样这样,掷掷一枚硬币一枚硬币,正面朝上的概率是正面朝上的概率是_._.【解析解析】设设“出现正面朝上出现正面朝上”为事件为事件A,A,则则n=30 000,n=30 000,n nA A=14 984
8、,f=14 984,fn n(A)=0.499 5,P(A)=0.5.(A)=0.499 5,P(A)=0.5.答案答案:0.499 50.499 50.50.514 98430 000类型一事件类型的判断类型一事件类型的判断【典例典例】1.1.从一副牌中抽出从一副牌中抽出5 5张红桃、张红桃、4 4张梅花、张梅花、3 3张黑张黑桃放在一起洗匀后桃放在一起洗匀后,从中一次随机抽出从中一次随机抽出1010张张,恰好红桃、恰好红桃、梅花、黑桃梅花、黑桃3 3种牌都抽到种牌都抽到,这件事情这件事情()A.A.可能发生可能发生 B.B.不可能发生不可能发生C.C.很可能发生很可能发生 D.D.必然发生
9、必然发生2.2.下列四种说法下列四种说法:“三个球全部放入两个盒子三个球全部放入两个盒子,其中其中必有一个盒子有一个以上的球必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件是必然事件;“当当x x为某一实数时为某一实数时,x,x2 20”0”是不可能事件是不可能事件;“2022“2022年的国年的国庆节是晴天庆节是晴天”是必然事件是必然事件;“从从100100个灯泡个灯泡(有有1010个是个是次品次品)中取出中取出5 5个个,5,5个都是次品个都是次品”是随机事件是随机事件.其中正确其中正确的个数是的个数是()世纪金榜导学号世纪金榜导学号A.4A.4 B.3 B.3 C.2 C.2 D.1 D.1【思维
10、思维引引】根据各个事件的定义判断根据各个事件的定义判断.【解析解析】1.1.选选D.D.因为若这因为若这1010张牌中抽出了全部的红桃张牌中抽出了全部的红桃与梅花共与梅花共9 9张张,一定还有一定还有1 1张黑桃张黑桃;若抽出了全部的梅花若抽出了全部的梅花与黑桃共与黑桃共7 7张张,则还会有则还会有3 3张红桃张红桃;若抽出了全部的红桃若抽出了全部的红桃与黑桃共与黑桃共8 8张张,则还会有则还会有2 2张梅花张梅花.所以这个事件一定发所以这个事件一定发生生,是必然事件是必然事件.2.2.选选B.B.“三个球全部放入两个盒子三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒其中必有一个盒子有一个以上的球子有
11、一个以上的球”是必然事件是必然事件,此说法是正确的此说法是正确的;“当当x x为某一实数时为某一实数时,x,x2 20b,ab,那么那么ba;ba;(4)(4)某人购买福利彩票中奖某人购买福利彩票中奖;(5)(5)某人的手机一天接到某人的手机一天接到2020次电话次电话.【解析解析】(1)(4)(5)(1)(4)(5)是随机事件是随机事件,(2),(2)是不可能事件是不可能事件,(3),(3)是必然事件是必然事件.类型二试验结果列举类型二试验结果列举【典例典例】指出下列试验的条件和结果指出下列试验的条件和结果.(1)(1)从装有大小相同但颜色不同的从装有大小相同但颜色不同的a,b,c,da,b
12、,c,d这四个球的这四个球的袋中袋中,任意取一个球任意取一个球.(2)(2)从装有大小相同但颜色不同的从装有大小相同但颜色不同的a,b,c,da,b,c,d这四个球的这四个球的袋中袋中,任意取两个球任意取两个球.世纪金榜导学号世纪金榜导学号【思维思维引引】用列举法按一定的顺序列举用列举法按一定的顺序列举.【解析解析】(1)(1)条件为从袋中任意取一球条件为从袋中任意取一球;结果为结果为:a,b,:a,b,c,d,c,d,共共4 4种种.(2)(2)条件为从袋中任意取两球条件为从袋中任意取两球;若记若记a,ba,b表示一次取出表示一次取出的的2 2个球是个球是a,b,a,b,则试验的全部结果为则
13、试验的全部结果为:a,b,a,c,:a,b,a,c,a,d,b,c,b,d,c,d,a,d,b,c,b,d,c,d,共共6 6种种.【素养素养探探】本题主要考查依据试验方式列举试验结果本题主要考查依据试验方式列举试验结果,考查数学抽考查数学抽象的核心素养象的核心素养.本例若把条件改为本例若把条件改为:袋内装有大小相等的袋内装有大小相等的1 1个白球和已个白球和已编有不同号码的编有不同号码的3 3个黑球个黑球,从中摸出从中摸出2 2个球个球,试求试求:(1)(1)共有多少种不同结果共有多少种不同结果?(2)(2)摸出摸出2 2个黑球有多少种不同的结果个黑球有多少种不同的结果?【解析解析】(1)(
14、1)从装有从装有4 4个球的口袋内摸出个球的口袋内摸出2 2个球个球,共有共有6 6种种不同的结果不同的结果:(:(白白,黑黑1),(1),(白白,黑黑2),(2),(白白,黑黑3),(3),(黑黑1,1,黑黑2),(2),(黑黑1,1,黑黑3),(3),(黑黑2,2,黑黑3).3).(2)(2)从袋中摸出从袋中摸出2 2个黑球个黑球,共有共有3 3种不同的结果种不同的结果:(:(黑黑1,1,黑黑2),(2),(黑黑1,1,黑黑3),(3),(黑黑2,2,黑黑3).3).【类题类题通通】不重不漏地列举试验的所有可能结果的方法不重不漏地列举试验的所有可能结果的方法(1)(1)结果是相对于条件而言
15、的结果是相对于条件而言的,要弄清试验的结果要弄清试验的结果,必须必须首先明确试验中的条件首先明确试验中的条件.(2)(2)根据日常生活经验根据日常生活经验,按照一定的顺序列举出所有可按照一定的顺序列举出所有可能的结果能的结果,可应用画树状图、列表等方法解决可应用画树状图、列表等方法解决.【习练习练破破】“连续抛掷两枚质地均匀的骰子连续抛掷两枚质地均匀的骰子,记录朝上的点数记录朝上的点数”,该试验的结果共有多少种该试验的结果共有多少种?你能一一列举出来吗你能一一列举出来吗?【解析解析】共有共有3636种试验结果种试验结果.试验的全部结果为试验的全部结果为:(1,1),(1,2),(1,3),(1
16、,4),(1,5),(1,6),(2,1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6
17、,1),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).类型三利用频率与概率的关系求概率类型三利用频率与概率的关系求概率【典例典例】下表是某乒乓球的质量检查统计表下表是某乒乓球的质量检查统计表:抽取球数抽取球数50501001002002005005001 0001 0002 0002 000优等品数优等品数454592921941944704709549541 9021 902优等品频率优等品频率(1)(1)计算各组优等品频率
18、计算各组优等品频率,填入上表填入上表.世纪金榜导世纪金榜导学号学号(2)(2)根据频率估计事件根据频率估计事件“抽取的是优等品抽取的是优等品”的概率的概率.【思维思维引引】先计算出每次抽检的优等品的频率先计算出每次抽检的优等品的频率,再估再估计概率值计概率值.【解析解析】(1)(1)根据优等品频率根据优等品频率=可得优等品可得优等品的频率从左到右依次为的频率从左到右依次为0.9,0.92,0.97,0.94,0.954,0.9,0.92,0.97,0.94,0.954,0.951.0.951.(2)(2)由由(1)(1)可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0
19、.950.95附近附近,故故“抽取的是优等品抽取的是优等品”的概率是的概率是0.95.0.95.优等品数抽取球数【内化内化悟悟】(1)(1)频率的计算公式是怎样的频率的计算公式是怎样的?提示提示:频率公式频率公式:频率频率=频数样本容量(2)(2)频率与概率有什么关系频率与概率有什么关系?提示提示:频率是一个试验值频率是一个试验值,具有随机性具有随机性,随着试验次数的随着试验次数的增加增加,频率总在一个稳定值附近波动频率总在一个稳定值附近波动,可用这个稳定值可用这个稳定值来估计概率来估计概率.【类题类题通通】估算法求概率估算法求概率(1)(1)用频率估计概率用频率估计概率:进行大量的随机试验进
20、行大量的随机试验,求得频数求得频数;由频率计算公式由频率计算公式f fn n(A)=(A)=得频率得频率;由频率与概率的关系估计概率由频率与概率的关系估计概率.Ann(2)(2)注意事项注意事项:试验次数试验次数n n不能太小不能太小.只有当只有当n n很大时很大时,频率才会呈现出频率才会呈现出规律性规律性,即在某个常数附近摆动即在某个常数附近摆动,且这个常数就是概率且这个常数就是概率.【习练习练破破】某射击运动员进行飞碟射击训练某射击运动员进行飞碟射击训练,七次训练的成绩记录七次训练的成绩记录如下如下:射击次数射击次数n n1001001201201501501001001501501601
21、60150150击中飞碟数击中飞碟数n nA A818195951201208181119119127127121121(1)(1)求各次击中飞碟的频率求各次击中飞碟的频率.(.(保留三位小数保留三位小数)(2)(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少该射击运动员击中飞碟的概率约为多少?【解析解析】(1)(1)计算计算 得各次击中飞碟的频率依次约为得各次击中飞碟的频率依次约为0.810,0.792,0.800,0.810,0.793,0.794,0.807.0.810,0.792,0.800,0.810,0.793,0.794,0.807.(2)(2)由于这些频率非常接近由于这些频率非常接近0
22、.800,0.800,且在它附近摆动且在它附近摆动,所以该射击运动员击中飞碟的概率约为所以该射击运动员击中飞碟的概率约为0.800.0.800.Ann【加练加练固固】某人捡到不规则形状的小五面体石块某人捡到不规则形状的小五面体石块,他在每个面他在每个面上用数字上用数字1 15 5进行了标记进行了标记,投掷投掷100100次次,记录下落在桌面记录下落在桌面上的数字上的数字,得到如下频数表得到如下频数表:落在桌面上的数字落在桌面上的数字1 12 23 34 45 5频数频数32321818151513132222则落在桌面上的数字不小于则落在桌面上的数字不小于4 4的频率为的频率为_._.【解析解析】落在桌面上的数字不小于落在桌面上的数字不小于4 4的的,即即4,5,4,5,频数共频数共13+22=35.13+22=35.所以频率所以频率=0.35.=0.35.答案答案:0.350.3535100
