1、最全数列通项公式的求法最全数列通项公式的求法一、观察法一、观察法(根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式)1、写出下列数列的一个通项公式、写出下列数列的一个通项公式:(1)9,99,999,9999,解：解：an=10n1(2)1,11,111,1111,分析：注意观察各项与它的序号的关系分析：注意观察各项与它的序号的关系有有 101，1021，1031，1041解：解：an=(10n1)91 这是特殊到一般的思想，也是数这是特殊到一般的思想，也是数学上重要的思想方法，但欠严谨！学上重要的思想方法，但欠严谨！细心观察细心观察合理联想合理联想善于总结善于总结分析分析:注意与熟悉数列注意与熟悉数
2、列9,99,999,9999,联系联系)(*Nn2.an的前项和的前项和Sn=2n21，求通项，求通项an二、公式法二、公式法（利用（利用an与与Sn的关系的关系 或利用等差、等比数列的通项公式）或利用等差、等比数列的通项公式）an=S1 (n=1)SnSn1(n2)解：当解：当n2时，时，an=SnSn1=(2n21)2(n1)21 =4n2不要遗漏不要遗漏n=1的情形哦！的情形哦！当当n=1时时,a1=1 不满足上式不满足上式 因此因此 an=1 (n=1)4n 2(n2,)*nN3.已知已知an中，中，a1+2a2+3a3+nan=3n+1,求通项求通项an解解:a1+2a2+3a3+n
3、an=3n+1 (n1)注意注意n的范围的范围 a1+2a2+3a3+(n1)an1=3n（n2）nan=3n+13n=23n23nan=而而n=1时时,a1=9（n2）两式相减得：两式相减得：an=9 (n=1)23n（n2,）*nN 数列an中，a11，对所有的n2，都有a1a2a3ann2，数列an的通项公式为_ 解析：由题意，当n2时，a1a2a3ann2，故当n2时，有a1a2224，又因为a11，所以a24.11a中，nannaS32na求通项例4：（1）在数列)2(2,1nSSannn（2）在数列，中，nana求通项)1(解：nnaS32，)2(,3211naSnnnnnnnna
4、aaaSS33)32(32111nnnaaa331134nnaa431nnaa是等比数列，数列na1132aS1132aa211a1)43(21nna)2()2(21nSSannn，)2()(211nSSSSnnnn)2()(211nSSSSnnnn)2(21111nSSnn是等差数列，数列S1n，)21)(1(S1S11nn，2321n，3-2Snn，4-2S1-nn，4-23-2a1nnnSSnn例5 已知数列an中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2，a1=1，是等比数列；，求证数列设）（211nnnnbaab2411nnaS）（证明2412nnaSnnnnnaaaSS4412
5、12)2(22112nnnnaaaa即nnnaab21nnbb21.2的等比数列是公比为数列nb.22是等差数列，求证：数列设）（nnnnCaC.22是等差数列，求证：数列设）（nnnnCaC nnnac2证明：nnnnnnaacc221111122nnnaa12nnb431nncc12411212aaaaS，又，52 a，32121aab.231nnb.43的等差数列是公差为数列nc4.已知已知an中中,an+1=an+n (nN*),a1=1,求通项求通项an解解:由由an+1=an+n (nN*)得得a2 a1 =1a3 a2 =2a4 a3 =3anan1=n 1an=(anan1)+
6、(an1an2)+(a2 a1)+a1 =(n 1)+(n 2)2)+2+1+1212122nnnn 三、累加法三、累加法(递推公式形如形如an+1=an+f(n)型型的数列)n个等式相加得a1 =1 5.已知已知an中中,a1=1,an=3n1+an1(n2),求通项求通项an 练练 一一 练练an+1 an=n (nN*)四、累乘法四、累乘法 (形如形如an+1=f(n)an型型)6.已知已知an是首项为是首项为1的正项数列的正项数列,且且(n+1)an+12+an+1annan2=0,求求an的通项公式的通项公式解解:(n+1)an+12+an+1annan2=0 (an+1+an)(n
7、+1)an+1 nan=0 an+1+an0 (n1)11nnaann1213223121.nnnnnnn1 an=.112aaa211nnnnaaaa 注意：累乘法与累加法有些相似，但它是n个等式相乘所得(n+1)an+1=nan五、迭代法五、迭代法(已知已知an=f(an1),(n2)求求an )方法方法:an=f(an1)=ff(an2)=fff(a1)7.已知已知an中中,an=3n1+an1 ,(n2),a1=1,求通项求通项an.解解:an=3n1+an1(n2)an=3n1+an1=3n1+3n2+an2=3n1+3n2+3n3+an3=3n1+3n2+3n3+3+a1=3n1+
8、3n2+3n3+3+1=3n 1 12 特点特点逐项代换逐项代换11nn8.已知已知an中中,an=+an1 (n 2),a1=1,求通项求通项an做做 一一 做做构造法构造法3、已知数列的递推公式求通项：、已知数列的递推公式求通项：.nnaa1n+1n例2、数列中，a=3，a=2a+3,求通项 1(3)(,)nnapaq p qn形如为非零常数 的，若p=1，则 a为等差数列，否则，构造等比数列+t+t2t-t=33n+1nn变形得a=2（a）且，构造分析：得数列 a为等比数列.,),(.:1求通项求通项化为等比数列化为等比数列为待定系数为待定系数其中其中令令待定系数法待定系数法求法求法 n
9、nna apa3、已知数列的递推公式求通项：、已知数列的递推公式求通项：.nnaa1n+1n例2、数列中，a=3，a=2a+3,求通项+t+tn+1n令a=2（a解：）2t-t=3且，得t=3362n 则数列 a是以为首项，为公比的等比数列3=6 2n-1n a=6 23n-1n则a构造法构造法)(1nfpaann2、由递推关系。求其通项na1118.1,24 3,.nnnnnaaaaa 例 在数列中，求通项公式解：解：,34211nnnaa),3(2311xaxannnn设,3211xaannn,4x可转化为：11342nnnaa),34(23411nnnnaa,341是等比数列数列nna1
10、111252434nnnnaa）（112534nnna（构造法）（构造法）另解：另解：,94332311nnnnaa,34211nnnaa,3nnnab 令,94321nnbb),(321xbxbnn设,31321xbbnn,9431x,34x转化为：94321nnbb),34(32341nnbb,34是等比数列数列nb11)32(3434nnbb）（34)32(34311nnb）（34)32(3531nnna112534nnna（构造法）（构造法）12nnn+1n1n已知数列 a 满足a=2a+3，且a求数列 a 的通变式：项公式111(5)+(,3)nnnnnnapa q r p q rr
11、pqrrrn+1nn形如为非零a若p=r，则为等差数列，否则采用常数aa将其变形（为）的办法nnn+1nn+1nnnaaa=2a+3 两边除以3解得=233：+111nbn+1nnn-1nnnn-1aa2整理的=+1333a2令b，有b331t-1,3nbtttt n22b且则3323-23nb是以 为首项，为公比的等比数列1111223=-2,=-23332323323nnnnnnnnnbba则即故构造法构造法3、已知数列的递推公式求通项：倒数法、已知数列的递推公式求通项：倒数法1(4)(,)nnnparqap q rqarppn+1n11形如为非零常数的，将其变形为aa 1qpn若p=r,
12、则是等差数列，公差为，可用公式求通项a若pr，则采用 3 的办法求.213nan-11nnn-1a1已知数列中，a=，a=n2，求变通项a3a式：nnn112322t-t=3aa13attn-1n-111变形得=分+=且，构造得aa数列为析：等比数列构造法构造法),(1均不为零均不为零rqprqapaannn .,12,1,111的通项公式的通项公式求求中中已知数列已知数列nnnnnaSSSaa 例例7.3,;,:求通项求通项则化为类型则化为类型若若通项通项则化为等差数列求则化为等差数列求若若倒数法倒数法求法求法rp rp 4nnCaAaB、若已知递推数列有的形式，通常是取倒数后来解。例例10
13、.在数列在数列an中，中，a1=1,Sn是数列是数列an前前n项和且项和且),1(431 nSSSnnn求数列求数列an的通项公式的通项公式.解：解：，)1(431 nSSSnnn由由得得nnnSSS4311 ，413 nS设设，)1(311xSxSnn ，xSSnn21311 则则比较比较与与得：得：，2 x，)21(3211 nnSS.321的等比数列的等比数列是公比为是公比为 nS113)21(21 nnSS，n3.231 nnS（构造法）（构造法）当当n2时，时，1 nnnSSa2312311 nn当当n1时，时，.11 a ).2(231231)1(11nnannn（构造法）（构造法
14、）另解：另解：，)1(431 nSSSnnn由由得得nnnSSS4311 ，413 nS)2(413s11nnSn，)2(1313s1s11n1nnSSnn，)11(3s1s11n1nnnSS是等比数列s1s1n1n112n1n3)s1s1(s1s1n.11a，7143112SSSnn3236s1s11n1n11-nn32s1s1n2232-n1-n1-nnns1)s1s1()s1s1()s1s1(s17323232322321nnn731)31(3222n23 n.231 nnS当当n2时，时，1 nnnSSa2312311 nn当当n1时，时，.11 a ).2(231231)1(11nn
15、annn（消去常数法）累加法)2(n解解3：，)1(431 nSSSnnn由由nnnSSS4311 ，413 nS413s1,21nnSn时441332）（nS4431322nS443413332）（nS4434313233nS4434343431324322nnnS313147322nn2232273nn23 n.231 nnS)2(n（迭代法）（迭代法）当当n2时，时，1 nnnSSa2312311 nn当当n1时，时，.11 a ).2(231231)1(11nnannn（迭代法）（迭代法）0)1(2nbbnnn0)1(nbnn.1nan.0)1(11221，求求它它的的通通项项公公式式
16、的的正正项项数数列列，且且的的首首项项为为设设 nnnnnaanaana解：解：的正项数列，且的正项数列，且的首项为的首项为 1na，0)1(1221 nnnnaanaan例例9.1122332211aaaaaaaaaaaannnnnnn ，即即11 nnaann1213223121 nnnnnnan，n1（累积法）（累积法），01)1(11nnnnaanaannnnaab1令0)1()1(nnbnbn1nnbn3、若已知递推数列有相邻两项积的形式，通常除以这个积。0)1(2nbbnnn0)1(nbnn.0)1(11221，求求它它的的通通项项公公式式的的正正项项数数列列，且且的的首首项项为为
17、设设 nnnnnaanaana解法解法2：的正项数列，且的正项数列，且的首项为的首项为 1na，0)1(1221 nnnnaanaan例例9.，即即11 nnaann，01)1(11nnnnaanaannnnaab1令0)1()1(nnbnbn1nnbn，nnanna1111 nnanna12123121annnnnn 2121 nannnn323121 nannnnnn.1nan（迭代法）（迭代法）0)1(2nbbnnn0)1(nbnn.0)1(11221，求求它它的的通通项项公公式式的的正正项项数数列列，且且的的首首项项为为设设 nnnnnaanaana解法解法3：的正项数列，且的正项数列
18、，且的首项为的首项为 1na，0)1(1221 nnnnaanaan例例9.，即即11 nnaann，01)1(11nnnnaanaannnnaab1令0)1()1(nnbnbn1nnbn，nnanna11，1)1(1 nnnaan，111)1(nnana，为等比数列为等比数列即即nna，其中其中11 a.1nan（构造法）（构造法）.)2(:)1(),4,3)(2(31,2,112121nnnnnnnnaaaanaaaaaa的通项公式的通项公式求数列求数列是等比数列；是等比数列；数列数列求证求证满足满足设数列设数列 例例8其它类型其它类型求法：按题中指明方向求解求法：按题中指明方向求解.小结
19、小结一、观察法一、观察法(根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式)二、二、公式法公式法（利用an与Sn的关系 或利用等差、等比数列的通项公式）an=S1 (n=1)SnSn1(n2)三、叠加法三、叠加法(形如an+1=an+f(n)型)四、累乘法四、累乘法 (形如an+1=f(n)an型)五、迭代法五、迭代法(已知an=f(an1),(n2)求an )逐项轮换 112211aaaaaaaannnnn112211aaaaaaaannnnn六、构造法六、构造法1(3)(,)nnapaq p q形如为常数 的1(4)(,)nnnpaap q rqar形如为常数1(5)+(,0)nnnapa q r
20、p q rpqr形如为常数,且的;构造法求数列通项构造法求数列通项课堂小结课堂小结:nnaa求数列的通项公式满足下列条件已知数列例,:2,2(1):11nnaaa问题一nnaaa3,2:)2(11naaann11,2(1):问题二nnnaaa3,2(2)1123,2:11nnaaa问题三利用等差数利用等差数列定义列定义利用等比数利用等比数列定义列定义累加法累加法累乘法累乘法待定系待定系数法数法构造新数列构造新数列例9，已知数列 的递推关系 为 ，且 ，求通项公式 。na4212nnnaaa11a32ana解：4212nnnaaa4)()(112nnnnaaaa令 则数列 是以4为公差的等差数列
21、 nnnaab1nb2)1(1211aabdnbbn241naabnnn21412 aa22423 aa23434 aa2)1(41naann两边分别相加得：)1(2)1(321 41nnaan3422naan例10，已知 ，且 ，求 。21a0na)(211Nnaaaannnnna解：即 0211nnnnnaaaaa且2111nnaa7111nnaa 令 ，则数列 是公差为-2的等差数列 因此nnab1nbdnbbn)1(1 245)1(2111nnaannan452作业作业2.已知已知an中中,an+1=an+(nN*),a1=1,求通项求通项an12121nn1.已知已知an中中,a1a2a3an=n2+n(nN*),求通项求通项an4.已知已知an中中,a1=3,且且an+1=an2(nN*),则则 an的通项的通项 公式公式an=_3.已知已知an中中,a1=1,an=n(an+1 an )(nN*),求求an 的通项公式的通项公式an5.已知已知an中中,a1=1,求通项求通项annnnnaaa11(提示:作倒数变换)备选例题备选例题
