1、阶段方法技巧训练（三）阶段方法技巧训练（三）专训专训3 3 四边形的性质与四边形的性质与判定的灵活运用判定的灵活运用习题课习题课 特殊平行四边形的性质区别主要从边、角及对角特殊平行四边形的性质区别主要从边、角及对角线三个方面进行区分；而判定主要从建立在其他特殊线三个方面进行区分；而判定主要从建立在其他特殊四边形的基础上再附加什么条件方面进行判定四边形的基础上再附加什么条件方面进行判定1类型类型矩形的综合性问题矩形的综合性问题1【2016贺州贺州】如图，】如图，AC是矩形是矩形ABCD的对角线，过的对角线，过 AC的中点的中点O作作EFAC，交，交BC于点于点E，交，交AD于点于点F，连接连接A
2、E，CF.求证：四边形求证：四边形AECF是菱形是菱形a矩形性质的应用矩形性质的应用证明：证明：O是是AC的中点，的中点，EFAC，AFCF，AECE，AOCO.四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ADBC.AFECEF.在在AOF和和COE中，中，AOF COE.AFCE.AFCFCEAE.四边形四边形AECF是菱形是菱形,AFOCEOAOFCOEAOCO 2如图，点如图，点O是菱形是菱形ABCD对角线的交点，对角线的交点，DEAC，CEBD，连接，连接OE.求证：求证：(1)四边形四边形OCED是矩形；是矩形；(2)OEBC.b矩形矩形判定判定的应用的应用证明：证明：(1)DEAC，CEB
3、D，四边形四边形OCED是平行四边形是平行四边形 四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ACBD.DOC90.四边形四边形OCED是矩形是矩形(2)四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，BCCD.四边形四边形OCED是矩形，是矩形，OECD.OEBC.3问题情境：如图问题情境：如图，四边形，四边形ABCD是正方形，是正方形，M是是BC边边 上的一点，上的一点，E是是CD边的中点，边的中点，AE平分平分DAM.探究展示：探究展示：(1)求证：求证：AMADMC.(2)AMDEBM是否成立？是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 (3)若四边形若四边
4、形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件是长与宽不相等的矩形，其他条件 不变，如图不变，如图，探究展示，探究展示(1)(2)中的结论是否成立中的结论是否成立 请分别作出判断，不需要证明请分别作出判断，不需要证明c矩形矩形性质和判定性质和判定的应用的应用证明：证明：(1)延长延长AE，BC交于点交于点N，如图，如图所示所示因为四边形因为四边形ABCD是正方形，是正方形，所以所以ADBC，所以，所以DAEENC.因为因为AE平分平分DAM，所以所以DAEMAE，所以所以ENCMAE，所以，所以AMMN.在在ADE和和NCE中，中，所以所以ADE NCE(AAS)，所以，所以ADNC，所以所以AMM
5、NNCMCADMC.,DAECNEAEDNECDECE 解：解：(2)AMDEBM成立成立 证明：过点证明：过点A作作AFAE，交，交CB的延长线于点的延长线于点F，如图如图所示，因为四边形所示，因为四边形ABCD是正方形，是正方形，所以所以BADDABC90，ABAD，ABDC，因为因为AFAE，所以，所以FAE90，所以所以FAB90BAEDAE，在在ABF和和ADE中，中，,90,FABEADABADABFD 所以所以ABF ADE(ASA)，所以所以BFDE，FAED.因为因为ABDC，所以，所以AEDBAE，因为因为FABEADEAM，所以所以AEDBAEBAMEAMBAMFABFA
6、M，所以所以FFAM，所以，所以AMFM，所以所以AMFBBMDEBM.解：解：(3)结论结论AMADMC仍然成立；仍然成立；结论结论AMDEBM不成立不成立2菱形的综合性问题菱形的综合性问题类型类型4已知：如图，在菱形已知：如图，在菱形ABCD中，中，F是是BC上任意一点，上任意一点，连接连接AF交对角线交对角线BD于点于点E，连接，连接EC.(1)求证：求证：AEEC.(2)当当ABC60，CEF60时，时，点点F在线段在线段BC上的什么位置？并说上的什么位置？并说 明理由明理由a菱菱形形性质性质的应用的应用(1)连接连接AC，如图如图 BD是菱形是菱形ABCD的对角线，的对角线，BD是线
7、段是线段AC的垂直平分线，的垂直平分线，AEEC.证明：证明：(2)点点F是线段是线段BC的中点的中点 理由：理由：四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ABCB.又又ABC60，ABC是等边三角形，是等边三角形，BAC60.AEEC，EACACE.CEF60，EAC30，EACEAB.AF是是ABC的角平分线的角平分线BFCF.点点F是线段是线段BC的中点的中点解：解：5如图，在如图，在RtABC中，中，B90，BC5 ，C 30.点点D从点从点C出发沿出发沿CA方向以每秒方向以每秒2个单位长的个单位长的 速度向点速度向点A匀速运动，同时点匀速运动，同时点E从点从点A出发沿出发沿AB方向方向
8、以每秒以每秒1个单位长的速度向点个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一匀速运动，当其中一 点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D，E运动的时间是运动的时间是t s(t0)过点过点D作作DFBC于点于点F，连接连接DE，EF.b菱菱形形判定判定的应用的应用3(1)在在DFC中，中，DFC90，C30，DC2t，DFt，又又AEt，AEDF.证明：证明：(1)求证：求证：AEDF.(2)解：能解：能 ABBC，DFBC，AEDF.又又AEDF，四边形四边形AEFD为平行四边形为平行四边形 在在RtABC中，设中，设ABx，则由则由C30，得，得AC2x，
9、由勾股定理，得由勾股定理，得AB2BC2AC2，即即x2(5 )24x2，解得，解得x5(负根舍去负根舍去)，解：解：(2)四边形四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；值；如果不能，请说明理由如果不能，请说明理由3AB5.AC2AB10.ADACDC102t.由已知得点由已知得点D从点从点C运动到点运动到点A的时间为的时间为1025(s)，点点E从点从点A运动到点运动到点B的时间为的时间为515(s)若使若使 AEFD为菱形，则需为菱形，则需AEAD，即即t102t，解得，解得t .符合题意符合题意故当故当t 时，四边形时，四边形AEFD为菱形
10、为菱形 103103(3)当当EDF90时，四边形时，四边形EBFD为矩形为矩形 在在RtAED中，中，ADEC30，AD2AE，即，即102t2t，解得，解得t .符合题意符合题意 当当DEF90时，由时，由(2)知知EFAD，ADEDEF90.A90C60，AED30.AE2AD，即，即t2(102t)，解得，解得t4.符合题意符合题意 当当EFD90时，时，DEF不存在不存在 综上所述，当综上所述，当t 或或4时，时，DEF为直角三角形为直角三角形解：解：(3)当当t为何值时，为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由为直角三角形？请说明理由52526【中考中考江西江西】(1)如图如图，在
11、纸片，在纸片 ABCD中，中，AD 5，S ABCD15.过点过点A作作AEBC，垂足为，垂足为E，沿，沿AE 剪下剪下ABE，将它平移至，将它平移至DCE的位置，拼成四的位置，拼成四 边形边形AEED，则四边形，则四边形AEED的形状为的形状为()A平行四边形平行四边形 B菱形菱形 C矩形矩形 D正方形正方形c菱菱形形性质和判定性质和判定的应用的应用C(2)如图如图，在，在(1)中的四边形纸片中的四边形纸片AEED中，在中，在EE上取上取 一点一点F，使，使EF4，剪下，剪下AEF，将它平移至，将它平移至DEF 的位置，拼成四边形的位置，拼成四边形AFFD.求证：四边形求证：四边形AFFD是
12、菱形；是菱形；求四边形求四边形AFFD的两条对角线的长的两条对角线的长AF DF，四边形四边形AFFD是平行四边形是平行四边形 S ABCDADAE15，AD5，AE3.AE3，EF4，E90，AF 5.AD5，ADAF，四边形四边形AFFD是菱形是菱形证明：证明：222234AEEF如图，连接如图，连接AF，DF，在在RtAEF中，中，AE3，EFEFFF459，由勾股定理可得由勾股定理可得AF3 .在在RtDFE中，中，FEEEEF541，DEAE3，由勾股定理得由勾股定理得DF ，四边形四边形AFFD的两条对角线的长分别是的两条对角线的长分别是 3 和和 .解：解：101010103正方
13、形的综合性问题正方形的综合性问题类型类型7【2017雅安雅安】如图，】如图，E、F是正方形是正方形ABCD的对角线的对角线 AC上的两点，且上的两点，且AECF.(1)求证：四边形求证：四边形BEDF是菱形是菱形 (2)若正方形的边长为若正方形的边长为4，AE ，求菱形求菱形BEDF的面积的面积a正方形性质正方形性质的应用的应用2(1)如图，连接如图，连接BD交交AC于于O，四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，OBOD，OAOC.AECF，OEOF，四边形四边形BEDF是平行四边形是平行四边形 四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ACBD，四边形四边形BEDF是菱形是菱形证明：证明：(
14、2)在正方形在正方形ABCD中，中，DAAB4，BDAC4 ，EFACAECF4 2 ，S菱形菱形BEDF EFBD 2 4 8.解：解：122222222128【2017上海上海】已知：如图，四边形】已知：如图，四边形ABCD中，中，AD BC，ADCD，E是对角线是对角线BD上一点，且上一点，且EAEC.(1)求证：四边形求证：四边形ABCD是菱形；是菱形；(2)如果如果BEBC，且，且CBEBCE23，求证：四边形求证：四边形ABCD是正方形是正方形b正方形判定正方形判定的应用的应用(1)在在ADE与与CDE中，中，ADE CDE，ADECDE.ADBC，ADECBD，CDECBD，BCCD，ADCD，BCAD，四边形四边形ABCD为平行四边形为平行四边形 ADCD，四边形四边形ABCD是菱形是菱形证明：证明：,ADCDDEDEEAEC (2)BEBC，BCEBEC.CBE BCE23，CBE180 45.四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ABE45，ABC90，四边形四边形ABCD是正方形是正方形2233
