1、3-5导数在经济分析中的应导数在经济分析中的应用用一、一、边际与边际分析边际与边际分析二、弹性与弹性分析二、弹性与弹性分析三、经济学中最优值问题三、经济学中最优值问题一、边际与边际分析1.边际成本边际成本)()(qCqqCCqqCqqCqCC)()(设生产设生产q个单位某产品时，总成本为个单位某产品时，总成本为C=C(q)，当产量增量为，当产量增量为q,qqq时，相应的总成本的增量为时，相应的总成本的增量为，在，在平均成本为：平均成本为：)()(qCqCM称为产量为称为产量为q个单位时的边际成本，一般记为：个单位时的边际成本，一般记为：qqCqqCqCq)()(lim)(0则导数则导数例例1
2、设一企业生产某产品的日产量为设一企业生产某产品的日产量为800台，日台，日 产量为产量为q个单位时的总成本函数为：个单位时的总成本函数为：500021.0)(2qqqC求（求（1）产量为）产量为600台时的总成本；台时的总成本；（2）产量为）产量为600台时的平均总成本；台时的平均总成本；（3）产量由）产量由600台增加到台增加到700台时总成本的平均变化率；台时总成本的平均变化率；（4）产量为）产量为600台时的边际成本，并解释其经济意义。台时的边际成本，并解释其经济意义。解解50060026001.0)600()1(2C42200600)600()600()2(CC3211100)600(
3、)700()3(CCqC13226002.0)600()4(MC122 这说明当产量达到这说明当产量达到600台时，再增加一台的产量，总台时，再增加一台的产量，总成本约增加成本约增加122个货币单位。个货币单位。)()(qRqqRRqqRqqRqRR)()(2.边际收入边际收入 设某产品的销售量为设某产品的销售量为q个单位某产品时，总收入为个单位某产品时，总收入为R=R(q)，当产量增量为当产量增量为 q时，在时，在q,q相应的总利润的增量为相应的总利润的增量为平均收入为：平均收入为：).()(qRqRM称为销售量为称为销售量为q个单位时的边际利润，一般记为：个单位时的边际利润，一般记为：qq
4、RqqRqRq)()(lim)(0则导数则导数解解 由已知总收入函数为：由已知总收入函数为：)4130(qqpqR所以销售量为所以销售量为60件时的总收入为：件时的总收入为：元）元）(900)1530(60)60(R销售量为销售量为60件时的平均收入为：件时的平均收入为：件）件）（元（元/1560/)60(RR例例2 设某种电器的需求价格为：设某种电器的需求价格为：q=120-4p 其中其中p为销售为销售价格，价格，q为需求量。求销售量为为需求量。求销售量为60件时的总收入、平均件时的总收入、平均收入以及边际收入。销售量为收入以及边际收入。销售量为70件时，边际收入如何？件时，边际收入如何？并
5、作出相应的经济解释。并作出相应的经济解释。销售量为销售量为60时的边际收入时的边际收入为：为：06030)60()60(21 RRM这说明当销售量为这说明当销售量为60件时，再增加一件的销量不会增加件时，再增加一件的销量不会增加收入。收入。销售量为销售量为70时的边际收入时的边际收入为：为：57030)70()70(21 RRM 这说明当销售量为这说明当销售量为70件时，再增加一件的销量会减件时，再增加一件的销量会减少少5元的收入。元的收入。)()(qLqqLLqqLqqLqLL)()(设某产品的销售量为设某产品的销售量为q个单位某产品时，总收入为个单位某产品时，总收入为RL=L(q)，当产量
6、增量为当产量增量为q时，时，在在q,q+q相应的总利润的增量为相应的总利润的增量为3.边际利润边际利润平均收入为：平均收入为：).()(qRqRM称为销售量为称为销售量为q个单位时的边际收入，一般记为：个单位时的边际收入，一般记为：qqLqqLqLq)()(lim)(0则导数则导数总利润、总收入和总成本有下列关系：总利润、总收入和总成本有下列关系：L(q)=R(q)-C(q).大？销售量为何值时利润最解释。此结论作出经济意义的位时的边际利润，并对个单以及销售量为）该产品的边际利润（；）该产品的总利润函数（件，求元为：如果该件产品销售单价件产品的总成本为：设生产例)3(420)(2)(1/280
7、3.0341500)(q 32qqLqLpqqqCM解解 (1)由已知总收入函数为：由已知总收入函数为：qpqR280所以总利润函数为：所以总利润函数为：（2）销售量为）销售量为60件时的平均收入为：件时的平均收入为：,6.0246)(qqLM23.0341500280)()()(qqqqCqRqL23.02461500qq,64266.0246)420(ML 这说明销售量达到这说明销售量达到420件时，再多销售一件该产品总件时，再多销售一件该产品总利润会减少利润会减少6元。元。（3）令）令,0)(qL,410 （件）（件）得得q,06.0)410(L因为因为所以销售量所以销售量q=410件时
8、，利润最大。件时，利润最大。二、弹性与弹性分析1.弹性函数弹性函数定义定义.)(,)()()()(00000 00000000 0 xxxyxxyyxxyyExxfxxxxxfxfxxfyyxxf 并并记记为为为为弹弹性性点点的的点点弹弹性性，一一般般简简称称在在为为称称的的极极限限之之间间的的弧弧弹弹性性，令令到到称称为为函函数数从从的的比比值值：与与自自变变量量的的相相对对改改变变量量对对改改变变量量处处可可导导，那那么么函函数数的的相相在在设设.)()(lim 000000 0 xfxxfyxxyExxxyx 即即,)()(lim 0 xfxxfyxxyExyx 函数在人一点的弹性函数在
9、人一点的弹性即即称称为为弹弹性性函函数数 一般来说，函数的弹性反映了函数值对自变量的反应的一般来说，函数的弹性反映了函数值对自变量的反应的灵敏程度。灵敏程度。2.需求价格弹性需求价格弹性 设某种商品的需求量为设某种商品的需求量为q，销售价格为销售价格为p，若需求的价格函若需求的价格函数数q=q(p)可导，可导，)()(pqpqppqE 称为商品的需求价格弹性。称为商品的需求价格弹性。一般来说，需求函数是单调下降的，所以一般来说，需求函数是单调下降的，所以 Epq1,则该商品是富有弹性的。则该商品是富有弹性的。%100%100)()(pdpqdqqppqppqE即价格每上升即价格每上升1%，需求
10、量将下降，需求量将下降|Epq|%。ppEppqqRRqp )1(（2）若）若|Epq|=1,则该商品是具有单位弹性的。则该商品是具有单位弹性的。（3）若）若|Epq|1,则该商品是缺乏弹性的。则该商品是缺乏弹性的。的的经经济济解解释释。进进一一步步做做出出相相应应时时的的需需求求价价格格弹弹性性，并并售售价价格格，求求销销数数为为：设设某某商商品品的的需需求求价价格格函函例例5p 4523 peqp解解 8.15.13.09955 ppqpppepeE由于由于18.19 pqpE 所以这是一种富有弹性的商品，价格的变化对需求量有较大的影响，所以这是一种富有弹性的商品，价格的变化对需求量有较大
11、的影响，在在p=9时，价格每上升时，价格每上升10%，需求量下降，需求量下降18%。当价格下降。当价格下降10%，需求，需求量上升量上升18%，总收入上升，总收入上升8%，通过以上分析，当，通过以上分析，当p=9时，应当适当降时，应当适当降价的决策。价的决策。三、经济学中的最优值问题三、经济学中的最优值问题1.最大利润问题最大利润问题设总利润为设总利润为L(q),总成本为总成本为C(q),总收入为总收入为R(q)，有下列关系：有下列关系：L(x)=R(x)-C(x)例例5 如果销售量如果销售量q千克的总利润函数为千克的总利润函数为：4011631)(23qqqqL问销售多少千克能获利最大？问销
12、售多少千克能获利最大？令令0)(qL解：因解：因 为为1112)(2 qqqL)11)(1(qq得得11 1 qq或或因为因为122)(qqL所以所以010)11(,010)1(LL所以所以 q=11 是极大值点，极大值为是极大值点，极大值为万元）万元）(333.121)11(L例例 6 设某企业生产设某企业生产q个单位的总成本函数个单位的总成本函数：qqqqC5010)(23 （2）最小平均成本以及相应的边际成本。）最小平均成本以及相应的边际成本。（1）求使得平均成本）求使得平均成本0)(qC最小。最小。令令0)(qC解：因为（解：因为（1）qqqqqC5010)(23 50102 qq所以所以,102 qC（2）所以）所以25)5(C是极小值。是极小值。得得5 q因为因为02)(qC得唯一的极小值点。得唯一的极小值点。所以所以5 q是是)(qC50)(qC
