1、第十三章第十三章函数列与函数项级数函数列与函数项级数13.1 一致收敛性一一 点态收敛点态收敛二二 函数项级数（或函数序列）的基本问题函数项级数（或函数序列）的基本问题三三 函数项级数（或函数列）的一致收敛性函数项级数（或函数列）的一致收敛性四四 一致收敛性判别一致收敛性判别 五五 小结小结问题的提出问题的提出问题问题:（一）函数项级数的一般概念（一）函数项级数的一般概念1.1.定义定义:,120 xxxnn例如级数例如级数一一 点态收敛点态收敛现在我们将级数的概念从数推广到函数上去.2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域:如果如果Ix 0,数项级数数项级数 10)(nnxu收敛收敛,则则称称0
2、 x为为级级数数)(1xunn 的的收收敛敛点点,否否则则称称为为发发散散点点.所有发散点的全体称为所有发散点的全体称为发散域发散域.函函数数项项级级数数)(1xunn 的的所所有有收收敛敛点点的的全全体体称称为为收收敛敛域域,)()(limxsxsnn 函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项)()()(xsxsxrnn (x在收敛域上在收敛域上)0)(lim xrnn注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上实质上是数项级数的收敛问题是数项级数的收敛问题.3.3.和函数和函数:)()()()(21xuxuxuxsn(定义域是定义域是?),(xsn例例 1 1
3、 求求级级数数nnnxn)11()1(1 的的收收敛敛域域.解解由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx,111)1(x当当,20时时或或即即 xx原级数绝对收敛原级数绝对收敛.,11 x,111)2(x当当,11 x,02时时即即 x原级数发散原级数发散.,0时时当当 x 1)1(nnn级数级数收敛收敛;,2时时当当 x 11nn级数级数发散发散;).,0)2,(故级数的收敛域为故级数的收敛域为,1|1|)3(x当当,20 xx或或4.函数项级数与其部分和函数项级数与其部分和在本质上是完全一致的。二二 函数项级数（或函数序列）的基本问题函数项级数（
4、或函数序列）的基本问题1.极限运算与无限求和运算交换次序问题2.求导运算与无限求和运算交换次序问题求导运算与无限求和运算交换次序问题3.极限运算与无限求和运算交换次序问题极限运算与无限求和运算交换次序问题1.函数列及其一致收敛性函数列及其一致收敛性 三三 函数项级数（或函数列）的一致收敛性函数项级数（或函数列）的一致收敛性2.函数项级数的一致收敛性函数项级数的一致收敛性 设有函数项级数设有函数项级数 1)(nnxu如果对于任意如果对于任意给定的正数给定的正数，都存在着一个只依赖于，都存在着一个只依赖于 的自的自然数然数N，使得当，使得当Nn 时，对区间时，对区间I上的一切上的一切x，都有不等式
5、，都有不等式 )()()(xsxsxrnn成立，则成函数项级数成立，则成函数项级数 1)(nnxu在区间在区间I上一致上一致收敛于和收敛于和)(xs，也称函数序列，也称函数序列)(xsn在区间在区间I上上一致收敛于一致收敛于)(xs定义定义 只要只要n充分大充分大)(Nn ,在区间在区间I上所有曲上所有曲线线)(xsyn 将位于曲线将位于曲线 )(xsy与与 )(xsy之间之间.xyoI )(xsy )(xsy)(xsy )(xsyn 几何解释几何解释:研究级数研究级数 111112111nxnxxxx在区间在区间),0上的一致收敛性上的一致收敛性.例例2 2解解,1)(nxxsn )0(01
6、lim)(lim)(xnxxsxsnnn余项的绝对值余项的绝对值)0(11)()(xnnxxsxsrnn对于任给对于任给0 ，取自然数，取自然数 1 N，则当则当Nn 时，对于区间时，对于区间,0上的一切上的一切x，有有 )(xrn根根据据定定义义，所所给给级级数数在在区区间间,0 上上一一致致收收敛敛于于.0)(xs例例3 3研究级数研究级数 )()()(1232nnxxxxxxx在区间在区间(0,1内的一致收敛性内的一致收敛性.解解 该级数在区间该级数在区间(0,1)内处处收敛于和内处处收敛于和0)(xs，但并不一致收敛但并不一致收敛对于任意一个自然数对于任意一个自然数,n取取nnx21，
7、于是，于是,21)(nnnnxxs,0)(nxs但但.21)()()(nnnnnxsxsxr从而从而只要取只要取21 ，不论，不论n多么大，在多么大，在(0,1)总存在总存在点点nx，,)(nnxr使得使得因此级数在因此级数在(0,1)内不一致连续内不一致连续说明说明:从下图可以看出从下图可以看出:但但虽然函数序列虽然函数序列nnxxs)(在在(0,1)内处处内处处,0)(xs)(xsn在在(0,1)内各点处收内各点处收收敛于收敛于敛于零的敛于零的“快慢快慢”程度是不一致的程度是不一致的oxy(1,1)nnxxsy )(1 n2 n4 n10 n30 n1一致收敛一致收敛上上，这级数在，这级数
8、在注意：对于任意正数注意：对于任意正数,01rr 小结小结一致收敛性与所讨论的区间有关一致收敛性与所讨论的区间有关三一致收敛性判别三一致收敛性判别 定理定理13-1（函数列一致收敛的柯西准则）()()nmfxfx2.一致收敛的柯西准则一致收敛的柯西准则1用定义用定义 2)()(xfxfn22)()()()()()(xfxfxfxfxfxfmnmn)()(xfxfn0)()(suplimxfxfnDxn()()nfxf x由上确界的定义，亦有)()(supxfxfnDx)()(supxfxfnDx)()(sup)()(xfxfxfxfnDxn11,0121,22210,2)(22xnnxnxnn
9、nxxnxfn,2,1nnnfxfxfnnx)21()()(sup 1,0)(n定理定理13-3（函数项级数一致收敛的柯西准则）)()(xSxSnpnlimsup()limsup()()0.nnnnx Dx DRxS xSx定理定理13.513.5（WeierstrassWeierstrass判别法）判别法）如如果果函函数数项项级级数数 1)(nnxu在在区区间间I上上满满足足条条件件:(1)(1)3,2,1()(naxunn;(2)(2)正项级数正项级数 1nna收敛收敛,4.一致收敛性简便的判别法：一致收敛性简便的判别法：证证 由由条条件件(2)，对对任任意意给给定定的的0 ，根根据据柯柯
10、西西审审敛敛原原理理存存在在自自然然数数N，使使得得当当Nn 时时，对对于于任任意意的的自自然然数数p都都有有.221 pnnnaaa由由条条件件(1)，对对任任何何Ix，都都有有)()()(21xuxuxupnnn )()()(21xuxuxupnnn ,221 pnnnaaa令令 p,则则由由上上式式得得 2)(xrn.因因此此函函数数项项级级数数 1)(nnxu在在区区间间I上上一一致致收收敛敛.例例4 4证明级数证明级数 22222sin22sin1sinnxnxx在在),(上一致收敛上一致收敛.证证在在),(内内),3,2,1(1sin222 nnnxn 级级数数 121nn收收敛敛
11、，由由魏魏尔尔斯斯特特拉拉斯斯判判别别法法，所给级数在所给级数在),(内一致收敛内一致收敛（2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛绝对一致收敛的.5.五、小结五、小结点态收敛点态收敛函数项级数（或函数序列）的基本问题函数项级数（或函数序列）的基本问题一致收敛性判别一致收敛性判别 函数项级数（或函数列）的一致收敛性函数项级数（或函数列）的一致收敛性13.2 一致收敛函数列与一致收敛函数列与 函数项级数级数的性质函数项级数级数的性质一一 一致收敛函数列的性质一致收敛函数列的性质 二二 函数项级数的性质函数项级数的性质一一.一致收敛函数列的解析性质一致收敛函数列的解析性质 1 函数及限与序列极限交换定
12、理函数及限与序列极限交换定理0l i mnnnxxfxfxfxa 000limlim(limlimlimlim)nnxxnnxxxx nnaf xfxfx存在即000000,()().xUxxxUxUxxxxx 讨论单侧极限是 只要把以上定理中的与分别改为或与或即可2.连续性定理连续性定理|)()(|)()(|)()(|)()(|0000 xfxfxfxfxfxfxfxfnnnn估计上式右端三项.由一致收敛,第一、三两项 註註 定理定理表明:对于各项都连续且一致收敛)(limlim)(limlim00 xfxfnxxnnnxx即极限次序可换.3.可积性定理可积性定理 lim()lim().bb
13、nnaannfxdxfx dx12,0211()22,210,1nnnnnxxnfxnxxnnxn,2,1n0,1sup()()nnxfxf x 1100100,20lim02nnnnnfx dxfx dxnfx dxn由 于因 此 1,.nnfxf x这样当时,虽然不一致收敛于但可积性定理的结论仍成立 1100,10.2nnnnfxfxfxfx但当时不一致收敛于且也不收敛于4.可微性定理可微性定理 lim()lim().nnnnddfxfxdxdx（对第二项交换极限与积分次序）亦即求导运算与极限运算次序可换.二二 函数项级数的性质函数项级数的性质1.逐项求极限定理逐项求极限定理 01,lim
14、nnnnxxuxUxnuxa在内一致收敛011limnnxxnnuxa2.连续性定理连续性定理定理定理13.1213.12证证 设设xx,0为为 ba,上任意点由上任意点由)()()(),()()(000 xrxsxsxrxsxsnnnn )()()()(00 xrxrxsxsnnnn (1)()()()()()(000 xrxrxsxsxsxsnnnn 级数级数 1)(nnxu一致收敛于一致收敛于)(xs，对对0 ，必必 自自然然数数)(NN ，使使得得当当Nn 时时,对对 ba,上上的的一一切切x都都有有3)(xrn(2).3)(0 xrn同样有同样有故故)(xsn(Nn )在在点点0 x
15、连连续续，(3)0 当当 0 xx时总有时总有 3)()(0 xsxsnn由由(1)、(2)、(3)可见可见,对任给对任给0 ，必有，必有0 ，当当 0 xx时，有时，有.)()(0 xsxs)(xsn是是有有限限项项连连续续函函数数之之和和，所以所以)(xs在点在点0 x处连续，处连续，而而0 x在在ba,上上是是任任意意的的，因因此此)(xs在在ba,上上连连续续定理定理13.1313.13 如果级数如果级数 1)(nnxu的各项的各项)(xun在区间在区间 ba,上都连续上都连续,且且 1)(nnxu在区间在区间 ba,上一上一致收敛于致收敛于)(xs,则则)(xs在在 ba,上可以逐项
16、积分上可以逐项积分,即即 xxxxxxdxxudxxudxxs000)()()(21 xxndxxu0)(其其 中中bxxa 0,并并 且且上上 式式 右右 端端的的 级级 数数 在在 ba,上上也也一一致致收收敛敛.(4)3.逐项求积定理逐项求积定理证证 级数级数 1)(nnxu在在ba,一致收敛于一致收敛于)(xs,由定理由定理 1,)(xs，)(xrn都在都在ba,上连续，上连续，所以积分所以积分 xxdxxs0)(，xxndxxr0)(存在存在,从而有从而有 xxnxxdxxsdxxs00)()(xxndxxr0)(.)(0 xxndxxr又又 由由 级级 数数的的 一一 致致收收 敛
17、敛 性性,对对 任任 给给 正正 数数 必必 有有)(NN 使使得得当当Nn 时时,对对ba,上上的的一一切切x,都都有有.)(abxrn xxnxxdxxsdxxs00)()(xxndxxr0)(0().xxba根据极限定义，有根据极限定义，有 nixxnnxxnnxxdxxudxxsdxxs1000)(lim)(lim)(即即 100)()(ixxixxdxxudxxs由于由于N只依赖于只依赖于 而于而于xx,0无关，无关，所以级数所以级数 10)(ixxidxxu在在ba,上一致收敛上一致收敛.于于是是，当当Nn 时时有有定理定理13.1413.14 如果级数如果级数 1)(nnxu在区
18、间在区间 ba,上收敛上收敛于和于和)(xs，它的各项，它的各项)(xun都具有连续导数都具有连续导数)(xun，并且级数，并且级数 1)(nnxu在在 ba,上一致收敛，上一致收敛，则级数则级数 1)(nnxu在在 ba,上也一致收敛，且可逐上也一致收敛，且可逐项求导，即项求导，即 )()()()(21xuxuxuxsn(5)4.逐项求导定理逐项求导定理注意注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数例如，级数 22222sin22sin1sinnxnxx在任何区间在任何区间,ba上都是一致收敛的上都是一致收敛的.逐项求导后得级数逐项求导后得级数,c
19、os2coscos22 xnxx.,发散的发散的都是都是所以对于任意值所以对于任意值因其一般项不趋于零因其一般项不趋于零x所以原级数不可以逐项求导所以原级数不可以逐项求导第十三章习题课第十三章习题课二、典型例题二、典型例题一、函数项级数一、函数项级数(1)(1)定义定义设设),(,),(),(21xuxuxun是是定定义义在在RI 上上的的函函数数,则则 )()()()(211xuxuxuxunnn称称为为定定义义在在区区间间I上上的的(函函数数项项)无无穷穷级级数数.(2)(2)收敛点与收敛域收敛点与收敛域如如果果Ix 0,数数项项级级数数 10)(nnxu收收敛敛,则称则称0 x为级数为级
20、数)(1xunn 的的收敛点收敛点,否否则则称称为为发发散散点点.所有发散点的全体称为所有发散点的全体称为发散域发散域.函数项级数函数项级数)(1xunn 的所有收敛点的全体称为的所有收敛点的全体称为收敛域收敛域,(3)(3)和函数和函数在收敛域上在收敛域上,函数项级数的和是函数项级数的和是x的函数的函数)(xs,称称)(xs为函数项级数的为函数项级数的和函数和函数.函数项级数的一致收敛性函数项级数的一致收敛性 设有函数项级数设有函数项级数 1)(nnxu如果对于任意如果对于任意给定的正数给定的正数，都存在着一个只依赖于，都存在着一个只依赖于 的自的自然数然数N，使得当，使得当Nn 时，对区间
21、时，对区间I上的一切上的一切x，都有不等式，都有不等式 )()()(xsxsxrnn成立，则成函数项级数成立，则成函数项级数 1)(nnxu在区间在区间I上一致上一致收敛于和收敛于和)(xs，也称函数序列，也称函数序列)(xsn在区间在区间I上上一致收敛于一致收敛于)(xs定义定义定理（魏尔斯特拉斯定理（魏尔斯特拉斯(Weierstrass)(Weierstrass)判别法）判别法）如如果果函函数数项项级级数数 1)(nnxu在在区区间间I上上满满足足条条件件:(1)(1)3,2,1()(naxunn;(2)(2)正项级数正项级数 1nna收敛收敛,则则函函数数项项级级数数 1)(nnxu在在
22、区区间间I上上一一致致收收敛敛.一致收敛性简便的判别法：一致收敛性简便的判别法：一致收敛级数的基本性质一致收敛级数的基本性质定理定理1 1 如果级数如果级数 1)(nnxu的各项的各项)(xun在区间在区间 ba,上都连续上都连续,且且 1)(nnxu在区间在区间 ba,上一上一致收敛于致收敛于)(xs,则则)(xs在在 ba,上也连续上也连续.定理定理2 2 如果级数如果级数 1)(nnxu的各项的各项)(xun在区间在区间 ba,上都连续上都连续,且且 1)(nnxu在区间在区间 ba,上一上一致收敛于致收敛于)(xs,则则)(xs在在 ba,上可以逐项积分上可以逐项积分,即即 xxxxx
23、xdxxudxxudxxs000)()()(21 xxndxxu0)(其其 中中bxxa 0,并并 且且上上 式式 右右 端端的的 级级 数数 在在 ba,上上也也一一致致收收敛敛.(4)定理定理3 3 如果级数如果级数 1)(nnxu在区间在区间 ba,上收敛上收敛于和于和)(xs，它的各项，它的各项)(xun都具有连续导数都具有连续导数)(xun，并且级数，并且级数 1)(nnxu在在 ba,上一致收敛，上一致收敛，则级数则级数 1)(nnxu在在 ba,上也一致收敛，且可逐上也一致收敛，且可逐项求导，即项求导，即 )()()()(21xuxuxuxsn(5)注意注意:级数一致收敛并不能保
24、证可以逐项求导级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数例如，级数 22222sin22sin1sinnxnxx在任何区间在任何区间,ba上都是一致收敛的上都是一致收敛的.逐项求导后得级数逐项求导后得级数,cos2coscos22 xnxx.,发散的发散的都是都是所以对于任意值所以对于任意值因其一般项不趋于零因其一般项不趋于零x所以原级数不可以逐项求导所以原级数不可以逐项求导例例 1 1 求求级级数数nnnxn)11()1(1 的的收收敛敛域域.解解由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx,111)1(x当当,20时时或或即即 xx原级数绝对收敛
25、原级数绝对收敛.,11 x二、典型例题二、典型例题,111)2(x当当,11 x,02时时即即 x原级数发散原级数发散.,0时时当当 x 1)1(nnn级数级数收敛收敛;,2时时当当 x 11nn级数级数发散发散;).,0)2,(故级数的收敛域为故级数的收敛域为,1|1|)3(x当当,20 xx或或 研究级数研究级数 111112111nxnxxxx在区间在区间),0上的一致收敛性上的一致收敛性.例例2 2解解,1)(nxxsn )0(01lim)(lim)(xnxxsxsnnn余项的绝对值余项的绝对值)0(11)()(xnnxxsxsrnn对于任给对于任给0 ，取自然数，取自然数 1 N，则
26、当则当Nn 时，对于区间时，对于区间,0上的一切上的一切x，有有 )(xrn根根据据定定义义，所所给给级级数数在在区区间间,0 上上一一致致收收敛敛于于.0)(xs例例3 3研究级数研究级数 )()()(1232nnxxxxxxx在区间在区间(0,1内的一致收敛性内的一致收敛性.解解 该级数在区间该级数在区间(0,1)内处处收敛于和内处处收敛于和0)(xs，但并不一致收敛但并不一致收敛对于任意一个自然数对于任意一个自然数,n取取nnx21，于是，于是,21)(nnnnxxs,0)(nxs但但.21)()()(nnnnnxsxsxr从而从而只要取只要取21 ，不论，不论n多么大，在多么大，在(0
27、,1)总存在总存在点点nx，,)(nnxr使得使得因此级数在因此级数在(0,1)内不一致连续内不一致连续说明说明:从下图可以看出从下图可以看出:但但虽然函数序列虽然函数序列nnxxs)(在在(0,1)内处处内处处,0)(xs)(xsn在在(0,1)内各点处收内各点处收收敛于收敛于敛于零的敛于零的“快慢快慢”程度是不一致的程度是不一致的证证在在),(内内),3,2,1(1sin222 nnnxn 级级数数 121nn收收敛敛，由由魏魏尔尔斯斯特特拉拉斯斯判判别别法法，所给级数在所给级数在),(内一致收敛内一致收敛例例4 4证明级数证明级数 22222sin22sin1sinnxnxx在在),(上一致收敛上一致收敛.)1)(1(0敛域及和函数敛域及和函数收收求级数求级数 nnxn例例5 5解解,1)1)(1(0 Rxnnn敛半径为敛半径为的收的收,111 x收敛域为收敛域为,20 x即即则有则有设此级数的和函数为设此级数的和函数为),(xs.)1)(1()(0 nnxnxs两边逐项积分两边逐项积分 011)1(nxnx 011)1)(1()(nxnxdxxndxxs 01)1(nnx)1(11 xx,21xx 求导，得求导，得两边再对两边再对 x)21()(xxxs.)2(12x
