1、20142014 年河南省高中数学优质课评比年河南省高中数学优质课评比 独立性检验的基本思想及其初步应用独立性检验的基本思想及其初步应用 教学设计教学设计 赵剑涛赵剑涛 洛阳市孟津县第一高级中学洛阳市孟津县第一高级中学 2 3.2.1 独立性检验的基本思想及其初步应用教学设计 洛阳市孟津县第一高级中学 赵剑涛 【教学目标】 1.知识与技能：通过对典型案例的探究,了解独立性检验的基本思想，会对两个分类变 量进行独立性检验，明确独立性检验的基本步骤，并能解决实际问题。 2.过程与方法：通过设置问题，引导学生自主发现、合作探究、归纳展示、质疑对抗， 使学生成为课堂主体。 3.情感、态度与价值观：通过
2、本节课学习，让学生体会统计方法在决策中的作用；合作 探究的学习过程，使学生感受发现、探索的乐趣及成功展示的成就感， 培养学生学习数学知识的积极态度。 【教学重点】 了解独立性检验的基本思想及实施步骤。 【教学难点】 独立性检验的基本思想；随机变量 2 K的含义。 【学情分析】 本节课是在学习了统计、 回归分析的基本思想及初步应用后， 利用独立性检验进一步分 析两个分类变量之间是否有关系，为以后学习统计理论奠定基础。 【教学方式】 多媒体辅助，合作探究式教学。 【教学过程】 一一、情境引入，提出问题情境引入，提出问题 请看视频： 设计意图说明设计意图说明 好的课堂情景引入，能激发学生的求知欲，是
3、新问题能够顺利解决的前提之一。 3 问题 1、你认为吸烟与患肺癌有关系吗？怎样用数学知识说明呢？ 设计意图说明设计意图说明 提出问题，引导学生自主探究，指明方向，步步深入。 二二、阅读教材，、阅读教材，探究新知探究新知 1.分类变量 对于性别变量，其取值为男和女两种： 设计意图说明设计意图说明 利用图像向学生展示变量的不同取值，更加形象的表示分类变量的概念。 这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量。 生活中有很多这样的分类变量如： 是否吸烟 宗教信仰 国籍 民族 2.列联表 为研究吸烟是否对患肺癌有影响， 某肿瘤研究所随机地调查了 9965 人， 得到如下结果：
4、4 表 37 吸烟与患肺癌列联表 单位：人 不患肺癌 患肺癌 总计 不吸烟 7775 42 7817 吸烟 2099 49 2148 总计 9874 91 9965 这样列出的两个分类变量的频数表， 称为列联表 （一般我们只研究每个分类变量只取两 个值，这样的列联表称为22列联表） 。 问题问题 1 1、吸烟与患肺癌有关系吗？ 由以上列联表，我们估计在不吸烟者中患肺癌的比例为_； 在吸烟者中患肺癌的比例为 。 因此，直观上可以得到结论：吸烟群体和不吸烟群体患肺癌的可能性存在差异。 还有其它方法来判断吸烟和患肺癌有关呢？ 3.等高条形图 比较图中两个深色条的高可以发现， 在吸烟样本中患肺癌的频率
5、要高一些， 因此直观上 可以认为吸烟更容易引发肺癌。 设计意图说明设计意图说明 从具体的事例出发引入概念，有利于帮助学生对概念的理解。 三、小组讨论，合作交流三、小组讨论，合作交流 问题问题 2 2、你有多大程度判断吸烟与患肺癌有关？用什么方法进行检验呢？ 我们先假设 0 H:吸烟与患肺癌没有关系。 用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患 肺癌独立” ，即假设 0 H等价于：)()()(BPAPABP 上述列联表中的数字用字母代替，可得如下列联表： 5 表 38 吸烟与患肺癌列联表 单位：人 不患肺癌 患肺癌 总计 不吸烟 a b ba 吸烟 c d dc
6、总计 ca db dcba 则有 n a ABP)(， n dc BP n ba AP )(,)(，其中dcban为样本容量 所以在 0 H成立的条件下应该有： n dc n ba n a 即 )()()(dcbaadcba 即 bcad 探究：探究：bcad 的大小能说明了什么？ bcad 越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；bcad 越大，说明吸烟与患肺癌 之间关系越强。 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准， 基于上面的分析， 我们构造一个随机变 量 )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K (1) 其中dcban为样本容量。 探究：探究： 2 K的大小能说明什么
7、？ 若 0 H成立，即“吸烟与患肺癌没有关系” ，则 2 K应该很小。根据表 37 中的数据， 利用公式（1）计算得到 2 K的观测值为 632.56 91987421487817 )209942497775(9965 2 k 探究：探究：632.56 91987421487817 )209942497775(9965 2 k这个值到底能告诉我们什么 呢？ 统计学家经过研究后发现，在 0 H成立的情况下， 01. 0)635. 6( 2 KP (2) 6 (2）式说明，在 0 H成立的情况下， 2 K的观测值超过 6. 635 的概率非常小，近似为 0.01，是一个小概率事件。 现在 2 K的
8、观测值632.56k，远远大于 6.635，所以有理由断定 0 H不成立，即认为 “吸烟与患肺癌有关系” 。 但这种判断会犯错误， 犯错误的概率不会超过 0.01， 即我们有 99% 的把握认为“吸烟与患肺癌有关系” 。 在上述过程中，实际上是借助于随机变量 2 K的观测值k建立了一个判断 0 H是否成立 的规则： 如果k6. 635，就判断 0 H不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断 0 H成 立，即认为吸烟与患肺癌没有关系。 在该规则下， 把结论 “ 0 H成立” 错判成 “ 0 H不成立” 的概率不会超过01. 0)635. 6( 2 KP, 即有 99%的把握认为 0 H不成
9、立。 设计意图说明设计意图说明 独立性检验的思想是本节课的教学重点，通过层层设疑，把学生推向问题的中心，学生 不仅能够直观感受，更是直接参与讨论和总结，从而让学生理解独立性检验的基本思想，突 破本节课难点，培养学生的分析、探究、归纳能力以及小组协作的意识。 四、形成概念，重点精讲四、形成概念，重点精讲 上面解决问题的想法类似于反证法。要判断“两个分类变量有关系” ，首先假设该结论 不成立，即 0 H：两个分类变量没有关系 成立。在该假设下我们所构造的随机变量 2 K应该很小。如果由观测数据计算得到的 2 K的 观测值k很大，则在一定可信程度上说明 0 H不成立，即在一定可信程度上认为“两个分类
10、 变量有关系” ；如果k的值很小，则说明在样本数据中没有发现足够的证据拒绝 0 H。 怎样判断 2 K的观测值k是大还是小呢？这仅需确定一个正数 0 k，当 0 kk 时就认为 2 K的观测值k大。此时相应于 0 k的判断规则为：如果 0 kk ，就认为“两个分类变量之间 有关系” ；否则就认为“两个分类变量之间没有关系” 。我们称这样的 0 k为一个判断规则的 7 临界值。按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量之 间有关系”的概率不超过)( 0 2 kKP。 在实际应用中，我们把 0 kk 解释为有%100)(1 ( 0 2 kKP的把握认为“两个分 类变量之
11、间有关系” ； 把 0 kk 解释为没有%100)(1 ( 0 2 kKP的把握认为 “两个分类 变量之间有关系” ，或者样本观测数据没有提供“两个分类变量之间有关系”的充分证据。 上面这种利用随机变量 2 K来判断“两个分类变量有关系”的方法，称为独立性检验独立性检验。 根据上述， “独立性检验”的具体做法步骤为： 第一步：根据实际问题需要的可信程度确定临界值 0 k； 第二步：利用公式计算随机变量 2 K的观测值k； 第三步：比较k与 0 k的大小得出结论。 在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值 0 k： 表 3-11 临界值表 )( 0 2 kKP 0.50 0.40 0
12、.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.897 10.828 五、五、运用运用新知，新知，归纳归纳展示展示 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随机 抽取 500 名学生，得到如下列联表： 单位：人 喜欢数学课程 不喜欢数学课程 总计 男 104 128 232 女 95 173 268 总计 199 301 500 能够有 95的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？ 解：根据列联表中的数据，
13、得到 301199268232 )95128173104(500 2 k5663. 4 841. 35663. 4 所以，能够有 95的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系” 。 设计意图说明设计意图说明 8 学以致用，学生对独立性检验进行实际应用。通过学生展示，一方面巩固了知识，体现 了数学在实际中的应用，另一方面暴露了学生的书写不规范问题，加强规范要求。 六、六、课堂检测，课堂检测，节节达标节节达标 1.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 （ ） A.若635. 6 2 K,则有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关，那么 100 名吸烟者中，有 99 个患肺病。 B.从独
14、立性检验可知,有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关时,可以说某人吸烟,那么 他有 99%的可能性患肺病。 C.若从统计数据中求出有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关， 是指有 5%的可能性使推 断出现错误。 D.以上三种说法都不对。 2.为了研究高中生的数学成绩和物理成绩的关系,在某校随机抽取部分学生调查,得到 如下列联表： 单位：人 物理好 物理差 合计 数学好 104 96 200 数学差 56 94 150 合计 160 190 350 根据抽查数据，你能够有 99%把握认为高中生的数学成绩与物理成绩之间有关系吗？请 阐明得出结论的依据。 设计意图说明设计意图说明 通过目标检测结果性评价
15、来激发学生的学习兴趣，提高课堂效率，及时反馈学生信息， 了解学生的学习效果。 七、七、归纳小结，提炼精髓归纳小结，提炼精髓 1了解 22 列联表的意义并能识别等高条形图； 2了解独立性检验的基本思想； 3了解独立性检验的操作步骤。 设计意图说明设计意图说明 通过回忆、归纳、总结，强调重点知识，体现课标精神，达到教学目的。 八、八、课后课后作业作业，自主学习，自主学习 必做题：课本 97 P 习题 3.2 第 1 题 选做题：课本 101 P 复习参考题 A 组 第 3 题 设计意图说明设计意图说明 巩固本节课基础知识，加深知识的应用。作业分为必做题和选做题，满足不同层次学生 9 的需求。 【板书设计板书设计】 【教学评价与反思】 教学过程始终贯彻以学生为主体的探究式学习，学生思考、探究、讨论，得出解决问题 的思路并完成落实， 总结出解题的一般步骤， 教师只起到提出问题， 适时点评、 提升的作用。 通过课堂检测，及时反馈学生学习效果，达到了教学目标。课堂上处处以学生为主体，体现 高效课堂本质，相比传统课堂效果更好，培养了学生能力，体现课标精神。 3.2.1 独立性检验的基本思想及其初步应用独立性检验的基本思想及其初步应用 1、分类变量、分类变量 学生学生展示展示探究成果探究成果 2、列联表、列联表 3、等高条形图、等高条形图 4、卡方统计量卡方统计量
