1、返回返回上页上页下页下页目录目录第二节第二节 二重积分的计算方法二重积分的计算方法 第八章第八章(Calculation of Double Integral)一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分三、小结与思考练习三、小结与思考练习11/26/20221返回返回上页上页下页下页目录目录解法解法:类似定积分解决问题的思想:复习复习.求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积 I给定曲顶柱体:0),(yxfz底：底：xoy 面上的闭区域 D顶顶:连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面求体积.“大化小,常代变,
2、近似和,求极限”D),(yxfz(,)dDf x ynkkkkfI10),(lim记作(,)d.Df x yxdy记作11/26/20222返回返回上页上页下页下页目录目录一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分xbad 曲顶柱体的底底为bxaxyxyxD)()(),(21任取0,a bx 平面0 xx 故曲顶柱体体积曲顶柱体体积为DyxfVd),(0021()()00()(,)dxxAf xyyx截面积截面积为21()()(,)dxxxfyyd()baxAx截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD设曲顶柱体的顶顶为(,)0zf x yX型区域型区域11/26/2022
3、3返回返回上页上页下页下页目录目录（3)求二次积分（注意不要代错了变元）求二次积分（注意不要代错了变元）11/26/20224返回返回上页上页下页下页目录目录ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同样,若曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(21()()(,)dyyf xxy21()()(,)dyyf xxydcydY型区域型区域11/26/20225返回返回上页上页下页下页目录目录oxyDyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序选择积分序,必要时还可以交换积分序交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有x)
4、(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2)若积分域较复杂,可将它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域,321DDDD则 说明说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,11/26/20226返回返回上页上页下页下页目录目录),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非负均非负DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上变号变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于Dyxyxfdd),(2当被积函数补充说明（课本没有）：补充说明（课本没有）：11/26/2022
5、7返回返回上页上页下页下页目录目录,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解解:令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224例例3.计算11/26/20228返回返回上页上页下页下页目录目录,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域.解解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy845Dxy22
6、xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线则 例例4 计算11/26/20229返回返回上页上页下页下页目录目录axy2解：解：原式ay0daay2d22xaxy22yaax例例5.给定的次序.)0(d),(d20222ayyxfxIaaxxaxay0d2222d),(yaaayxyxfayaaxyxf222d),(aayxyxf222d),(ayx22a2a2aoxy改变积分11/26/202210返回返回上页上页下页下页目录目录例例6.设,1,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示:交换积分顺序后,x,y互换oyx1xy 1yxIxy
7、fxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A11/26/202211返回返回上页上页下页下页目录目录例例7 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.xyzRRo解解:设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxD11/26/202212返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结直角坐标系情形直角坐标系情形:若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则xy)(1yxx Ddc)(2yxx)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy)(2xyy xybaD11/26/202213返回返回上页上页下页下页目录目录课外练习课外练习习题习题82 第一次作业第一次作业 2;3(3)(4);4(2)(4)(6)；6；11/26/202214
