1、一、概率的统计定义一、概率的统计定义1.3 频率与概率二、概率的公理化定义二、概率的公理化定义三、概率的性质三、概率的性质历史上概率的三次定义历史上概率的三次定义 公理化定义 古典定义 统计定义概率的最初定义基于频率的定义1930年后由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出).(,.,AfAnnAnAnnnAA成成并记并记发生的频率发生的频率称为事件称为事件比值比值生的频数生的频数发发称为事件称为事件发生的次数发生的次数事件事件次试验中次试验中在这在这次试验次试验进行了进行了在相同的条件下在相同的条件下1.定义定义（一）、频率的定义与性质 一、概率的统计定义2.性质性质设设 A 是随机试验是随机试验 E
2、 的任一事件的任一事件,则则;0)(,1)()2(;1)(0)1(nnnffAf).()()()(,)3(212121knnnkkAfAfAfAAAfAAA 则则是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件若若实验者实验者德德.摩根摩根蒲丰蒲丰K.皮尔逊皮尔逊K.皮尔逊皮尔逊nHnf204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005)(Hf的增大的增大n.21重要结论重要结论频率当频率当 n 较小时波动幅度比较大较小时波动幅度比较大,当当 n 逐渐增逐渐增大时大时,频率趋于稳定值频率趋于稳定值,这个稳定值从本质上反映这个稳定值从本
3、质上反映了事件在试验中出现可能性的大小了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的它就是事件的概率概率.（二）、概率的统计定义在随机试验中在随机试验中,若事件若事件A出现的频率出现的频率m/n随随210PP()(),();1.1.定义定义0()1;p A(1)对任一事件对任一事件A,有有性质性质 (概率统计定义的性质概率统计定义的性质)01p则定义事件则定义事件A的概率为的概率为p,记作记作P(A)=)=p.着试验次数着试验次数n的增加的增加,趋于某一常数趋于某一常数p,)A(P)A(P)A(P)AAA(P,A,A,A)(mmm 2121213个事件个事件对于两两互斥的有限多对于两两互斥的有限
4、多 二、概率的公理化定义二、概率的公理化定义;)(,:(2)1 P 有有对于必然事件对于必然事件规范性规范性则则有有即即对对于于事事件件是是两两两两互互不不相相容容的的设设,2,1,:(3)21 jiAAjiAAji可可列列可可加加性性 )()()(2121APAPAAP概率的可列可加性概率的可列可加性;0)(,:(1)APA 有有对于每一个事件对于每一个事件性性非负,.,(),.():EEAP AAP设 是随机试验是它得样本空间对于 的每一事件 赋予一个实数 记为称为事件的概率如果集合函数满足下列条件(1)()0.P 概率的其他性质概率的其他性质概率的有限可加性概率的有限可加性则则有有是是两
5、两两两互互不不相相容容的的事事件件若若,)2(21nAAA).()()()(2121nnAPAPAPAAAP ).()()(),()(,)3(APBPABPBPAPBABA 则则且且为两个事件为两个事件设设).(1)(,)4(APA PAA 则则的对立事件的对立事件是是设设).()()()(,)()5(ABPBPAPBAPBA 有有对于任意两事件对于任意两事件加法公式加法公式推广推广 三个事件和的情况三个事件和的情况)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP 例例 设A,B满足 P(A)=0.6,P(B)=0.7,在何条件下，
6、P(AB)取得最大(小)值？最大(小)值是多少？例3 已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/8 则事件A,B,C 全不发生的概率为 .例4 已知事件A,B互不相容，P(A)=0.3,P(B)=0.5,则()_,()_,P A BP A B()_,()_.P ABP AB 例5 已知求(),(),(),()P ABP ABP ABP A B()0.5,()0.2,()0.4,P AP A BP BBorn:25 April 1903 in Tambov,Tambov province,RussiaDied:20 Oct 1987 in Moscow,Russia柯尔莫哥洛夫资料Andrey NikolaevichKolmogorov
