1、第九章第九章 回归模型的函数形式回归模型的函数形式（可线性化的非线性模型的估计）（可线性化的非线性模型的估计）典型的可线性化的非线性模型典型的可线性化的非线性模型 1倒数模型 2多项式模型 3半对数模型：4双（边）对数模型可线性化模型 在非线性回归模型中，有一些模型经过适当的变量变换或函数变换就可以转化成线性回归模型，从而将非线性回归模型的参数估计问题转化成线性回归模型的参数估计，称这类模型为可线性化模型。1对数模型（或对数-对数模型）模型形式：lnY=b0+b1lnX+u (对数-对数模型）lnY=b0+b1lnX+u (对数-对数模型）对数-对数模型特点：b1表示当X每变动1个相对量时（而
2、X变动1个相对量，用符号表达就是X/X，用数据表达就是1%），Y将变动一个相对量，这个相对量用 Y/Y表示。然后，将(Y/Y)除以(X/X)，即将(Y/Y)除以1%，就等于b1。那么(Y/Y)=b1*1%=b1%也就是说，当X每变动1%时，Y变动的百分比为b1%。注：b1=(Y/Y)/(X/X)模型适用对象：模型适用对象：对观测值取对数，将取对数后的观测值（lnx，lny）描成散点图，如果近似为一条直线，则适合于对数线性模型来描述x与y的变量关系。容易推广到模型中存在多个解释变量的情形。例如，柯布道格拉斯生产函数形式：例3.4.1 根据表3.4.1给出的1980-2019年间总产出(用国内生产
3、总值GDP度量，单位：亿元)，劳动投入L(用从业人员度量，单位为万人)，以及资本投入K(用全社会固定投资度量，单位：亿元)。建立我国的柯布道格拉斯生产函数。表3.4.1 1980-2019年中国GDP、劳动投入与资本投入数据年份GDPLK19804517.842361910.919814862.443725961.019825294.7452951230.419835934.5464361430.119847171.0481971832.919858964.4498732543.2198610202.2512823120.6年份GDPLK198711962.5527833791.7198814
4、928.3543344753.8198916909.2553294410.4199018547.9639094517.0199121617.8647995594.5199226638.1655548080.1199334634.46637313072.3199446759.46719917042.1201958478.16794720199.3201967884.66885022913.5201974462.66960024941.1201978345.26995728406.2201982067.57139429854.7200089442.27208532917.7201995933.37
5、302537213.52019102398.07374043499.92019117251.97443255566.6柯布-道格拉斯生产函数eviews估计过程数据输入：GDP、L、K生成新序列 lnGDP生成新序列lnK生成新序列lnLWorkfile中可见新生成的序列利用新生成的序列进行回归回归输出结果模型通过整体显著性检验（R2以及F值都很大），变量都通过显著性检验（t值较大），唯有截距项未通过显著性检验，但为了探讨的需要，我们仍然保留截距项。5.2732660.806863*0.729732*LNGDPLnLLnK 回归结果的公式表达0.806863表示产出对劳动投入的弹性，即在资本投
6、入保持不变的情况下，劳动投入每增加一个百分点，产出（GDP）将平均增加0.806863个百分点，即0.81%0.729732表示产出对资本投入的弹性，即在劳动投入保持不变的情况下，资本投入每增加一个百分点，产出（GDP）将平均增加0.729732个百分点，即0.73%.因为LnA=-5.273266,所以A=e-5.273266=0.806863,=0.729732但如何将回归的模型转化为原始的模式呢？即转化为GDP=ALK 的形式。5.2732660.8068630.729732GDPeLK 2半对数模型 在对经济变量的变动规律研究中，测定其增长率或衰减率是一个重要方面。在回归分析中，我们可
7、以用半对数模型来测度这些增长率。模型形式：模型形式：lnY=b0+b1X+u (对数-线性模型）Y=b0+b1lnX+u (线性-对数模型）lnY=b0+b1X+u (对数-线性模型）对数-线性模型特点：b1表示当X每变动1个绝对量单位时（而X变动1个单位，用符号表达就是X），Y将变动一个相对量，这个相对量用 Y/Y表示。然后，将(Y/Y)除以X，即将(Y/Y)除以1，就等于b1。那么(Y/Y)=b1*1=100 b1%也就是说，当X每变动1个单位绝对量时，Y变动的百分比为100b1%。注：b1=(Y/Y)/X Y=b0+b1lnX+u (线性-对数模型）线性-对数模型特点：b1表示当X每变动
8、1%时（而X变动1%，用符号表达就是X/X），Y将变动一个绝对量，这个绝对量用 Y表示。然后，将Y除以(X/X)，即将Y除以1%，就等于b1。那么Y=b1*(X/X)=b1*0.01 也就是说，当X每变动1%时，Y变动的绝对量为b1*0.01。注：b1=Y/(X/X)lnY=b0+b1X+u (对数-线性模型）案例：要求出1970-2019年美国人口增长率，也就是要求出当时间每递增1年时，人口增长的百分比。美国人口（百万）（因变量）时间（自变量）美国人口（百万）（因变量）时间（自变量）205.0521238.46616207.6612240.65117209.8963242.80418211.
9、9094245.02119213.8545247.34220215.9736249.94821218.0357252.63922220.2398255.37423222.5859258.08324225.05510260.59925227.72611263.04426229.96612265.46327232.18813268.00828234.30714270.56129236.34815273.13130建立工作文件输入原始数据生成新序列LnUSPOPWorkfile中可见新序列利用（LnUSPOP c t）进行回归对数-线性模型回归结果模型通过整体显著性检验（可决系数和F值都很大），变量
10、也通过显著性检验（t值很大），截距系项也通过显著性检验。对数-线性模型公式表达：5.3170350.009801*LnUSPOPT0.009801表示自变量T每变动一个绝对量单位，即向前推进一年，因变量USPOP（美国人口）将增长100*0.009801%，即0.9801%。Y=b0+b1lnX+u (线性-对数模型）案例（要求出美国某时间段总消费支出与服务支出的关系，也即要求出当总消费支出增长1%时，服务支出增加的绝对值）服务支出（服务支出（Y）（1010亿）亿）总消费支出总消费支出X（10亿）亿）服务支出（服务支出（Y）（1010亿）亿）总消费支出总消费支出X（10亿）亿）2445.342
11、86.82648.54692.12455.94322.82668.44746.62480.04366.62688.14768.32494.44398.02701.74802.62510.94439.42722.14853.42531.44472.22743.64872.72543.84498.22775.44947.02555.94534.12804.84981.02570.44555.32829.35055.12594.84593.62866.85130.22610.34623.42904.85181.82622.94650.0建立工作文件输入原始数据生成新序列LnXWorkfile中可见到
12、新序列利用Y C LNX进行回归回归结果模型通过整体显著性检验（可决系数和F值都很大），变量也通过显著性检验（t值很大），截距系项也通过显著性检验。线性-对数模型公式表达：17907.552431.686*YLnX 2431.686表示自变量X（即总消费支出）每增加1%，因变量服务支出（Y)平均而言将增加绝对量0.01*2431.686，即24.31686（单位：10亿）。3倒数模型表3-10 1958-1969美国小时工资收入指数年变化的百分比（Y）与失业率（X)年份195819591960196119621963196419651966196719681969Y4.23.53.433.42
13、.82.83.64.356.16.7X6.85.55.56.75.55.75.24.53.83.83.63.5要求：根据以上数据建立美国1958-1969年的菲利普斯曲线。采用模型形式：Y=b0+b1(1/x)+u工作文件建立原始数据输入生成新序列X1以（Y C X1）回归回归输出结果回归结果显示，模型整体上通过显著性检验（F值、R2较大），变量也通过显著性检验（t值较大），唯有截距项未通过显著性检验，但为了探讨的需要，还是将截距项保留在模型中。回归结果的公式表达：0.25943720.58788*1YX 10.25943720.58788*YX 或者：结果发现：失业率X与货币工资收入变动率（
14、或通货膨胀率）Y之间成此消彼长的关系。4多项式模型 多项式回归模型在生产与成本函数这个领域中被广泛地使用。多项式回归模型可表示为为了分析某行业的生产成本情况，从该行业中选取10家企业，表3-12中列出了这些企业总产量X（吨）和总成本Y（万元）的有关资料，试建立该行业的总成本函数。总成本Y19.322.62424.425.72627.429.73542总产量X102030405060708090100根据相关理论，总成本函数可以用产量的三次多项式近似表示，即Y=b0+b1X+b2X2+b3X3+u建立工作文件输入原始数据生成新序列X1生成新序列X2生成新序列X3利用新生成的序列进行回归回归结果的输出从回归结果可知，模型通过整体显著性检验（F值，可决系数都很大），各变量也都通过显著性检验（t值很大），截距项也通过显著性检验。回归模型的公式表达：14.176670.634777*1 0.012962*20.000094*3YXXX2314.176670.634777*0.012962*0.000094*YXXX或者：
