1、开始学案学案5 5随机数的含义与应用随机数的含义与应用学点一学点二学点三学点四学点五学点六返回目录返回目录 1.1.几何概型几何概型 事件事件A A理解为区域理解为区域的的 ,A A的概率只与子的概率只与子区域区域A A的的 成成 ,而与而与A A的的.满足以上条件的试验称为几何概型满足以上条件的试验称为几何概型.2.2.几何概型概率公式几何概型概率公式 在几何概型中在几何概型中,事件事件A A的概率定义为的概率定义为:P P(A A)=)=,其中其中表示表示 ,A A表表示示 .3.3.随机数随机数某一子区域某一子区域A A几何度量几何度量(长度、面积或体积长度、面积或体积)正比正比位置和形
2、状无关位置和形状无关 A区域区域的几何度量的几何度量子区域子区域A A的几何度量的几何度量返回目录返回目录 随机数就是在一定范围内随机数就是在一定范围内 产生的数产生的数,并且得到这并且得到这个范围内的每一个数的机会一样个范围内的每一个数的机会一样.4.4.现在大部分计算器都能产生现在大部分计算器都能产生0 01 1之间的均匀随机数之间的均匀随机数(实数实数),),例如例如,用函数型计算器产生随机数的方法如下用函数型计算器产生随机数的方法如下:每次按每次按 键都会产生一个键都会产生一个0 01 1之间的之间的随机数随机数,而且出现而且出现0 01 1内任何一个数的可能性是内任何一个数的可能性是
3、 的的.随机随机SHIFTSHIFTRan#Ran#相同相同返回目录返回目录学点一学点一 与长度有关的几何概型的求法与长度有关的几何概型的求法某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔5 5分钟有一辆车通过分钟有一辆车通过(假设每一辆车带假设每一辆车带走站上的所有乘客走站上的所有乘客),),乘客到达汽车站的时间是任意的乘客到达汽车站的时间是任意的,求求乘客候车时间不超过乘客候车时间不超过3 3分钟的概率分钟的概率.【分析】【分析】考查与长度有关的几何概型考查与长度有关的几何概型.【解析】【解析】这是一个几何概型问题这是一个几何概型问题.记记A A=“=“候车时间不候车时间不超过超过3 3分钟分钟”.”.
4、以以x x表示乘客到车站的时刻表示乘客到车站的时刻,以以t t表示乘客到表示乘客到车站后来到的第一辆汽车的时刻车站后来到的第一辆汽车的时刻,据题意据题意,乘客必然在乘客必然在t t-5,5,t t内来到车站内来到车站,故故=x x|t t-5-5x xt t （如图（如图3-5-33-5-3）.返回目录返回目录若乘客候车时间不超过若乘客候车时间不超过3 3分钟分钟,必须必须t t-3-3x xt t,所以所以A A=x x|t t-3-3x xt t,据几何概率公式得据几何概率公式得P P(A A)=)=0.6.=0.6.53A图图3-5-33-5-3【评析】【评析】(1)(1)把所求问题归结
5、到把所求问题归结到x x轴上的一个区间内是解轴上的一个区间内是解题的关键题的关键,然后寻找事件然后寻找事件A A发生的区域发生的区域,从而求得从而求得A A .(2)(2)本题也可这样理解本题也可这样理解:乘客在时间段乘客在时间段(0,5(0,5内任意时刻内任意时刻到达到达,等待不超过等待不超过3 3分钟分钟,则到达的时间在区间则到达的时间在区间2,52,5内内.返回目录返回目录在两端相距在两端相距6 m6 m的木杆上系一根绳子的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于则灯与两端距离都大于2 m2 m的概率是多少的概率是多少?解解:灯挂在绳子上的每一个位置都
6、是一个基本事件灯挂在绳子上的每一个位置都是一个基本事件,即整即整个区域的几何度量为个区域的几何度量为=6 m.=6 m.记记“灯与两端距离都大于灯与两端距离都大于2 m”2 m”为事件为事件A A,则把木杆三等分则把木杆三等分,当绳子挂在中间一段上时当绳子挂在中间一段上时,事件事件A A发生发生,即即A A =2 m.=2 m.所以由几何概型的概率公式所以由几何概型的概率公式,得得 .3162)(AAP返回目录返回目录学点二学点二 与面积有关的几何概型与面积有关的几何概型在图在图3-5-43-5-4所示的边长为所示的边长为2 2的正方形中随的正方形中随机撒一大把豆子，计算落在正方形的内机撒一大
7、把豆子，计算落在正方形的内切圆中的豆子数与落在正方形中的豆子切圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计周圆率数之比，并以此估计周圆率的值的值.【分析】【分析】如果我们把如果我们把“在正方形中撒豆子在正方形中撒豆子”看成试验，看成试验，把把“豆子落在圆中豆子落在圆中”看成随机事件看成随机事件A A.则落在圆中的豆子数则落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数的比值就是事件与落在正方形中的豆子数的比值就是事件A A发生的频率发生的频率.当当我们散一大把豆子时，这时频率可以近似地看成事件我们散一大把豆子时，这时频率可以近似地看成事件A A的的概率，可以认为这是一个几何概型问题概率，可以认为这
8、是一个几何概型问题.图图3-5-43-5-4返回目录返回目录.4)(正方形面积圆面积AP【解析】【解析】由几何概型的计算公式得由几何概型的计算公式得 所以所以=4=4P P(A A).).我们在正方形中撒了我们在正方形中撒了n n颗豆子，其中有颗豆子，其中有m m颗豆子落在圆颗豆子落在圆中，则圆周率的值中，则圆周率的值近似等于近似等于 .nm4【评析】【评析】找出事件找出事件A A发生的条件，并把它在图中的区域发生的条件，并把它在图中的区域找出来，分别计算面积即可找出来，分别计算面积即可.返回目录返回目录甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6 6小时小时,假定它们在
9、假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达一昼夜的时间段中随机地到达,试求这两艘船中至少有一试求这两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率艘在停靠时必须等待的概率.解解:考查与面积有关的几何概考查与面积有关的几何概型型.设设A A=两艘船中至少有一艘两艘船中至少有一艘停靠时等待停靠时等待.建立平面直角坐建立平面直角坐标系标系(如图如图),),x x轴表示甲船到达轴表示甲船到达的时间的时间,y y轴表示乙船到达的时轴表示乙船到达的时间间,则则(x x,y y)表示的所有结果是表示的所有结果是以以2424为边长的正方形为边长的正方形.返回目录返回目录事件事件A A发生的条件是发生的条件是0 0 x-yx
10、-y6 6或或0 0y-xy-x6,6,即图中阴影部分即图中阴影部分,则则=24=242 2,A A=24=242 2-18-182 2.P P(A A)=,)=,即这两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率是即这两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率是.167241824222 167返回目录返回目录学点三学点三 与体积有关的几何概型的求法与体积有关的几何概型的求法在在1 1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中从中随机取出随机取出1010毫升毫升,则取出的种子中含有麦锈病的种子的概则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少率是多少?【分析】
11、【分析】考查与体积有关的几何概型考查与体积有关的几何概型.【解析【解析】设设A A=取出取出1010毫升种子毫升种子,含有病种子含有病种子,则则=1 0001 000毫升毫升,A A=10=10毫升毫升,P P(A A)=,)=,即取出种子中含麦锈病的种子的概率是即取出种子中含麦锈病的种子的概率是0.01.0.01.01.0000 1100A返回目录返回目录【评析】【评析】(1)(1)病种子在这病种子在这1 1升种子中的分布可以看作是随升种子中的分布可以看作是随机的机的,有无限个结果有无限个结果,并且是等可能的并且是等可能的,是几何概型是几何概型.取得的取得的1010毫升种子可看作构成事件的区
12、域毫升种子可看作构成事件的区域,1,1升种子可看作是试验的所升种子可看作是试验的所有结果构成的区域有结果构成的区域.(2)(2)要注意使用要注意使用“几何概型几何概型”的条件的条件.返回目录返回目录如图如图3-5-53-5-5所示所示,有一杯有一杯2 2升的水升的水,其中含有一个细菌其中含有一个细菌,用一个用一个小杯从这杯水中取出小杯从这杯水中取出0.10.1升水升水,求小杯水中含有这个细菌的求小杯水中含有这个细菌的概率概率.解解:设设A A=小杯水中含有这个小杯水中含有这个细菌细菌.则则=2=2升升,A A=0.1=0.1升升,P P(A A)=)=.A050201210 图图3-5-53-
13、5-5返回目录返回目录学点四学点四 与角度有关的几何概型的求法与角度有关的几何概型的求法【分析【分析】考查与角度有关的几何考查与角度有关的几何概型概型.【解析【解析】在在ABAB上取上取AC AC=ACAC,则则ACC ACC=67.5 =67.5.设设A A=在在ACBACB内部作一条射线内部作一条射线CMCM,与线段与线段ABAB交于点交于点M,AMM,AMAC AC.则则=90=90,A A=67.5=67.5,P P(A A)=)=245180.A4390567 如图如图3-5-6,3-5-6,在等腰在等腰RtRtABCABC中中,过直角顶点过直角顶点C C在在ACBACB内部内部作一
14、射线作一射线CMCM,与线段与线段ABAB交于点交于点M M,求求AMAMACAC的概率的概率.图图3-5-63-5-6返回目录返回目录【评析】【评析】(1)(1)射线射线CM CM 随机地落在随机地落在ACBACB内部内部,故故ACBACB为为所有试验结果构成的区域所有试验结果构成的区域,当射线当射线CMCM落在落在ACCACC内部时内部时AMAMACAC,故故ACCACC为构成事件的区域为构成事件的区域.(2)(2)事件区域是角域事件区域是角域,可用角度刻画可用角度刻画.返回目录返回目录若题目改为若题目改为:在等腰在等腰RtRtABCABC中中,在斜边在斜边ABAB上取一点上取一点M M,
15、求求AMAMACAC的概率的概率,答案一样吗答案一样吗?解解:在在ABAB上截取上截取AC AC=ACAC,AC AC=设设A A=在斜边在斜边ABAB上取一点上取一点M,AM M,AM AC AC,则则=ABAB,A A=,P P(A A)=)=故不一样故不一样.22ABAB22.22A返回目录返回目录学点五学点五 用随机数模拟法估算几何概率用随机数模拟法估算几何概率取一根长度为取一根长度为3 m3 m的绳子的绳子,拉直后在任意位置剪断拉直后在任意位置剪断,用随机用随机模拟法估算剪得两段的长都不小于模拟法估算剪得两段的长都不小于1 m1 m的概率有多大的概率有多大?【分析】【分析】在任意位置
16、剪断绳子在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的则剪断位置到一端点的距离取遍距离取遍0,30,3内的任意实数内的任意实数,并且每一个实数被取到的并且每一个实数被取到的可能性相等可能性相等,因此在任意位置剪断绳子的所有结果因此在任意位置剪断绳子的所有结果(即基本即基本事件事件)对应对应0,30,3上的均匀随机数上的均匀随机数,其中其中1,21,2上的均匀上的均匀随机数就表示剪断位置与端点的距离在随机数就表示剪断位置与端点的距离在1,21,2内内,也就是也就是剪得两段的长都不小于剪得两段的长都不小于1 m,1 m,这样取得的这样取得的1,21,2内的随机数内的随机数个数与个数与0,30,3内的随机
17、数个数之比就是事件内的随机数个数之比就是事件A A发生的频率发生的频率.返回目录返回目录【解析【解析】记事件记事件A A=剪得两段的长都不小于剪得两段的长都不小于1m.1m.利用计算器或计算机产生一组利用计算器或计算机产生一组0 0到到1 1区间的均匀随机数区间的均匀随机数a a1 1=rand.=rand.经过伸缩变换经过伸缩变换,a=aa=a1 1*3.3.统计出试验总次数统计出试验总次数N N和和1,21,2内的随机数个数内的随机数个数N N1 1.计算频率计算频率f fn n(A A)=)=N N1 1/N N即为概率即为概率P P(A A)的近似值的近似值.【评析】用随机模拟法估算几
18、何概率的关键是把事件【评析】用随机模拟法估算几何概率的关键是把事件A A及基本事件空间对应的区域转化为随机数的范围及基本事件空间对应的区域转化为随机数的范围.返回目录返回目录甲、乙两人约定在甲、乙两人约定在6 6时到时到7 7时之间在某处会面，并约定先到时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个一刻钟，如果另一个人还没到，这时即可者应等候另一个一刻钟，如果另一个人还没到，这时即可离去离去.求两人能会面的概率求两人能会面的概率.解解:x x和和y y分别表示甲、乙两人到达分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间约会地点的时间,则两人能够会面的充则两人能够会面的充要条件是要条件是|x x-y y|15
19、.|15.在平面上建立直角坐标系如图在平面上建立直角坐标系如图,则则(x x,y y)的所有可能结果是边长为的所有可能结果是边长为6060的正的正方形方形,而可能会面的时间用图中的阴影部分表示而可能会面的时间用图中的阴影部分表示.这是一这是一个几何概型问题个几何概型问题,由等可能性知由等可能性知 答答:甲、乙两人能够会面的概率是甲、乙两人能够会面的概率是.)(167604560222 APA.167返回目录返回目录学点六学点六 用随机模拟法近似计算不规则图形的面积用随机模拟法近似计算不规则图形的面积【分析【分析】在坐标系中画出矩在坐标系中画出矩形形(x x=,x x=-=-,y y=1=1和和
20、y y=6=6所围所围成的部分成的部分),),用随机模拟的方法可用随机模拟的方法可以得到阴影部分的面积的近似值以得到阴影部分的面积的近似值.55利用随机模拟的方法近似计算图形如图利用随机模拟的方法近似计算图形如图3-5-73-5-7中阴影部分中阴影部分的面积的面积:y=xy=x2 2+1+1与与y y=6=6所围成区域的面积所围成区域的面积.图图3-5-73-5-7返回目录返回目录【解析【解析】(1)(1)利用计算器或计算机产生两组利用计算器或计算机产生两组0 0至至1 1之间的之间的均匀随机数均匀随机数,a a1 1=rand,=rand,b b1 1=rand;=rand;(2)(2)进行
21、平移和伸缩变换进行平移和伸缩变换,a a=(=(a a1 1-0.5)-0.5)*2,2,b b=5=5*b b1 1+1;+1;(3)(3)数出落在阴影内的样本点数数出落在阴影内的样本点数N N1 1,总试验次数为总试验次数为N N,用几用几何概型公式计算阴影部分的面积为何概型公式计算阴影部分的面积为S S=.多做几次试多做几次试验验,得到的面积会更精确得到的面积会更精确.NN136.22【评析】要记住公式【评析】要记住公式 .其中其中N N为总的试验为总的试验次数次数,N N1 1为落在不规则图形内的试验次数为落在不规则图形内的试验次数.NNSS1规则图形不规则图形返回目录返回目录解解:(
22、1):(1)利用计算机产生两组利用计算机产生两组0,10,1上的均匀随机数上的均匀随机数,a a1 1=rand,=rand,b b1 1=rand.=rand.(2)(2)进行平移和伸缩变换进行平移和伸缩变换,a a=(=(a a1 1-0.5)0.5)*2,2,b b=b b1 1*2,2,得到一组得到一组-1,1-1,1上的上的均匀随机数和一组均匀随机数和一组0,20,2上的均匀随上的均匀随机数机数.利用随机方法计算如图利用随机方法计算如图3-5-83-5-8中阴影部分中阴影部分(曲线曲线y y=2=2x x与与x x轴轴,x x=1 1围成的部分围成的部分)的面积的面积.图图3-5-8
23、3-5-8返回目录返回目录(3)(3)统计试验总数统计试验总数N N和落在阴影内的点数和落在阴影内的点数N N1 1(满足条件满足条件b b22a a的点的点(a,ba,b)数数).).(4)(4)计算频率计算频率 ,即为点落在阴影部分的概率的近似值即为点落在阴影部分的概率的近似值.(5)(5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P P=.=.所以所以 .所以所以 ,即为阴影部分面积的近似值即为阴影部分面积的近似值.NN14S41SNNNNS14 1.1.如何理解几何概型如何理解几何概型?(1)(1)几何概型的两个特点几何概型的两个特点:一是无限性一
24、是无限性,即在一次试验中即在一次试验中,基本事件的个数是无限的基本事件的个数是无限的;二是等可能性二是等可能性,即每一基本事件即每一基本事件发生的可能性是均等的发生的可能性是均等的.因此因此,用几何概型求解的概率问题用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的和古典概型的思路是相同的,同属于同属于“比例方法比例方法”.”.即随机即随机事件事件A A的概率可以用的概率可以用“事件事件A A包含的基本事件所占的图形面包含的基本事件所占的图形面积积(体积、长度体积、长度)”)”与与“试验的基本事件空间所占总面积试验的基本事件空间所占总面积(总总体积、长度体积、长度)”)”之比来表示之比来表示.(
25、2)(2)基本事件的基本事件的“等可能性等可能性”的判断很容易被忽略的判断很容易被忽略,从从而导致各种错误而导致各种错误.返回目录返回目录返回目录返回目录 2.2.随机数是如何产生的随机数是如何产生的?如何理解随机模拟试验如何理解随机模拟试验?(1)(1)随机数的产生随机数的产生 利用计算器或计算机产生利用计算器或计算机产生0,10,1上的均匀随机数上的均匀随机数x x1 1=rand,=rand,然后利用伸缩和平移变换然后利用伸缩和平移变换,x x=x x1 1*(b b-a a)+)+a a,就可以得就可以得到到a a,b b内的均匀随机数内的均匀随机数,试验的结果是试验的结果是a a,b
26、 b上的任何上的任何一个实数一个实数,并且任何一个实数都是等可能出现的并且任何一个实数都是等可能出现的.(2)(2)随机模拟试验随机模拟试验 用频率估计概率时用频率估计概率时,需做大量的重复试验需做大量的重复试验,费时费力费时费力,并并且有些试验具有破坏性且有些试验具有破坏性,有些试验无法进行有些试验无法进行,因而随机模拟因而随机模拟试验就成为一种重要的方法试验就成为一种重要的方法,它可以在短时间内多次重复它可以在短时间内多次重复.用计算器或计算机模拟试验用计算器或计算机模拟试验,首先需要把实际问题转化为可首先需要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型以用随机数来模拟试验结果的概
27、率模型,也就是怎样用随机也就是怎样用随机返回目录返回目录数刻画影响随机事件结果的量数刻画影响随机事件结果的量.我们可以从以下几个方面考我们可以从以下几个方面考虑虑:由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数机数组数.如长度型、角度型如长度型、角度型(一维一维)只用一组只用一组,面积型面积型(二维二维)需要用两组需要用两组.由所有基本事件总体由所有基本事件总体(基本事件空间基本事件空间)对应区域确定对应区域确定产生随机数的范围产生随机数的范围.由事件由事件A A发生的条件确定随机数所应满足的关系式发生的条件确定随机数所应满足的关系式.(3)(
28、3)随机模拟的基本思想是用频率近似于概率随机模拟的基本思想是用频率近似于概率,频率可频率可由试验获得由试验获得.返回目录返回目录 对于一个具体问题对于一个具体问题,能否应用几何概率公式计算事件能否应用几何概率公式计算事件的概率的概率,关键在于能否将问题几何化关键在于能否将问题几何化;也可根据实际问题的也可根据实际问题的具体情况具体情况,选取合适的参数选取合适的参数,建立适当的坐标系建立适当的坐标系,在此基础在此基础上上,将试验的每一结果一一对应于该坐标系中的点将试验的每一结果一一对应于该坐标系中的点,使得全使得全体结果构成一个可度量区域体结果构成一个可度量区域.从概率的几何定义可知从概率的几何
29、定义可知,在几何概型中在几何概型中,“,“等可能等可能”一一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的度量成正比性大小仅与该区域的度量成正比,而与该区域的位置与形而与该区域的位置与形状无关状无关.学习中学习中,可以通过计算机模拟来体会频率稳定于概率可以通过计算机模拟来体会频率稳定于概率的客观规律的客观规律,利用计算机产生随机数的模拟方法来进行几利用计算机产生随机数的模拟方法来进行几何概型的学习何概型的学习.一样的软件一样的软件 不一样的感觉不一样的感觉 一样的教室一样的教室 不一样的心情不一样的心情 一样的知识一样的知识 不一样的收获不一样的收获
