1、概率统计概率统计下页结束返回.随机变量函数的分布随机变量函数的分布 一、离散型随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布 二、二、连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布 下页概率统计概率统计下页结束返回 例例1.已知已知X的概率分布为的概率分布为 X -1 0 1 2 5 P 0.3 0.1 0.2 0.15 0.25求求:Y=2X+1；Y=X2 的概率分布的概率分布.解解:Y -1 1 3 5 11 P 0.3 0.1 0.2 0.15 0.25 Y 0 1 4 25 P 0.1 0.3+0.2 0.15 0.25 一一 、离散型随机变量函数的分布、离散型随机变量函数的分布 若
2、若X是离散型的，则是离散型的，则Y=g(X)也是离散型随机变量，且它的也是离散型随机变量，且它的取值为取值为yk=g(xk)，其分布可以直接由，其分布可以直接由X的分布求得的分布求得.下页概率统计概率统计下页结束返回一般地一般地,(1)若若yk的值全不相同，则的值全不相同，则PY=yk=PX=xk，则则 Y y1 y2 y k P p1 p 2 pk 即若即若X的概率分布为的概率分布为 X x1 x2 x k P p1 p 2 pk (2)若若yk中有相同的情形，则应把那些相同的值加以合并中有相同的情形，则应把那些相同的值加以合并,再根据加法定理把对应的概率再根据加法定理把对应的概率p pk
3、k相加相加.下页概率统计概率统计下页结束返回FY(y)=PYy=P2X+8y二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布例例2.设随机变量设随机变量X具有密度具有密度82XY yFyfYY28yXP所以所以于是于是 Y的分布函数为的分布函数为FY(y),解：解：设设X 的分布函数为的分布函数为FX(x),04(),80,Xxxfx其它求随机变量求随机变量的概率密度的概率密度.Y的概率密度为的概率密度为fY(y)，则，则8(),2XyF)28(yFX18(),22Xyf8,816().320,Yyyfy其它下页概率统计概率统计下页结束返回1.1.分布函数法分布函数法 一般地，若已知一
4、般地，若已知X的概率密度为的概率密度为fX(x),求其函数求其函数Y=g(X)的概率密度的概率密度fY(y)分两个步骤：分两个步骤：根据分布函数的定义求根据分布函数的定义求Y的分布函数的分布函数FY(y)；由由 fY(y)=F (y),求出求出 fY(y).例例3.3.设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为fX(x)，求线性函数，求线性函数 Y=aX+b (a,b是常数，且是常数，且a0)的概率密度的概率密度fY(y).下页概率统计概率统计下页结束返回1()(),.YXybfyfyaa P aXyb解解:下页()YFyP Yy()()YYfyFy(),0,1(),0XXybybP XF
5、aaaybybP XFaaa()P aXby由分布函数的性质知由分布函数的性质知1(),0,1(),0XXybfaaaybfaaa即即概率统计概率统计下页结束返回解解:记记Y的分布函数的分布函数FY(y)，由，由y=x2 知知 y0,+,+).)(yXyPyYPyFY()();XXFyFy当当 y0时，时，FY(y)=0.于是于是Y的概率密度为的概率密度为下页1()(),02()().0,0XXYYfyfyyyfyFyy 例例4.4.设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度fX(x)，求函数，求函数Y=X 2 的概率的概率密度密度.当当 y0时，时，概率统计概率统计下页结束返回2.2.公
6、式法公式法 其他,0,)(yyhyhfyfXY 其中：其中：=Ming(-),g(+),=Maxg(-),g(+),h(y)是是 g(x)的反函数的反函数.下页 定理定理 设连续型随机变量设连续型随机变量X具有概率密度具有概率密度fX(x),x 0(或恒有或恒有g(x)0,则则Y=sin(X)是连续型随机变量，其概率密度为是连续型随机变量，其概率密度为2Y1()|()|,|1().10,Xfh yh yyfyy其它下页例例5.设设XU(-/2,/2)，求，求Y=sin(X)的概率密度的概率密度.(注意：注意：x=arcsin(y)概率统计概率统计下页结束返回例例6.设设XN(m m,s s2)
7、，求证，求证Y=aX+b(a0)也服从正态分布也服从正态分布.22()21(),.2xXfxexmss 由由y=g g(x)=)=ax+b 解得解得 x=h(y)=(y-b)/a,又又g g(x)可导且导数与可导且导数与a同号，同号，h(y)=1/a,从而得从而得Y1()()|()|()|XXybfyfh yh yfaa221(),.2()2|ybaeyaamss 须记住这个结果！须记住这个结果！下页证证:X的概率密度为的概率密度为概率统计概率统计下页结束返回XYms注意注意下页1().(*)Xmss 2Y21()(),.2()2|ybafyeyaamss 须记住这个结果！须记住这个结果！由公式法得到由公式法得到例例6.设设XN(m m,s s2)，求证，求证Y=aX+b(a0)也服从正态分布也服从正态分布.s1)(sm.smsmxXPxXP可得概率统计概率统计下页结束返回作业作业 55页页 27,29结束
