1、第一章：经济函数与极限第一章：经济函数与极限第二章：导数及其经济应用第二章：导数及其经济应用第三章：积分及其经济应用第三章：积分及其经济应用第四章：矩阵与行列式第四章：矩阵与行列式第五章：概率统计第五章：概率统计 目目 录录第三章第三章 积分及其经济应用积分及其经济应用定积分的概念定积分的概念微积分基本公式微积分基本公式换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法定积分的经济应用定积分的经济应用3.1 3.1 定积分的概念定积分的概念 一、定积分概念的引入一、定积分概念的引入二、定积分的定义二、定积分的定义三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义四、定积分的性质四、定积分的性质3.1.1、定积分的
2、引入、定积分的引入引例引例1 （曲边梯形的面积）：设 在a,b上是连续的非负函数，由直线 轴以及曲线 所围成的图形，称为曲边梯形曲边梯形。()yf x,x a x b x()yf x 以 在区间-1,2上围成的曲边梯形为例来讨论面积的求法。2yx以 在区间-1,2上围成的曲边梯形面积为例来讨论其面积的求法。2yx 以 在区间-1,2上围成的曲边梯形为例来讨论面积的求法。2yx基本思想基本思想:由于曲边梯形的一边是沿由于曲边梯形的一边是沿 不不断变化的，但在很小的区间范围内它的变断变化的，但在很小的区间范围内它的变化范围不大。所以，如果把区间划分为许化范围不大。所以，如果把区间划分为许多小区间，
3、那么曲边梯形也相应地被划分多小区间，那么曲边梯形也相应地被划分为许多小曲边梯形。在每个小区间上用其为许多小曲边梯形。在每个小区间上用其中某一个点的函数值来代替同一区间上曲中某一个点的函数值来代替同一区间上曲边梯形的所有边长，则每个小曲边梯形可边梯形的所有边长，则每个小曲边梯形可以看成是小矩形。这样我们可以用这些小以看成是小矩形。这样我们可以用这些小矩形的面积之和矩形的面积之和X X来近似代替曲边梯形的面来近似代替曲边梯形的面积积S S。当这样无限划分下去的时候，。当这样无限划分下去的时候，X X的极的极限就是曲边梯形的面积。限就是曲边梯形的面积。2yx 以 在区间-1,2上围成的曲边梯形为例来
4、讨论面积的求法。2yxn=3 以 在区间-1,2上围成的曲边梯形为例来讨论面积的求法。2yxn=5 以 在区间-1,2上围成的曲边梯形为例来讨论面积的求法。2yxn=10 以 在区间-1,2上围成的曲边梯形为例来讨论面积的求法。2yxn=20 以 在区间-1,2上围成的曲边梯形为例来讨论面积的求法。2yxn=40 以 在区间-1,2上围成的曲边梯形为例来讨论面积的求法。2yxn=60 以 在区间-1,2上围成的曲边梯形为例来讨论面积的求法。2yxn=100 以 在区间-1,2上围成的曲边梯形为例来讨论面积的求法。2yxn=引例引例2(某时间间隔内的产品数量)已知产品总产量在任意时刻t的变化率为
5、 ，我们来考虑在时间间隔 内的产量 。首先，在 内任意插入若干个分点把 分成n个小区间各小段时间长依次为()QQ t12,T TX12,T T101212nnTtttttT12,T T01121,nnt tt ttt1102211,nnnttttttttt 在每个小区间 上任取一点 ，假设在小的时间间隔内产量的变化率不变，即 。则在这段时间内产品的总产量为1,iitti()iQQ()iiiQQt 以 在区间-1,2上围成的曲边梯形为例来讨论面积的求法。2yx则在则在 内的总产量为内的总产量为12,T T121 ()nniiiXQQQQt 令令 ，则当，则当 时时0nttt,max2101lim
6、()niiiXQt 曲边梯形的面积产品的产量共同点是什么？3.1.2、定积分的定义、定积分的定义 定义：设函数定义：设函数f(x)f(x)在在a,ba,b上有界，把上有界，把a,ba,b分分成成n n个小区间个小区间并设各小段的区间长度为：并设各小段的区间长度为：01121,nnx xx xxx1102211,nnnxxxxxxxxx 在每个小区间在每个小区间 上任取一点上任取一点 ,作函数值作函数值 与小区间长度与小区间长度 的乘积，并作的乘积，并作出和出和 1,iixx1()iiiixx()ifix1()niiiSfx12max,nxxx记记 ，当，当 时，和时，和 总趋近于确定的极限总趋
7、近于确定的极限 ，这时我们称函数在，这时我们称函数在a,ba,b上可积，这个极限上可积，这个极限 称为称为0SII 数在数在a,ba,b上的定积分，记为上的定积分，记为即即读作函数读作函数f(x)f(x)从从a a到到b b的定积分。的定积分。()baf x dx01()lim()nbiiaif x dxIfx()baf x dx积分上限积分下限积分号被积函数积分变量()()()bbbaaaf x dxf t dtf u du注：即：定积分与积分变量用什么字母表示没有关系 以 在区间-1,2上围成的曲边梯形为例来讨论面积的求法。2yx例例1 1（产品的总产量）设某企业的某种产品总产量Q 的年增
8、长率Q=2t+7,求第一个5年和第二个五年的总产量各为多少？以 在区间-1,2上围成的曲边梯形为例来讨论面积的求法。2yx例例2 2（追加成本）生产某产品的边际成本为 ，当产量从200增加到300时，需要追加的成本为多少？()150 0.2C xx300200(150 0.2)Cx dx解解：根据定积分的概念，当产量从200增加到300时，需要追加的成本为3.1.3、定积分的几何意义、定积分的几何意义 （1）由定积分的定义，当 时,表示曲线 直线 以及x轴所围成的曲边梯形的面积。特别地，若在区间a,b上，从几何上看，表示以区间a,b为底，高为1的矩形的面积，即,xa xb()0f x()baf
9、x dx()yf x()1f x()baf x dx()baf x dxb a （2）由定积分的定义，当 时,表示曲线 直线 以及x轴所围成的曲边梯形的面积的相反数。,xa xb()0f x()baf x dx()yfx （3）由定积分的定义，当 有正有负 时,表示曲边梯形面积的代数和。()f x()baf x dx3.1.4、定积分的性质、定积分的性质 为了方便定积分的计算与应用，作如下补充规定：（1）当a=b时，(2)()0baf x dx()()baabf x dxf x dx 性质性质1 1（和与差）函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和(差)，即 ()()()()bbbaaaf x
10、g x dxf x dxg x dx1212()()()()()()bbbbnnaaaaf xf xf x dxf x dxf x dxf x dx性质性质2 2（常倍数）被积函数的常数可以提到积分号外面，即()()()bbaakf x dxkf x dxk为常数 以 在区间-1,2上围成的曲边梯形为例来讨论面积的求法。2yx性质性质3 3（积分区间的可加性）如果将积分区间a,b分成a,c,c,b两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分的和 以 在区间-1,2上围成的曲边梯形为例来讨论面积的求法。2yx()()()bcbaacf x dxf x dxf x dx时当bca时说之间时
11、，比如不是介于当cabac b,()()()()()bcbaacccabf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx 以 在区间-1,2上围成的曲边梯形为例来讨论面积的求法。2yx性质性质4 4（比较性质）如果在a,b上有 ,则()()f xg x()()bbaaf x dxg x dx)()()(,)(mMbaabMdxxfabmbaxfba则上的最大值及最小值，在分别是函数和性质：（估值定理）设 以 在区间-1,2上围成的曲边梯形为例来讨论面积的求法。2yx10102222-22-x)dxln(1 xdx e0sin 2与计算：用估值定理估计利用几何意义练习：dxxdxx3
12、.2 3.2 微积分的基本公式微积分的基本公式 一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念二、不定积分的几何意义与性质二、不定积分的几何意义与性质三、基本积分表三、基本积分表四、微积分基本公式四、微积分基本公式3.2.1、原函数与不定积分的概念、原函数与不定积分的概念引例引例1 （已知边际收益求收益函数)设某产品的边际收益函数为试求收益函数。()10 0.02R QQ 引例引例2 2（已知总成本的变化率求总成本）生产某仪器的总成本C（单位：万元）的变化率是产量Q的函数 且求C(Q).QC(Q)=6+3C(0)=6 引例引例2 2（已知总成本的变化率求总成本）生产某仪器的总成本C（单位
13、：万元）的变化率是产量Q的函数 且求C(Q).QC(Q)=6+3 引例引例2 2（已知总成本的变化率求总成本）生产某仪器的总成本C（单位：万元）的变化率是产量Q的函数 且求C(Q).QC(Q)=6+3 引例引例2 2（已知总成本的变化率求总成本）生产某仪器的总成本C（单位：万元）的变化率是产量Q的函数 且求C(Q).QC(Q)=6+3 定义定义 设 是定义在区间I上的一个函数，如果对任意都有则称 为 在区间I上的一个原函数原函数。f(x)xI()()F xf x()F x()f x注：注：的原函数也是)()(xfCxF 定义定义 在区间I上，是 的原函数,则 的带有任意常数项的原函数 叫作 在
14、区间I上的不定积分不定积分，记为 ()F x()f x()f x()F xc()fxd x()f x dx积分号积分号被积函数被积函数积分变量积分变量即()()(c)f x dxF xc为任意常数()f x例例1 2x dx2xxdx注：注：1(1)1xx dxc1d xx例例4 已知某产品对时间的变化率是时间t的函数：且 ，求1()()104q tQ tt(0)0Q()Q tdxxdxxdxxdxx1(4)31(2)12333）（）（练习：3.2.2、不定积分的几何意义和性质、不定积分的几何意义和性质 根据原函数和不定积分的概念，易得不定积分的如下性质：性质性质1 1()(),()kf x
15、dxk f x dx k为常数性质性质2 2()()()()f xg x dxf x dxg x dx性质性质3 3()()F x dxF xc性质性质4 4()()df x dxf xdxdxxdxxdxdxddxdxxxdxxdxxx223223211)7(11)6(cosx)5(cosx(4)(3)5(4(2)(1）（）（积分下列不定利用不定积分的性质求3.2.3、基本积分表、基本积分表 不定积分不定积分相应的导数公式相应的导数公式,()kdxkx c k为常数kxk1(1)1xx dxc11xx1lndxxcx1ln xx21arctan1dxx cx21arctan1xx21arcs
16、in1dxx cx21arcsin1xxcossinxdxx csincosxxsincosxdxx ccossinxx 不定积分不定积分相应的导数公式相应的导数公式2sectanxdxx c2tansecxx2csccotxdxx c2cotcscxxsec tansecxxdxx csecsec tanxxxcsc cotcscxxdxx ccsccsc cotxxxxxe dxec xxeelnxxaa dxcalnxxaaa 例例 1 1 求解解：3cos23cos(2)(2)3sin1 ln2xxxxxxxexe dxe dxxdxe dxeexc3cos2xxxexe dx例例 2
17、 2 求解解：2(5)x xdx512227322(5)5210 73x xdxx dxx dxxxc 例例 3 3 求解解：221(1)xxdxxx 例例 4 4 求解解：222221(1)(1)(1)111lnarctanxxxxdxdxxxxxdxdxxxxx c 2sin2xdx21 cossin2211 cos221 sin2xxdxdxdxxdxxxc dxxdxxxdxxxxdxxexxxx)2cos2()4(2cos1cos1)3(sincos2cos)2()1(2222求下列不定积分求下列不定积分3.2.4、微积分基本公式（牛顿、微积分基本公式（牛顿-莱布尼兹公式）莱布尼兹公
18、式）如果函数F(x)是f(x)在a,b上的一个原函数，则 ()()()(a)F(b)()babaf x dxF bF aFF x通常把记作120 x dx例133312001013333xx dx 例例 求解解：22233200230301 sinsectancos 2sec1 2tan 2 33xdxxxdxxxdxxx23201 sincosxdxx022022212212x)dxcos-(11xx 1cosxdx dxdxxdxx练习微分的定义微分的定义()f x0 x00()()yf xxf x()yA xox 0()Afxx0 x()f x0 x xx()dy=();xx dx注：（
19、1）根据微分的定义可得函数可导与可微的关系：函数y=f(x)在 处可导y=f(x)在 处可微dy（2）由函数的导数=f可求出它的微分dxf反之由微分也可以求出导数；（3）尽管求导数与微分可互通，但是他们的含义不同，导数反映了函数的变化率，微分反映了自变量微小 变化时函数的该变量的近似值。2,bdy2例1：求函数y=ln2x的微分例2：设函数y=x求x (2)y=e cos(3)(3)arcsinxyxsin2x练 习：求 下 列 函 数 的 微 分（1）y=e微分基本公式xdxxdxdxxdxdxxddxxddxxxddxaxxddxadxaaddxCdaxx22xx1-csc)(cot)10
20、(sec)(tan)9(sin)(cos)8(cos)(sin)7(1)(ln)6(ln1)(log)5(e)(4)d(e ln)()3(x)(2)d(x 0)()1(dxxxarcddxxxddxxxddxxxd222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin函数和、差、积、商的微分运算公式函数和、差、积、商的微分运算公式)0()()()()(2vvudvvduvudkdukududvvduuvddvduvud3.3 换元积分法换元积分法3.3.1 不定积分的换元积分法不定积分的换元积分法3.3.2 定积分的换元积分法定积分的换元积分法3.3.1 不定积分的
21、换元积分法1.第一换元积分法xdxx cossin 1.3.32例cxctdtttxxxddxxx33222)(sin3131)sin(sinsin)(sinsin令这种这种求积求积分的分的方法方法具有具有什么什么样的样的形式形式cxFdxxxfxucxFdxxfufuF)()()()(;)()()()(1.3.3可导，则且的原函数，即为法）设（不定积分的第一积分定理dxdx2-x2x31xe 例：dxxdxxdxxindxx22222xcos cos s a1 例：第一换元积分法公式第一换元积分法公式xxxxxxxxnnndaafadxafadeefdxefexdxfxdxfdxxfndxx
22、fbaxdbaxfadxbaxf)(ln1)()()(cos)(cosxdxf(cosx)sinsin)(sinxdxf(sinx)cos-1)(n )(11)(x0)(a )()(1)(111ncxxxddxxxxdxfxxdxxfxdxfdxxxfxdxfdxxxfxdxfdxxxfxdxfdxxxfxdxfadxxfxaaa)(ln)()()()(1)1(1)1(arctan)(arctan11)(arctanarcsin)(arcsin11)(arcsincot)(cot)(cotcsctan)(tan)(tanseclog)(logln)(log122222222第二换元积分法第二换
23、元积分法dxxx 1例的反函数。是其中）（，则有换元公式具有原函数）（又设）（并且是单调、可导的函数，积分法）设（不定积分的第二换元定理)t()x()x()(t)()(F(t)t)(0 x)(2.3.311xcFctFdttfdxxftftx2221xdx 2xdxxx例例序号根号形式三角代换积分公式12322xa taxsintdttafadxxafcos)cos()(2222ax taxsectdtttafadxaxfsectan)tan()(22tdttafadxxaf222sec)sec()(22xa taxtandxdxxxdxdxxxdxdxxx4)-3)(x(x1(6)11)5(
24、sin2xcosx(4)1)(arctan)3(xxtan(2)sin)1(22323.3.2 定积分的换元积分法定积分的换元积分法dtttfdttdxtxbttttxbaxf)()(f(x)dx ,)(),()(,a3)(,)(2,)(1)(,)(3.3.3ba则有令）（）（；上具有连续导数在）（上的单调连续函数；是区间）（满足条件：上连续，函数在）假设函数（定积分的换元积分法定理422051-xxdx sin)(cosxdxx161102420530 x-2x(4)1)3(2xsin4xdxcos(2)1)1(dxdtttdxxx例练习aaadxxfdxxfbaxfdxxfbaxf0aa)
25、(2)(,)()2(0)(,)(14.3.3上连续且为偶函数，则在若上连续且为奇函数，则在）若（偶函数的积分公式）（对称区间上奇函数、定理dxxxdxxxxxxx33222323451sin1257例题例题3.4 分部积分法分部积分法3.4.1 不定积分的分部积分法不定积分的分部积分法3.4.2 定积分的分部积分法定积分的分部积分法3.4.1 不定积分的分部积分法引例引例（求不定积分）分析分析：因为 两端同时取不定积分得移项得这样，我们把积分 的解决转化为另外一个积分 而后者是比较容易计算的，这种积分的方法叫分部积分法分部积分法。cosxxdx(sin)sincosxxx xxsinsinco
26、sxxxdxxxdxcossinsinxxdx xxxdxcosxxdxsinxdx3.4.1(),()uu x vv xuvu vuvuvuvu vuv dxuvdxu vdxudvuvvdu定理（不定积分的分部积分法）设有连续的导数，由得，两边积分有即2,lnxxe dxxxdx例1例2arctan,arctanxdxxxdx3.4.2 定积分的分部积分法3.4.2(),(),(),(),()bbbaaauu x vv xa bu x v xudvuvvdu定理（定积分的分部积分法）设在上有连续的导数则有从图中可以看出，曲线下方区域的面积 等于大矩形的面积 减去小矩形的面积 以及曲线上方的
27、面积 ，即 21vvudv22u v1 1u v21uuvdu2211221 1()vuvuudvu vu vvdu12010arcsin,xxdxxe dx例1例2110ln,arctanexxdxxxdx3.5 定积分的经济应用定积分的经济应用3.5.1 3.5.1 生产效率问题生产效率问题3.5.2 3.5.2 平均变化率问题平均变化率问题3.5.3 3.5.3 由贴现率求总贴现值在时间由贴现率求总贴现值在时间 区间上区间上的增量的增量3.5.1 生产效益问题(),()(),()()CQRRQd Cd RM CM Rd Qd QCQM Cd QRQM Rd Q已 知 总 成 本 函 数（
28、）,总 收 益 函 数由 微 分 法 可 得 边 际 成 本 函数 和 边 际 收 益 函 数 分 别 为：即由此，可以得到，边际收入，边际成本，边际利润以及产量的变动区间a,b上的改变量就等于它们各自的边际函数在区间a,b上的定积分：()()baR bR aM R dx（）()()baC bCaM C dx（）()()baL bL aM L dx（）例例 已知某商品边际收入为边际成本为5(万元/t),求产量从250t增加到300t时销售收入R(Q),总成本C(Q),利润L(Q)的该变量。()0.0825()RQQ 万 元/t3.5.2 平均变化率问题定义定义 设某经济函数 的变化率为f(t)
29、,则称为该经济函数在时间 内的平均变化率平均变化率。2121()ttft dttt12,tt例例 （平均利息率）某银行的利息连续计算，利息是时间的函数：求它在开始两年，即时间间隔0,2内的平均利息率。()0.080.015r tt例 （利润的平均变化率）某公司运行t（年）所获利润为L(t)（元），利润的年变化率为求利润从第四年初到第八年末，即时间间隔3,8内年平均变化率。5()3101()Ltt元/年3.5.33.5.3由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量定义定义 设某工程总投资在竣工时的贴现值为A(万元)，竣工后的年收入预计为a(万元)，年利率r,银行利息连续计算，在进行动态经济分析时，把竣工后总收入的总贴现值达到A,即使关系式成立的时间T(年)称为该工程的投资回收期投资回收期。0TrtaedtA例例 （投资回收期）某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元，竣工后的年收入预计为200万元，年利息率为0.08，求该工程的投资回收期。将发生什么样的变化？件，利润础上再生产）在最大利润产量的基（大）产品为多少时利润最求（，边际收益固定成本为件），（元已知某成品的边际成本时，应追加的成本数。增加到求当产量由已知边际成本为502102.012)(R 0/2)(.23020,2100)(.1xxxCxxxxC机动 目录 上页 下页 返回 结束
