1、CompanyLOGO 3.1 中值定理中值定理3.2 洛必达法则洛必达法则 3.3 函数的单调性函数的单调性3.4 函数的极值函数的极值3.5 导数在经济中的应用导数在经济中的应用3.6 利用导数研究函数利用导数研究函数定理定理1 1 设函数设函数 满足下列条件满足下列条件)(xf)()(bfaf(3)(3)(1)(1)在闭区间在闭区间 上连续；上连续；,ba(2)(2)在开区间在开区间 内可导内可导;),(ba则在内至少存在一点则在内至少存在一点 ，ab使得使得0)(f罗尔中值定理罗尔中值定理 定理的几何意义：如果在连续曲线定理的几何意义：如果在连续曲线 上，上，处处有不垂直于处处有不垂直
2、于 轴的切线，且曲线段的两个轴的切线，且曲线段的两个端点的纵坐标相等，那么曲线上至少存在端点的纵坐标相等，那么曲线上至少存在)(xfyx一点，使得在该点处的切一点，使得在该点处的切线平行于线平行于 x 轴见图轴见图3.1 微分中值定理微分中值定理 在图在图3-1中，在曲线中，在曲线的最高点或最低点处切线的最高点或最低点处切线是水平的，这就启发我们是水平的，这就启发我们去证明在函数的最大值点去证明在函数的最大值点或最小值点处的导数为零或最小值点处的导数为零.证证 因为因为 在在 上连续，由闭区上连续，由闭区间上连续函数的性质可知，在间上连续函数的性质可知，在 上必有最大上必有最大值值 和最小值和
3、最小值 )(xfy ba,ba,Mm ，则，则 在在 上恒为常数上恒为常数)(xfy ba,从而在从而在 内处处有内处处有0)(xf),(ba如果如果mM(1)(1)此时显然定理成立此时显然定理成立.yxoab)(xfy 1 2 图图3-1 ，所以所以 与与 中中至少有一个不会在区间至少有一个不会在区间 的端点取到的端点取到.Mmba,不不妨假设妨假设 不在端点取到不在端点取到,M ，则在则在 内至少存内至少存在一点在一点 ,使得使得),(ba Mf)(下面证明有下面证明有0)(f 因为因为 是函数是函数 在在 上的最大上的最大值，所以总有值，所以总有)(xfyba,0)()(fxfy Mf)
4、(当当 时，时，有有 0 x 0 xy 又又 在在 内可导，所以在内可导，所以在 点处可导，点处可导，即即 存在，且有存在，且有)(xfy),(ba)(f mM(2)()(bfaf由于由于 为此为此,给自变量在给自变量在 点一个增量点一个增量 ,则有函则有函数的增量数的增量)()(fxfy x 当当 时，有时，有 0 x 0 xy 从而从而)(f)()(ff从而有从而有0)(f 解解 因因 是初等函数是初等函数,而初等函数在而初等函数在其定义域内连续其定义域内连续,又该函数的定义域为又该函数的定义域为 ,且且显然显然0,3 ,所以所以 在在0,3 上连续上连续,3,(xxxf3)(3,(xxx
5、f3)(,所以所以 在在(0,3)内可导内可导,xxxf3)(例例1 验证验证 在在0,3上是否满足上是否满足罗尔定理的所有条件？如果满足，请找出定理罗尔定理的所有条件？如果满足，请找出定理中的中的 xxxf3)(xyx 0lim0 xyx 0lim0因因 时时0 x 0 x 所以此时所以此时0 xy 根据极限的保号性有根据极限的保号性有因因 时时0 x 0 x 所以此时所以此时0 xy 根据极限的保号性有根据极限的保号性有又又 在在(0,3)xxxxxxf32363213)(内均有定义内均有定义0)3()0(ff又又即即 在区间在区间0，3上满足罗尔定理的上满足罗尔定理的条件条件xxxf3)
6、(由罗尔定理知，在（由罗尔定理知，在（0，3）内至少存在一）内至少存在一点点 ，使得，使得 0)(f为求为求 值值,可令可令 032363213)(xxxxxxf解之得解之得2x易见易见)3,0(2x2,因此可取因此可取则在区间则在区间 内至少存在内至少存在),(ba(1)(1)在闭区间在闭区间 上连续；上连续；,ba(2)(2)在开区间在开区间 内可导；内可导；),(ba定理定理2 2 设函数设函数 满足下列条件满足下列条件)(xf)(xfy MABbaT一点一点 ，使得使得拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理()()()f bf afba曲线曲线 处处有不垂直处处有不垂直于于 轴的切线轴的切线
7、如图如图 在直角坐标系在直角坐标系Oxy()yf xx端点连线端点连线ABAB的斜率为的斜率为()()f bf aba所以定理实际是说存在所以定理实际是说存在点点 ，使曲线在该点的，使曲线在该点的切线切线T平行于弦平行于弦ABAB。()()()f bf afba 即即xyMTBA()yf xOab 由由于于0)(f，所所以以0)()(12xfxf，即即)()(21xfxf.212112()()()()(),f xf xf xxxx.二、两个重要推论二、两个重要推论因因为为21,xx是是),(ba内内的的任任意意两两点点，于于是是上上式式表表明明)(xf在在),(ba内内任任意意两两点点的的值值
8、总总是是相相等等的的，即即)(xf在在),(ba内内是是一一个个常常数数，证证毕毕 推 论推 论 2 2 如 果 对如 果 对),(ba内 任 意内 任 意 x，均 有，均 有)()(xgxf，则在，则在),(ba 内内)(xf与与)(xg之间只差一个之间只差一个常数，即常数，即Cxgxf)()(（C为常数）为常数）证证 令令)()()(xgxfxF，则则0)(xF，由由推推论论 1 1知知，)(xF 在在),(ba内内 为为 一一 常常 数数C，即即),(,)()(baxCxgxf，证证毕毕 2.2.在开区间在开区间 内可导，内可导，),(ba1.1.在闭区间在闭区间 上连续；上连续；,ba
9、定理定理3 Cauchy3 Cauchy中值定理中值定理则在区间则在区间 内定有点内定有点),(ba)()()()()()(agbgafbfgf 使得使得柯西中值定理柯西中值定理设函数设函数 与与 满足如下条件：满足如下条件：)(xg)(xfRolleRolle定理是定理是LagrangeLagrange定理的特例定理的特例:在在LagrangeLagrange中值定理中如果中值定理中如果 则则LagrangeLagrange中值定理变成中值定理变成RolleRolle定理；定理；CauchyCauchy定量是定量是LagrangeLagrange定理的推广定理的推广 在在CauchyCauc
10、hy中值定理中如果中值定理中如果 ，则则CauchyCauchy化为化为LagrangeLagrange中值定理。中值定理。)()(afbf xxg)(三个中值定理的关系洛必达法则就是解决这类极限的工具。洛必达法则就是解决这类极限的工具。3.2 洛必达法则 通常分别称这两类极限为通常分别称这两类极限为“”型或型或“”型的未定式型的未定式 在求极限的过程中，常常遇到这样的情形在求极限的过程中，常常遇到这样的情形,即即在自变量的同一变化过程中，分子、分母同时趋在自变量的同一变化过程中，分子、分母同时趋于零或同时趋于无穷大的情形于零或同时趋于无穷大的情形.例如例如 nxxxxnxxxxxxxxxxx
11、lnlim,3tantanlim,1arctan2lim,cos1lim,11lim2201 00 xxx2sinlim0定理定理1 1 设函数与在的某空心邻域内有定义，且设函数与在的某空心邻域内有定义，且满足如下条件：满足如下条件：000)(lim)(lim)1(xgxfaxax且且在该邻域内都存在在该邻域内都存在和和，xgxf)()()2(;0)(xg.)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax 则则）（)()(lim)3(xgxfax存在存在或为或为1 1 型未定式型未定式20220011.lim.00,100,01limlim121xxxxxxxexxxexxeexxx 例
12、求解：当时 有和是“”型未定式由罗比达法则30332001 cos2.lim.00,1 cos00,01 cossinlimlim,3xxxxxxxxxxxx例 求解：当时 有和是“”形未定式。由罗比达法则：020000lncot3.lim.ln0,lncotln,1tan()lncotsinlimlimlim1lncos sin2lim1sin2xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 例 求解：当时 有和是“”型未定式。由罗比达法则：2222arctan24.lim.11,arctan002001arctan12lim=limlim1111xxxxxxxxxxxxxxx 例 求解：当时和这
13、是“”型未定式，由罗比达法则：2型不定式型不定式 的某空心邻域内有定义，且满足如下条件的某空心邻域内有定义，且满足如下条件(1)lim()lim()xaxaf xg x (2)()fx 与与()g x 在该邻域内都存在，且在该邻域内都存在，且()0g x ()(3)lim()()xafxAg x 有有限限或或则则 ()()limlim()()xaxaf xfxg xg x 定理定理2 2 设函数设函数()f x()g xxa 与在点在点例例5 5求求nxxxlnlim 解解 01lim1limlnlim1 nxnxnxnxnxxxx则可继续使用洛必达法则。即有则可继续使用洛必达法则。即有能满足
14、定理中能满足定理中)(xf)(xg与与应满足的条件，应满足的条件，)()(lim)()(lim)()(limxgxfxgxfxgxfaxaxax )(xf )(xg 与与还是还是 型未定式，且型未定式，且)()(limxgxfax 00如果如果如果反复使用洛必达法则也无法确定如果反复使用洛必达法则也无法确定则洛必达法则失效则洛必达法则失效.此时需用别的办法判断未定式此时需用别的办法判断未定式)()(xgxf的极限。的极限。)()(xgxf或能断定或能断定)()(xgxf 的极限，的极限，无极限，无极限，3 3其它型不定式其它型不定式未定式除未定式除00和和 型外，还有型外，还有 1000 0
15、型、型、型、型、等五种类型。等五种类型。型、型、型、型、型、型、型或者型或者 型型型：型：0 100010 (化化型型)变为变为00lnlimlnlim1xxxxxx021lim2xxx0lim()xx0limlnxxx例例8 8 求求解解0 型型:通分相减变为通分相减变为 型型00例例7 7 求求2lim(sectan)xxx（型）型）解解 (0)0化化型型22221sinlim(sectan)lim()coscos1 sinlimcoscoslim1sinxxxxxxxxxxxxx sin8.lim1()1 coslimlim()1sin1sinlimlim1111xxxxxxxxfxxg
16、 xxxxxxx例 求解：这是“”型未定式但是不存在，可由下面方法 求出：1000 型未定式型未定式:由于它们是来源于幂指函数由于它们是来源于幂指函数 的极限的极限 )()(xgxf因此通常可用取对数的方法或利用因此通常可用取对数的方法或利用 )()(xgxf)(ln)(xfxge 00 即可化为即可化为 型未定式，再化为型未定式，再化为 型或型或 型求解。型求解。0例例9 9 求求xxx 0lim0(0)型型xxxxxxxxeexlnlimln000limlim xxxlnlim0 xxx1lnlim0 2011limxxx 0)(lim0 xx1lim00 exxx 解解所以所以例例10
17、10 求求xxxsin0)(cotlim,)(cotsin xxy xxycotlnsinln yxlnlim0 xxxsin1cotlnlim0 xxxxxcossin1sin1cot1lim220 0cossinlim20 xxx yx0lim解解 设设xxxcotlnsinlim0 所以所以 xxxsin0)(cotlim yxeln0lim10 e（型）型）0 例例11 11 求求xexxln11)(lnlim（型型）1,)(lnln11xxy )ln(lnln11lnxxy xxxxxyexexex11ln1limln1lnlnlimlnlim 1)ln1(lim xex所以所以 1
18、ln11)(lnlim exxex解解3.33.3 函数的单调性函数的单调性定理定理1 1 设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间 a,b 上连续，在开区上连续，在开区间间(a,b)内可导，则：内可导，则：1.若在若在(a,b)内内 ,则则f(x)在区间在区间(a,b)内单调增加内单调增加()0f x 2.若在若在(a,b)内内 ,则则f(x)在区间在区间(a,b)内单调减少。内单调减少。0)(xfabab54343221231.()3615407()1806012060(1)(32)2()0,1,0,322(,1),(1,0),(0,),(,)33(),2()(1,0)(0,),(,1)32(
19、3f xxxxfxxxxxxxfxxxxfxf x 例 确定函数的单调区间解：令则它们将定义域分成四个区间在区间上的符号为。所以在和上单调减少 在和,)上单调增加。2442331232.()(2)(1)()2(2)(1)4(2)(1)6(2)(1)(1).()0,2,1,1,(,2),(2,1)(1,1),(1,)(),.()(,2)(1,1)(2,f xxxfxxxxxxxxfxxxxfxf x 例 确定函数的单调区间解：令则它们把定义域分成区间在区间上的符号为所以在和上单调减少，在1)(1,)和上单调增加。223.1(1).(1)(1)0,0,(,1),(1,0),(0,),(,1)(1,
20、0)(0,)xxxxeyxexexeyxxyxyy 例 确定函数的单调区间解：令则它把定义域分成区间在区间上的符号为所以 在区间和上单调减少，在区间上单调增加。反之，如果对此邻域内任一点反之，如果对此邻域内任一点 ，恒有，恒有 则称则称 为函数为函数 的一个极小值，的一个极小值，称为极小值点。称为极小值点。)(xf)(0 xxx)(0 xf0 x)()(0 xfxf 3.4 3.4 函数的极值函数的极值定义定义 设函数设函数 在点在点 的某邻域内有定义，若对此的某邻域内有定义，若对此邻域内每一点邻域内每一点 ，恒有，恒有 ，则称，则称 是函数是函数 的一个极大值，的一个极大值，称为函数称为函数
21、 的一个极的一个极大值点；大值点；)(xf0 x)(0 xxx)()(0 xfxf)(0 xf0 x)(xf)(xf 函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极小值点统称为极值点。小值点统称为极值点。ab1x3x5x2x4xABCDE极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整个区间上极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯一的。如下图中的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯一的。如下图中A、B、C、D、E都是极值点。都是极值点。从图中可看出从图中可看出,极小值极小值不一定小于极大值，如不一定小于极大值
22、，如图中图中D点是极小值，点是极小值，A点是极大值。点是极大值。定理定理3.6（极值第一判别法）：（极值第一判别法）：)(xf设函数设函数 在点在点 的某邻域内连续，且在此的某邻域内连续，且在此邻域内（邻域内（可除外）可导可除外）可导0 x0 x（1）如果当）如果当 时时 ，而当，而当 时，时，则则 在在 取得极大值。取得极大值。0 x0)(xf0 xx 0 xx 0)(xf)(xf0)(xf0)(xf 0 x 0 x0 x（）如图所示：如图所示：在在 ，),(00 xx 0)(xf在在 ，),(00 xx0)(xf在在 取得极大值。取得极大值。)(xf0 x（2）如果当）如果当 时时 ，而当
23、，而当 时，时，则则 在在 取得极小值。取得极小值。0 x0)(xf0 xx 0 xx 0)(xf)(xf0)(xf0)(xf 0 x 0 x0 x（）如图所示：如图所示：在在 ，),(00 xx 0)(xf在在 ，),(00 xx0)(xf在在 取得极小值。取得极小值。)(xf0 x（3）如果在）如果在 两侧两侧 的符号不变，则的符号不变，则 不是不是 的极值点，如图示的极值点，如图示0 x)(xf 0 x)(xf0)(xf 0 x 0 x0 x（）0)(xf(4)利用定理利用定理3,判断判断(2)中的点是否为极值点中的点是否为极值点,如果是如果是 求极值点的步骤：求极值点的步骤：(1)求函
24、数的定义域求函数的定义域(有时是给定的区间有时是给定的区间);(3)用用(2)中的点将定义域中的点将定义域(或区间或区间)分成若干个子区间分成若干个子区间,进一步判定是极大值点还是极小值点进一步判定是极大值点还是极小值点.(2)求出求出 ,求出使求出使 的点及的点及 不存在的点不存在的点;)(xf 0)(xf)(xf 讨论在每个区间讨论在每个区间 的符号的符号;)(xf (5)求出各极值点处的函数值求出各极值点处的函数值,得函数的全部极值得函数的全部极值.例例1 求函数求函数 的单调区间和极值的单调区间和极值.32)1()1()(xxxf解解 函数的定义域为函数的定义域为),(223)1()1
25、(3)1)(1(2)(xxxxxf)15()1)(1(2 xxx0)(xf,11 x,512 x13 x令令,得驻点得驻点这三个点将定义域这三个点将定义域分成四个部分区间，列表如下分成四个部分区间，列表如下极大值极大值,3125345651 f极小值极小值0)1(f231333322.()(1)32221()(1)(1)333121 1.31()0,2.1,()2121(1),(2).33f xxxfxxxxxfxxxfxxxf 例 求函数的极值。解：令则当时不存在，和将定义域分成三个区间。列表如下：所以函数的极大值为极小值为 1 (1,2)2 +不存在 -0 +极大值极小值()fxx()f
26、x(,1)(2,)23132()3693(1)(3).fxxxxxxxf6)(令令 得得11x 23x 0)(xf由于由于(1)60f (3)180f 定理定理3.7(极值的第二判别法极值的第二判别法)设函数设函数 在点在点 处具有处具有)(xf0 x 二阶导数，且二阶导数，且 ，；0)(0 xf0)(0 xf（1）若若 ，则，则 是函数是函数 的极小值点；的极小值点；0)(0 xf0 x)(xf（2）若）若 ，则，则 是函数是函数 的极大值点；的极大值点；0)(0 xf0 x)(xf例例3 求函数求函数 的极值的极值.32()391f xxxx解解 函数的定义域为函数的定义域为),(所以所以
27、 为极大值为极大值,为极小值为极小值.2)1(f2)1(f3.4.2 3.4.2 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者 最小的就是函数在区间最小的就是函数在区间上的最小值。上的最小值。,ba连续函数在区间连续函数在区间上的最大值与最小值可通过比较上的最大值与最小值可通过比较端点处的函数值端点处的函数值 和和 ;1.1.区间区间,ba()()f af b2.2.区间区间内使的点处的函数值；内使的点处的函数值；),(ba0)(xf内使内使 不存在的点处的函数值。不存在的点处的函数值。3.3.区间区间
28、),(ba)(xf 这些值中最大的就是函数在这些值中最大的就是函数在上的最大值上的最大值,ba,ba上的最大值与最小值是全局性的概念上的最大值与最小值是全局性的概念,函数在区间函数在区间,ba如下几类点的函数值得到：如下几类点的函数值得到：432324.()34121,3,3()121224=12(1)(2),()01,0,2.(1)4,(0)1,(2)31(3)244,(3)28.3,3(3)244,(3)28f xxxxfxxxxx xxfxxxxfffffff 例 求函数在上的最大值与最小值解：令，解得因为，所以在上最大值是最小值是上的最大值和最小值。上的最大值和最小值。在驻点处函数值分
29、别为在驻点处函数值分别为在端点的函数值为在端点的函数值为最大值为最大值为最小值为最小值为解解)1)(1(444)(3 xxxxxxf令令0)(xf，得驻点，得驻点11 x0,2 x1,3 x(2)(2)11ff(1)(1)2ff例例5 5 求函数求函数 在区间在区间42()23f xxx 2,2)(xf(1)2,(0)3,(1)2fff(2)(2)11ff比较上述比较上述5 5个点的函数值，即可得个点的函数值，即可得 在区间在区间上的上的)(xf2,2326.()1 1,3()=3.()0,0(0)1(1)0,(3)28.()1,3(3)28,(1)0f xxfxxfxxffff xff例 求
30、函数在上的最大值和最小值。解：令解得因为，所以在上的最大值为最小值为 如果连续函数在某区间内仅有惟一一个极值点如果连续函数在某区间内仅有惟一一个极值点,则该则该极值点必为最值点且若是极大值点则就是最大值点，极值点必为最值点且若是极大值点则就是最大值点，若是极小值点则就是最小值的点若是极小值点则就是最小值的点 一般求实际问题的最大值或最小值都属于这种情形一般求实际问题的最大值或最小值都属于这种情形 例例7 欲用长欲用长6cm的铝合金料加工一日字形窗框，的铝合金料加工一日字形窗框，问它的长和宽分别是多少时，才能使窗户面积问它的长和宽分别是多少时，才能使窗户面积最大，最大面积是多少？最大，最大面积是
31、多少？解：设窗框的宽为解：设窗框的宽为xm，则长为，则长为M。窗户面积窗户面积1(63)2x(0,2)x213(63)322yxxxx233=01,30331mmm.22yxyxy ，令，得驻点又当窗户宽，长为时，窗户面积最大为Q3.4.33.4.3最大值与最小值在经济问题中的应用举例最大值与最小值在经济问题中的应用举例 在经济学中，总收益、总成本都可以表示为产量在经济学中，总收益、总成本都可以表示为产量的函数，分别记为的函数，分别记为和和，则总利润，则总利润可表可表 ()R Q()C Q()L Q示为示为()()()LL QR QC Q()()()L QR QC Q最大利润原则最大利润原则:
32、取得最大值的必要条件为取得最大值的必要条件为 ()L Q()0L Q ()()R QC Q 即即所以取得最大利润的必要条件是所以取得最大利润的必要条件是:边际收益等于边际成本边际收益等于边际成本 例例8 某厂生产某种产品，其固定成本为某厂生产某种产品，其固定成本为3万元，每生产一百万元，每生产一百件产品，成本增加件产品，成本增加2万元。其收入万元。其收入R（万元）是产量（万元）是产量q（百件）（百件）的函数：的函数：求达到最大利润时的产量。求达到最大利润时的产量。215,2Rqq232.133,23.0,310300CqLRCqqLqLqL 解：成本函数为利润函数为令得，因为所以当产量为件时取
33、得最大利润。1.最大利润问题最大利润问题2.最小成本问题最小成本问题3229.93025,25930,29.04.5204.59.754.59750CqqqCqtyCyqqqyqyqtyqyt例 已知某个企业的成本函数为其中 为成本（千元），为产量（），求：平均可变成本（千元）解：令，得。因为，所以当时取得极小值，即产量为时，平均可变成本最小值元。3.5 3.5 导数在经济中的应用导数在经济中的应用 3.5.1 函数的变化率函数的变化率边际函数边际函数定义定义1 1 设函数设函数在点在点处可导，处可导，)(xfy x为为的边际函数的边际函数。)(xf )(xf称导函数称导函数)(xf在点在点0
34、 x处的导数处的导数)(0 xf 称为称为)(xf在点在点0 x处的处的边际函数值。其含义为边际函数值。其含义为:当当 时时,x改变一个单位，相改变一个单位，相0 xx 相应地相应地 y 约改变约改变 个单位个单位)(0 xf 实际上，实际上，xxfdyy )(0当当 时时,)(0 xfy 1 x22xy 在在5 x时的边际函数值。时的边际函数值。,试求试求例例1 1 设函数设函数解解 ,所以所以,xy4 205 xy 边际成本是总成本的变化率。边际成本是总成本的变化率。设设C C为总成本，为总成本，下面介绍几个常见的边际函数下面介绍几个常见的边际函数:1 1边际成本边际成本 1C为固定成本，
35、为固定成本，则有则有为可变成本，为可变成本，2C为平均成本，为平均成本，C为边际成本，为边际成本，C 为产量，为产量，Q总成本函数总成本函数 12()()CC QCC Q平均成本函数平均成本函数 12()()CC QCC QQQ边际成本函数边际成本函数 ()CC Q 2()1004QCC Q例例2 2 已知某商品的成本函数为已知某商品的成本函数为,求当求当时的总成本，平均成本及边际成本。时的总成本，平均成本及边际成本。10Q 解解 由由21004QC 1004QCQ2QC 令令 得得边际成本边际成本于是当于是当 时时10Q 总成本总成本 125)10(C平均成本平均成本 5.12)10(C5)
36、10(C 2100Q Q 为多少时，平均成本最小为多少时，平均成本最小?例例3 3 在例在例1 1中，当产量中，当产量解解 C41 3200CQ 0 C2400Q 20Q 0)20(C所以所以,当当Q =20=20时平均成本最小。时平均成本最小。2 2收益收益 平均收益是生产者平均每售出一个单位产品所得到平均收益是生产者平均每售出一个单位产品所得到的收入，即单位商品的售价。边际收益为总收益的变化的收入，即单位商品的售价。边际收益为总收益的变化率。总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数。率。总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数。设设P P为商品价格，为商品价格，Q 为商品量，为商品量，R
37、R 为总收益，为总收益，为平为平均收益，均收益，为边际收益，则有为边际收益，则有 R需求函数需求函数 总收益函数总收益函数 平均收益函数平均收益函数 边际收益函数边际收益函数 ()RR Q()QPP()RR Q()RR Q R 需求与收益有如下关系需求与收益有如下关系:总收益总收益 平均收益平均收益 边际收益边际收益()()RR QQP Q()()()()R QQP QRR QP QQQ()RR Q()()R QRR QQ总收益与平均收益及边际收益的关系为总收益与平均收益及边际收益的关系为求销售量为求销售量为3030时的总收益，平均收益与边际收益。时的总收益，平均收益与边际收益。105QP 2
38、()()101205QR QQP QQ()()10,5QR QP Q例例4 4 设某产品的价格和销售量的关系为设某产品的价格和销售量的关系为解解 总收益总收益 平均收益平均收益 4)30(R边际收益边际收益 2()10,5R QQ 2)30(R例例6 6某工厂生产某种产品，固定成本某工厂生产某种产品，固定成本2000020000元，每生产元，每生产一单位产品，成本增加一单位产品，成本增加100100元。已知收益元。已知收益()()()L LQRQC Q QL()2000100QQ C C=C C解解 根据题意，总成本函数为根据题意，总成本函数为是年产量是年产量的函数的函数21400()2800
39、00QQRR Q 0400Q400Q 问每年生产多少产品时总利润最大问每年生产多少产品时总利润最大?此时总利润是多少此时总利润是多少?从而可得总利润函数为从而可得总利润函数为21300200000400260000100400QQQQQ R()()()L QR QC Q3000400100400QQQ 令令 得得0()L300Q 由于由于 ,故故 时利润最大时利润最大01)300(L300Q 此时此时2500020000900002190000)300(L 即当生产量为即当生产量为300个单位时个单位时,总利润最大总利润最大,其最大其最大利润为利润为25000元元.设某企业某种产品的生产量为设
40、某企业某种产品的生产量为 个单位个单位,代表总成代表总成本本,代表边际成本代表边际成本,每单位产品的平均成本为每单位产品的平均成本为 在生产实践中在生产实践中,经常遇到这样的问题经常遇到这样的问题,即在既定的生产规模条件下即在既定的生产规模条件下,如何合理安排生产能使成本最低如何合理安排生产能使成本最低,利润最大利润最大?Q3 3成本最低的生产量问题成本最低的生产量问题()C Q()C Q()C QCQ 于是于是()()()C QC QQC Q由极值存在的必要条件知，使平均成本为极小的生产量由极值存在的必要条件知，使平均成本为极小的生产量应满足应满足 ,于是得到一个经济学中的重要结论于是得到一
41、个经济学中的重要结论:0Q0()0C Q 使平均成本为最小的生产水平（生产量使平均成本为最小的生产水平（生产量 ），正是使），正是使边际成本等于平均成本的生产水平（生产量）。边际成本等于平均成本的生产水平（生产量）。0Q2()54186C QQQ例例1 设某产品的成本函数为设某产品的成本函数为 试求使平均成本最小的产量水平。试求使平均成本最小的产量水平。解解 平均成本平均成本()54()186C QC QQQQ()6,254C QQ 3108()CQQ 令令 解得解得()0C Q 3Q ,由于由于27108)3(C所以所以 是平均成本是平均成本 的最小值点也就是的最小值点也就是平均成本最小的产
42、量水平平均成本最小的产量水平 3Q ()C Q此时此时)3(54)3(CC 即即 时时,边际成本等于平均成本也使平均成本达到最小边际成本等于平均成本也使平均成本达到最小.3Q )100(51)100(51)(2qqqqqR)2100(51)(qqR12)20(R0)50(R8)70(R 其经济意义为：当需求量为其经济意义为：当需求量为20个单位时，个单位时，若再多销售若再多销售1个单位产品，则总收入将增加个单位产品，则总收入将增加12个个单位；当销售量为单位；当销售量为50个单位时，若再多销售个单位时，若再多销售1个个单位产品，则总收入不会改变；而当销售量为单位产品，则总收入不会改变；而当销售
43、量为70个单位时，若再多销售个单位时，若再多销售1个单位产品，则总收个单位产品，则总收入反而会减少入反而会减少8个单位个单位二、弹性分析二、弹性分析1函数的弹性函数的弹性（1）相对改变量）相对改变量 设有甲、乙两种商品设有甲、乙两种商品,其单价分别为其单价分别为5元和元和1000元元,现在让这两种商品的价格均上涨一元现在让这两种商品的价格均上涨一元.我我们会发现甲商品的价格变化比较大们会发现甲商品的价格变化比较大,而感觉乙商而感觉乙商品的价格变化微乎其微品的价格变化微乎其微.因此甲商品的需求量必因此甲商品的需求量必会发生很大的波动会发生很大的波动,而乙商品的需求量不会发生而乙商品的需求量不会发
44、生多大变化多大变化.先看一例先看一例 为什么均涨价了一元为什么均涨价了一元,而需求量的变化又不而需求量的变化又不同呢同呢?其原因显然是原来价格的差异造成了涨其原因显然是原来价格的差异造成了涨价的幅度实际上不同价的幅度实际上不同甲商品涨价的幅度是甲商品涨价的幅度是:%20%10051乙商品涨价的幅度是乙商品涨价的幅度是:%0.1%10010001 对于函数对于函数 ，称，称 为自变量在为自变量在 点处点处的相对改变量，称的相对改变量，称 为函数为函数 在在 点处的相对点处的相对改变量改变量xx yy)(xfyxyx（2）弹性的定义）弹性的定义 定义定义3.4 设函数设函数 在点在点 处有定义处有
45、定义,给给自变量在自变量在 点一个增量点一个增量 ,则有函数则有函数 有相应的有相应的增量增量 ,如果当如果当 时时,函数的函数的相对增量与自变量的相对增量之比的极限相对增量与自变量的相对增量之比的极限:)(xfy xxx y)()(xfxxfy 0 x xxyyx 0lim存在存在,则称该极限值为函数则称该极限值为函数 在在 点处的弹点处的弹)(xfy x性性.记作记作EExEy或或注意注意:由定义易见由定义易见yyxxyyxyxxyxxyyxxyyxxxx 0000limlimlimlim因此常常用公式因此常常用公式 求弹性求弹性.)()(xfxfxyyxExEy2弹性的经济意义弹性的经济
46、意义 函数函数 在在 点处的弹性点处的弹性 表示在表示在 点点处处,当自变量增加当自变量增加1%时，函数值会在原来基础上时，函数值会在原来基础上改变改变%)(xfy xxEE注意注意:当当 为正数时为正数时,函数值会增大函数值会增大%,当当EE当当 为负数时为负数时,函数值会减少函数值会减少%,EE 反映了反映了 对对 的相对变化率，即的相对变化率，即 对对 变化的灵敏度变化的灵敏度yxxyExEy3需求价格弹性对销售收益的分析需求价格弹性对销售收益的分析QpQQppQppQQEpp 00limlim需求量需求量 与价格与价格 的函数关系为的函数关系为 Qp)(pQQ 需求量对价格的弹性称为需
47、求价格弹性需求量对价格的弹性称为需求价格弹性,记作记作 E即即当当 时时,即即 时时 当当 时时,即即 时时当当 时时,即即 时时一般一般,由于由于 所以所以 op 0Q0)(pQ0E 设总收益设总收益)(pfppQR则则)1)()()(1)()()(EpfpfppfpfpfppfRMR 因为需求量因为需求量 ,且且 所以所以 0)(pfQ01 E0MR01 E01 E0MR0MR0E01E1E1E于是于是从中提出从中提出)(pf （1）若）若 ，即，即 时，如果价格提时，如果价格提高高1%,则减少的需求量不会超过则减少的需求量不会超过1%，这时若提，这时若提高价格必然会使得总收益增加高价格必
48、然会使得总收益增加.生活必需品多属生活必需品多属此情况此情况.称这种商品是低弹性的称这种商品是低弹性的(或缺乏弹性的或缺乏弹性的).（2）若）若 ，即，即 时，如果价格提时，如果价格提高高1%,则减少的需求量将大于则减少的需求量将大于1%，这时若提高，这时若提高价格必会使得总收益减少奢侈品多属此情况；价格必会使得总收益减少奢侈品多属此情况；称这种商品是高弹性的称这种商品是高弹性的(或是富有弹性的或是富有弹性的).（3）若）若 ，即，即 时，如果价格提时，如果价格提高高1%，则减少的需求量恰好也是，则减少的需求量恰好也是1%，这时，总，这时，总收益不变这种商品很少见常称这种商品是单收益不变这种商
49、品很少见常称这种商品是单位弹性的位弹性的.01E1E1E1E1E1E 例例 若市场需求曲线为若市场需求曲线为 ，求价格，求价格pQ5120 时的需求价格弹性，并说明怎样调整价格才时的需求价格弹性，并说明怎样调整价格才能使总收益增加能使总收益增加4p解解 ppQpdpdQE51205 当当 时时 因而该商品是缺因而该商品是缺乏弹性的故提高价格会使得总收益增加乏弹性的故提高价格会使得总收益增加12.02012020E4pM1xyo1 2 M2M1xyo1 2 M23.6.1 3.6.1 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义3.33.3：如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线的：如果在某区间内，曲
50、线弧总是位于其切线的上方，则称曲线在这个区间上是凹的。上方，则称曲线在这个区间上是凹的。如图所示如图所示3.6 3.6 利用导数研究函数利用导数研究函数 如果曲线弧总是位于其切线的下方，则称曲线在如果曲线弧总是位于其切线的下方，则称曲线在这个区间上是凸的。如下图：这个区间上是凸的。如下图：当曲线为凹时，曲线当曲线为凹时，曲线 的切线斜率的切线斜率 随着随着 的增加而增加，即的增加而增加，即 是增函数；反之，当是增函数；反之，当曲线为凸时，曲线曲线为凸时，曲线 的切线斜率的切线斜率 随随着着 的增加而减少，即的增加而减少，即 是减函数。是减函数。)(xfy xxftan)(x)(xfy)(xf(
