1、 数学教学的目的在于培养学生的思维能力。要做到这一点，首先要培养学生良好的思维品质。事实上，良好的思维品质往往包括以下几个方面：思维的变通性、思维的反思性、思维的严密性和思维的发散性。培养良好思维品质的途径是进行有素的训练。本教程将结合中学数学教学的实际情况，着重进行这方面的训练。第一讲第一讲 数学思维变通性训练数学思维变通性训练1.思维变通性概念思维变通性概念 在数学教学中，思维变通性表现为：能善于根据题设中的具体情况，提出新的构想和解题方案。它体现学生在智力活动中灵活程度上的差异，是数学思维的重要品质之一。数学问题千变万化，要想既快又准的解决好数学问题，用一套固定的方案，是行不通的，必须视
2、其具体情况，灵活确定解题方案。也就是说，必须具有思维的变通性，根据数学思维变通性的主要体现，本课程将着重进行以下几个方面的训练：小资料：小资料：怎样解题怎样解题 G.波利亚波利亚 第一：你必须弄清问题第一：你必须弄清问题 弄清问题：未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满弄清问题：未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？把条件的各部分分开。你能否把它们写下来？或者是矛盾的？把条件的各部分分开。你能否把它们写下来？第二：找出
3、已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅第二：找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题，你应该最终得出一个求解的计划。助问题，你应该最终得出一个求解的计划。拟订计划：拟订计划：你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数或题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的
4、问题。你相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了利用它，你是否应能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去。它？回到定义去。如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个
5、更特殊的问题？一个类比的问题？你容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，能不能想出适于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？
6、或二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？的所有必要的概念？第三：实现你的计划第三：实现你的计划 实现计划：实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚地看实现计划：实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚地看出这一步骤是否正确的？你能否证明这一步骤是正确的？出这一步骤是否正确的？你能否证明这一步骤是正确的？第四：验证所得的解第四：验证所得的解 回顾：你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？回顾：你能否检验这个论证？
7、你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出来？你能不能把这个结果或方法用于其它的问题？你能不能一下子看出来？你能不能把这个结果或方法用于其它的问题？（1）善于观察）善于观察 做一道数学题，大致上有：审题、想题、解题三大段。&在审题时要细心观察。在审题时要细心观察。解数学题首先要弄清题意。即：正确地感知题目中出现的主要概念，分清什么是已知，什么是求（证）。&在想题时要重视在想题时要重视“特殊特殊”的已知条件的已知条件。在探索解题思路时，往往会感到有些“特殊”的已知条件用不上，因而思路也找不出来。有时虽然思路找出来了，但如果注意到了已知条件中的某些“特殊性”，往往可以发现有更为简便的思路存在
8、。&观察法解题观察法解题有些问题，思索的过程只可意会，难以言传，因此只好用观察法求解。即：先根据观察、猜想应用什么样的解，然后进行直接验证。分类考察讨论：分类考察讨论：在些数学题，解题的复杂性，主要在于它的条件、结论（或问题）包含多种不易识别的可能情形。对于这类问题，选择恰当的分类标准，把原题分解成一组并列的简单题，有助于实现复杂问题简单化。有些结构复杂的综合题，就其生成背景而论，大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组合抽去中间环节而构成的。因此，从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节和隐含条件，把原题分解成一组相互联系的系列题，是实现复杂问题简单化的一条重要途径。联想是转化问题的桥梁。稍
9、具难度的问题和基础知识之间的联系都是不明显的、间接的、复杂的。因而，怎样解题，解题的速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，作出相应的联想，找到突破口，不断深入。数学家波利亚在怎样解题中说过，数学解题是命题的连续变换。可见解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么，怎样转化呢？概括讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。因此，在解数学题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。G（3）善于进行问题转化有些数学题，条件比较抽象、复杂，不太容易入手。这时，不妨简化题中某些已知条件，甚至暂时
10、撇开不顾，先考虑一个简化问题。这样简单化了的问题，对于解答原题，常常能起到穿针引线的作用。2思维训练：思维训练：（1）观察能力的训练 虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式；条件与结论（或问题）之间，也存在着多种联系方式。因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论（或条件与问题）的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形（点、线、面、体），构造算法，构造多项
11、式，构造方程（组），构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命题，构造反例，构造数学模型等等。有些数学题，内容抽象，关系复杂，给理解题意增添了困难，常常会由于题目的抽象性和复杂性，使正常的思维难以进行到底。对于这类题目，借助图表直观，利用示意图或表格分析题意，有助于抽象内容形象化，复杂关系条理化，使思维有相对具体的依托，便于深入思考，发现解题线索。有些涉及数量关系的题目，用代数方法求解，道路崎岖曲折，计算量偏大。这时，不妨借助图形直观，给题中有关数量以恰当的几何分析，拓宽解题思路，找出简捷、合理的解题途径。讲评：我们解题时，常会遇到这样的情形：根据命题的条件和结论，按常规方法去解题，过程会
12、十分冗繁，有时甚至难以入手。如果能转换一个角度来考虑，则可以把它变更为我们熟悉而又易于解的问题。点评：正与反的转化 有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大，致使思路受阻，例如，当我们研究一种运算的逆运算时可以转化为它的正运算；在解决有关反函数问题时，可以转化为它的反函数来求解。所谓“正反转化”还意味着，如果命题的结论 非此即彼时，转化结论，从而推出矛盾，使问题得以解决。第二讲第二讲 数学思维反思性训练数学思维反思性训练1.概述概述 数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解，精细地检查思维过程，不盲从、不轻信。在解决问题时能不断地验证所拟定的假设，获得独特的解决问题的方法，它和创造
13、性思维密切相关。通过本讲训练，加强学生思维的严密性培养他们的创造性思维。养成验算的习惯，可以有效地增强思维反思性。如：在解无理方程、无理不等式；对数方程、对数不等式时，由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域可能会发生变化，这样就有可能产生增根或失根，因此必须进行检验，舍弃增根，找回失根。第三讲第三讲 数学思维严密性训练数学思维严密性训练1概述概述在中学数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，考察问题时严格、准确，进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学，论证的严密性是数学的根本特点之一。但是，由于认知水平和心里特征等因素的影响，中学生的思维过程常常
14、出现不严谨现象，主要表现在以下几个方面：（1）概念模糊概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。它是构成判断、推理的要素。因此必须弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠定基础。概念不清就容易陷入思维混乱，产生错误。（2）判断错误判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式。数学中的判断通常称为命题。在数学中，如果概念不清，很容易导致判断错误。例如，“函数是一个减函数”就是一个错误判断。（3）推理错误 理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断的联合。任何一个论证都是由推理来实现的，推理出错，说明思维不严谨。注意注意充分条件、必要条件、充要条件在解题中
15、的运用充分条件、必要条件、充要条件在解题中的运用 我们知道：如果A成立，那么B成立，即，则A称是B的充分条件。如果B成立，那么A成立，即，则称B是A的必要条件。如果A、B可以相互推出，则称是的充分必要条件。充分条件和必要条件中我们的学习中经常遇到。像讨论方程组的解，求满足条件的点的轨迹等等。但充分条件和必要条件中解题中的作用不同，稍用疏忽，就会出错。PC(3,0)yxO图图321 MN第四讲第四讲 数学思维发散性训练数学思维发散性训练1 概述概述 数学思维发散性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。“数学是一个有机的整体，它的各
16、个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。讲评：高考数学试题中的中档题及压轴题一般都有多种解法，这从一个侧面反映出只有多种解法的题目才有更多的机会成为高考题，所以我们把综合了传统分类法中的代数、三角（中档）、立体几何（中档）、解析几何（压轴题）集中起来，用多种解法进行分析，这对我们提高解题能力是十分必要的。
