1、11.3 11.3 多边形及其内角和多边形及其内角和1.1.了解多边形内角和与外角和的探究过程了解多边形内角和与外角和的探究过程;2.2.掌握多边形内角和与外角和定理掌握多边形内角和与外角和定理;3.3.掌握镶嵌的条件掌握镶嵌的条件;4.4.感受数学知识在实际生活中的应用感受数学知识在实际生活中的应用.图中有你认识的多边形吗？图中有你认识的多边形吗？图中有你认识的多边形吗？图中有你认识的多边形吗？三角形三角形 长方形长方形 六边形六边形 四边形四边形 八边形八边形 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形成的封闭图形叫做多边形.你能仿照三角形的
2、定义给出四边形、五边你能仿照三角形的定义给出四边形、五边形形的定义吗？的定义吗？顶点顶点内角内角边边可表示为：可表示为：五边形五边形ABCDEABCDE或五边形或五边形DCBAEDCBAEABCDE外角外角：多边形相邻两边组成的角：多边形相邻两边组成的角内角的邻补角内角的邻补角 在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做叫做正多边形正多边形.等边三角形等边三角形正方形正方形正五边形正五边形正六边形正六边形对角线对角线对角线对角线对角线对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段连接多边形不相邻的两个顶点的线段.ABCDE读出图中所有的对角线读出图中
3、所有的对角线画出多边形中从一个顶点出发的对角线，写出它的条数画出多边形中从一个顶点出发的对角线，写出它的条数.0 01 12 23 35 5从从n n边形的一个顶点出发能画出多少条对角线？边形的一个顶点出发能画出多少条对角线？你能写出每个图形中对角线的总条数吗？如果不能，你能写出每个图形中对角线的总条数吗？如果不能，请画出所有对角线请画出所有对角线.0 02 25 59 9 你能告诉我二十边形的对角线的总条数吗？五十你能告诉我二十边形的对角线的总条数吗？五十边形呢？一百边形呢？边形呢？一百边形呢？n n边形呢？边形呢？太难画了！太难画了！边数边数3 34 45 56 67 7n n从一个顶点出
4、从一个顶点出发的对角线的发的对角线的条数条数上述对角线分上述对角线分成的三角形个成的三角形个数数总的对角线条总的对角线条数数0 00 00 01 12 22 22 23 35 53 34 49 94 45 51414n-3n-3n-2n-2n(n-3)n(n-3)2 2多边形多边形边边数数一个顶点一个顶点出发的对出发的对角线条数角线条数图形图形分成三角分成三角形的个数形的个数内角和的计内角和的计算规律算规律三角形三角形四边形四边形五边形五边形六边形六边形七边形七边形n n边形边形3 34 45 56 67 7n n0 0n-3n-31 12 23 34 41 12 23 34 45 5n-2n
5、-2(n(n2)2)1801805 5 1801804 4 1801803 3 1801802 2 1801801 1 180180 B BA AC CD DG GF FE En n边形内角和边形内角和=(n=(n2)2)180180把一个五边形分成几个三角形，还有其他的分法吗？把一个五边形分成几个三角形，还有其他的分法吗？ABCDEF180180 4 4 180 180=540=540E ABCDO180180 5 5 360 360=540=540 A BCDE4 4 180180-180-180 O=540=540【例例】已知四边形已知四边形ABCDABCD，A+C=180A+C=180
6、，求求B+D.B+D.A AB BC CD D解解:四边形的内角和为四边形的内角和为:(4-2)(4-2)180=360180=360，所以所以B+D=360B+D=360-(A+C)=180-(A+C)=180.A+C=180A+C=180，【例题例题】1.1.十二边形的内角和是十二边形的内角和是 .2.2.一个多边形当边数增加一个多边形当边数增加1 1时，它的内角和增加时，它的内角和增加 .3.3.一个多边形的内角和是一个多边形的内角和是720720，则此多边形共有，则此多边形共有 个个内角内角.4.4.如果一个多边形的内角和是如果一个多边形的内角和是1 4401 440，那么此多边形是，
7、那么此多边形是 边形边形.1 8001 800 180180六六十十【跟踪训练跟踪训练】如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和五边形的外角和等于多少？角的和叫做五边形的外角和五边形的外角和等于多少？6 6EBCD1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 A五边形外角和五边形外角和五边形的外角和等于五边形的外角和等于360360.-(5-2)-(5-2)180 180=360=360.=五个平角五个平角-五边形内角和五边形内角和=5=5180180在在n n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫边形的每个顶点处各取
8、一个外角，这些外角的和叫做做n n边形的外角和边形的外角和n n边形外角和边形外角和=n n边形的外角和等于边形的外角和等于360360.-(n-2)-(n-2)180 180=360=360.A1E BCD 2 3 4 5F nn n个平角个平角-n-n边形内角和边形内角和=n=n180180从多边形的一个顶点从多边形的一个顶点A A点出发，沿多边形的各边走过各点之点出发，沿多边形的各边走过各点之后回到点后回到点A.A.最后再转回出发时的方向最后再转回出发时的方向.多边形的外角和多边形的外角和在行程中所转的各个角的和是多少？在行程中所转的各个角的和是多少？好平整的地板好平整的地板!这是这是怎
9、么铺成的怎么铺成的?怎么一怎么一点空隙也没有？点空隙也没有？好平整的地面好平整的地面!这是这是怎么铺成的怎么铺成的?怎么一怎么一点空隙也没有？点空隙也没有？砖与砖不留空隙、不重叠，并且把地面全部铺满砖与砖不留空隙、不重叠，并且把地面全部铺满.仅用一种正多边形铺地面，哪仅用一种正多边形铺地面，哪些正多边形能单独铺满地面？些正多边形能单独铺满地面？正方形正方形正三角形正三角形正六边形正六边形啊啊!拼不了啦拼不了啦,为什么为什么呢呢?你能说说道理吗你能说说道理吗?1231+2+3=?1+2+3=?用边长相同的正五边形用边长相同的正五边形能否铺满地面？能否铺满地面？铺满地面满足的条件铺满地面满足的条件
10、:能铺满地面的正多边形能铺满地面的正多边形,围绕某一点的内角和为围绕某一点的内角和为_._.3603601.1.什么样的正多边形能够铺满地面什么样的正多边形能够铺满地面?要用正多边形铺满地面要用正多边形铺满地面,关键是：这种正多边形内角的度关键是：这种正多边形内角的度数能整除数能整除360360.能单独铺满地面的正多边形有正三角形、正四边形、正能单独铺满地面的正多边形有正三角形、正四边形、正六边形六边形.2.2.用边长相等的两种正多边形铺地面，哪两种正多边形用边长相等的两种正多边形铺地面，哪两种正多边形能铺满地面？能铺满地面？60603+903+902=3602=360正三角形和正方形正三角形
11、和正方形正三角形和正六边形正三角形和正六边形60604+1204+120=360=360，60602+1202+1202=3602=360.正方形和正八边形能正方形和正八边形能否铺满地面否铺满地面?正三角形和正十二边正三角形和正十二边形能否铺满地面形能否铺满地面?1351359015015060正八边形和正方形正八边形和正方形正十二边形和正三角形正十二边形和正三角形135135+135+135+90+90=360=360，150150+150+150+60+60=360=360.正方形和正六边形能否铺满地面？正方形和正六边形能否铺满地面？【解析解析】正方形和正六边形不能铺满地面正方形和正六边形
12、不能铺满地面.1 1（茂名（茂名中考）下列命题是假命题的是（中考）下列命题是假命题的是（）A A三角形的内角和是三角形的内角和是180180B B多边形的外角和都等于多边形的外角和都等于360360C C五边形的内角和是五边形的内角和是900900D D三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和C C2 2（自贡（自贡中考）一个多边形截取一个角后，形成的另一中考）一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是个多边形的内角和是1 6201 620，则原来多边形的边数是，则原来多边形的边数是（）A A1010 B B1111C C1212 D
13、D以上都有可能以上都有可能 D D 3 3（肇庆（肇庆中考）一个多边形的内角和是外角和的中考）一个多边形的内角和是外角和的2 2倍，倍，则这个多边形是（则这个多边形是（）A A四边形四边形 B B五边形五边形 C C六边形六边形 D D八边形八边形4.4.在四边形在四边形ABCDABCD中，中，A=120A=120，B:C:D B:C:D =3:4:5=3:4:5，求，求B B，C C，D D的度数的度数.【解析解析】设设B B，C,DC,D的度数分别是的度数分别是3x3x,4x,4x,5x,5x，由四边形的内角和等于由四边形的内角和等于360360可得：可得：120+3x+4x+5x=360
14、120+3x+4x+5x=360，12x=24012x=240，x=20 x=20，3x=60 3x=60，4x=80 4x=80，5x=100.5x=100.答：答：B,CB,C，D D的度数分别为的度数分别为6060,80,80,100,100.5.5.探究：探究：用几个形状、大小相同的任意三角形能镶嵌成用几个形状、大小相同的任意三角形能镶嵌成一个平面图案吗？四边形呢？一个平面图案吗？四边形呢？1 13 32 21 13 32 24 41 13 32 21 13 32 21 13 32 21 13 32 21 13 32 21 13 32 21 13 32 21 13 32 2 1+2+3
15、=180 1+2+3=180，2(1+2+3)=3602(1+2+3)=360.所以，用几个形状、大小相同的任所以，用几个形状、大小相同的任意三角形能镶嵌成平面图案。意三角形能镶嵌成平面图案。1 13 32 2解：解：因为因为1+2+3+4=3601+2+3+4=360，1 14 43 32 21 14 43 32 21 14 43 32 21 14 43 32 21 14 43 32 2所以用几个形状、大小相同的任意四边形所以用几个形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图案能镶嵌成平面图案.3.3.用几个大小、形状相同的任意三角形用几个大小、形状相同的任意三角形,任意四边形都能镶任意四边形都
16、能镶嵌成平面图案嵌成平面图案.2.2.镶嵌成平面图案的条件是镶嵌成平面图案的条件是:多边形围绕某一点的内角和多边形围绕某一点的内角和为为360360.1.n1.n边形内角和为边形内角和为(n(n2)2)180180；n n边形的外角和等于边形的外角和等于360360.通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：由上述这些图形，你能找由上述这些图形，你能找到哪些我们熟习的几何图到哪些我们熟习的几何图形？形？三角形三角形 四边形四边形 六边形六边形 八边形八边形.三角形的定义：三角形的定义：在同一平面内在同一平面内，由不在同一条直线上的三由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接
17、所组成的图形。条线段首尾顺次相接所组成的图形。四边形的定义：四边形的定义：在同一平面内在同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接所组成的图形。首尾顺次相接所组成的图形。五边形五边形六边形六边形七边形七边形多边形的定义：多边形的定义：在同一平面内在同一平面内，由不在同一条，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的（封闭）图形。所组成的（封闭）图形。多边形按组成它的线段条数分成三多边形按组成它的线段条数分成三角形、四边形、五边形角形、四边形、五边形其中三角形其中三角形是最简单的多边形。是最简单的多边形。如果一个多边形由如果
18、一个多边形由n条线段组成，条线段组成，那么这个多边形就叫做那么这个多边形就叫做n边形。边形。注意：注意：n所代表的数字必须是汉字中的所代表的数字必须是汉字中的数字，如三角形，六边形，十边形等等，数字，如三角形，六边形，十边形等等，但当问题问这个多边形有多少条边时，但当问题问这个多边形有多少条边时，我们可以用阿拉伯数字说明这个我们可以用阿拉伯数字说明这个n边形有边形有3条边，条边，4条边等。条边等。根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角边顶点内角外角对角线组成多边形的线段叫做组成多边形的线段叫做多边形的边多边形的边相邻两边的交点叫做相邻两边的交点叫做多边形的顶点多
19、边形的顶点相邻两边的夹角叫做相邻两边的夹角叫做多边形的内角多边形的内角多边形的边与它相邻的延长组多边形的边与它相邻的延长组成的角叫做成的角叫做多边形的外角多边形的外角连接多边形不相邻的两个连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多顶点的线段叫做多边形的边形的对角线对角线三角形有对角线吗？为什么？没有，因为三角形只有三个顶点，而这三个顶点是两两相邻的，它没有不相邻的顶点，所以三角形没有对角线。回想三角形的表示方法，这个多边形应该如何表示？A2首先给每个顶点标上一个大写字母，然后写出这个图形是几边形，最后再以一个字母为起点，沿顺时针或逆时针方向将字母按顺序写出。如四边形ABCD，五边形ABCDE，n边
20、形A1 A2A3A4A5A6An A3 A4 A1 An A6 A5如图所示，观察两个图形，找出相同点和不同点如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形如果整个多边形不在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凹多边形另外，根据多边形的内角和是否大于180，我们也可以区分这两种多边形。而中学阶段我们一般说的多边形都是凸多边形。观察下列图形，它们的边、角有什么特点？它们的边都相等，角也都相等各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。反过来，由定义可以得，正多边形有什么性质呢？1、填空题、填空题（1）连接多边形（）连接多边形（）的线段，叫做多边形的多角形。）的线段，叫做多边形
21、的多角形。（2）多边形的任何（）多边形的任何（）所在的直线，整个多边形都在这条）所在的直线，整个多边形都在这条直线的（直线的（），这样的多边形叫做凸多边形），这样的多边形叫做凸多边形。（3）各个角（）各个角（），各条边（），各条边（）的多边形，叫做正多边形。）的多边形，叫做正多边形。（4）一个）一个n边形有（边形有（）条边，）条边，（）个顶点，）个顶点，（）个内角，）个内角，（）个外角。）个外角。2、画出下列多边形的全部对角线、画出下列多边形的全部对角线不相邻的两个顶点一条边同一侧都相等都相等nnnn三角形的内角和是180，那么四边形的内角和是多少呢？五边形呢？你是如何得到这个结论的？B AC
22、DE5 5边形内角和边形内角和=3=3180180=540=540请你利用分割的方法探索五边形的内角是多少？E ABCDO180 5 360=540180 5=900？五边形内角和五边形内角和540？把一个五边形分成几个三角把一个五边形分成几个三角形，还有其他的分法吗？形，还有其他的分法吗？ABCDEF180 4 180=540选择同一种方法分别求出任意六边形、七边形、八边形的内角和等于多少度？你能写出任意n边形的内角和吗？从五边形的一个顶点出发，可以引（）条对角线，他们将五边形分为多少个三角形，五边形的内角和等于180（）。从六边形的一个顶点出发，可以引（）条对角线，他们将六边形分为多少个三
23、角形，六边形的内角和等于180（）。从七边形的一个顶点出发，可以引（）条对角线，他们将七边形分为多少个三角形，七边形的内角和等于180（）。B ACDGFE B ACDGFEn n边形内角和边形内角和=(n=(n2)2)180180.是解决多边形问题的常用辅助线是解决多边形问题的常用辅助线 对角线对角线多边形问题多边形问题 三角形问题三角形问题转化转化（未知）（未知）（已知）（已知）n边形边形三角形三角形四边形四边形五边形五边形六边形六边形多边形多边形边边数数分成三分成三角形的角形的个数个数图形图形内角和内角和计算规律计算规律三角形三角形四边形四边形五边形五边形六边形六边形七边形七边形n边形边
24、形34567n1n-22345180360540720900(n2)180(n2)1805 1804 1803 1802 1801 180从上表中得到了什么结论？从上表中得到了什么结论？结论：结论：n边形的内角和为：边形的内角和为：（n2）180(n3).n边形共有对角线边形共有对角线 条条(n3)2 23)3)n(nn(nn边形从一个顶点出发的对角线有边形从一个顶点出发的对角线有(n3)条条(n3)练一练练一练:（2 2）已知一个多边形的内角和为）已知一个多边形的内角和为720720o o ，则这个，则这个多边形是多边形是_边形边形6 6 （3 3）在五边形）在五边形ABCDEABCDE中，
25、若中，若A=D=90A=D=90o o,且且 B:C:E=3:2:4,B:C:E=3:2:4,则则C C的度数为的度数为_8080o o（1）求求十边形的内角和的十边形的内角和的度数度数。解：(102)180=8 180=1440答答:十边形的内角和是十边形的内角和是14401440 过多边形一个顶点的所有对角线将这个过多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成多边形分成3个三角形个三角形,求求:(1)这个多边形的边数这个多边形的边数.(2)这个多边形内角和的度数这个多边形内角和的度数.3 3、填空、填空(求边数求边数)1 1、已知一个多边形的内角和为、已知一个多边形的内角和为10801080
26、，则它的边数为。则它的边数为。2 2、已知一个多边形的每一个内角都是、已知一个多边形的每一个内角都是156156，则它的边数为。，则它的边数为。815例：例：一个六边形如图，已知一个六边形如图，已知ABDE，BCEF，CDAF，求，求ACE的度数。的度数。ABCDEF1234解：如图所示，连结解：如图所示，连结AD，ABDE，CDAF（已知）（已知）13，24（两（两 直线平行，内错角相等）直线平行，内错角相等）1+23+4，即即FABCDE，同理，同理BE，CFFABCE=12 720=360FABBCCDEEF=（62）180=720 例例1 如图，在五边形的每个顶点处各取如图，在五边形的
27、每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和五边形的外角和等于多少？角和五边形的外角和等于多少？1.任意一个外角和他相邻任意一个外角和他相邻的内角有什么关系？的内角有什么关系？2.五个外角加上他们分别五个外角加上他们分别相邻的五个内角和是多相邻的五个内角和是多少？少？3.这五个平角和与五边形这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什的内角和、外角和有什么关系？么关系？6E BCD1 2 3 4 5 A从多边形的一个顶点从多边形的一个顶点A A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回点出发，沿多边形的各边走过各点之后回到点到点A.A.最后再转回出发时的方向
28、。在行程中所转的各个角的和，最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。就是多边形的外角和。由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所转的各个角的和等于一个周角。转的各个角的和等于一个周角。即：即：多边形的外角和等于多边形的外角和等于3603601 12 23 31 12 23 34 41 12 23 34 45 51 12 23 34 45 56 6从上表中得到了什么结论？从上表中得到了什么结论？结论：结论：任何多边形的外角和为任何多边形的外角和为360（1 1）八边形的内角和为）八边形的内角和为_，外角和为，外角和为_1080
29、1080360360o o（2 2）已知一个多边形的每一个外角都是）已知一个多边形的每一个外角都是7272o o，求，求这个边形的边数为这个边形的边数为_5 5ABCDEFFAB+ABC+BCD+CDEDEFAFE=（6-2）180=72012PQR如图所示：可向两个方向分别延长如图所示：可向两个方向分别延长AB，CD，EF三条边，构成三条边，构成PQR。解：解：DEAB 1=R,同理同理2=R 12，CDE=FAB同理同理AFEBCD，ABC=DEFFABBCDDEF=720=36021例：例：一个六边形如图，已知一个六边形如图，已知ABDE，BCEF，CDAF，求，求ACE的度数。的度数。
30、ABCDEF拓展：一个六边形如图，已知拓展：一个六边形如图，已知 BADE，B=E，C=F（1）求证：）求证：CDAF（2）求）求ACE的度数的度数1234这节课你学到了什么这节课你学到了什么?还有什么困惑？还有什么困惑？1.“三个一三个一”（一个定义、一个公式和一个性质）（一个定义、一个公式和一个性质）2.一种重要数学思想方法一种重要数学思想方法（转化思想）（转化思想）小结小结:是解决多边形问题的常用辅助线是解决多边形问题的常用辅助线 对角线对角线多边形问题多边形问题 三角形问题三角形问题转化转化（未知）（未知）（已知）（已知）n边形的内角和为边形的内角和为(n2)180(n3)n边形从一个顶点出发的对角线有边形从一个顶点出发的对角线有(n3)条条(n3)n边形共有对角线边形共有对角线 条条(n3)任何多边形的外角和为任何多边形的外角和为36023)-nn（
