1、25.2 用列举法求概率第二十五章 概率初步第1课时 运用直接列举或列表法求概率学习目标1.知道什么时候采用“直接列举法”和“列表法”.2.会正确“列表”表示出所有可能出现的结果.(难点)3.知道如何利用“列表法”求随机事件的概率.（重点）导入新课导入新课 我们在日常生活中经常会做一些游戏，游戏规则制定是否公平，对游戏者来说非常重要，其实这是一个游戏双方获胜概率大小的问题.导入新课导入新课 老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一样，你们赢.请问，你们觉得这个游戏公平吗？我们一起来做游戏讲授新课讲授新课用直接列举法求概率一 同时掷两枚硬币，试求下列事件的概
2、率：(1)两枚两面一样；(2)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；探索交流“掷两枚硬币”所有结果如下：正正正反反正反反解：（1）两枚硬币两面一样包括两面都是正面，两面都是反面，共两种情形；所以学生赢的概率是21;42（2）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上,共有反正，正反两种情形；所以老师赢的概率是21.42P(学生赢）=P(老师赢）.这个游戏是公平的.上述这种列举法我们称为直接列举法，即把事件可能出现的结果一一列出.直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件.注意想一想“同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结
3、果一样吗？开始第一掷第二掷所有可能出现的结果（正、正）（正、反）（反、正）（反、反）发现：一样.随机事件“同时”与“先后”的关系：“两个相同的随机事件同时发生”与 “一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的.归纳总结用列表法求概率二 互动探究问题1 同时掷两枚硬币，试求下列事件的概率：(1)两枚两面一样；(2)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；开始正反正反正反P(两面都一样)=12P(两面不一样)=12还有别的方法求下列事件的概率吗？第1枚硬币第2枚硬币反正正反正正反正正反反反还可以用列表法求概率问题2 怎样列表格？一个因素所包含的可能情况另一个因素所包含的可能情况两个因素所组合的所有可能情
4、况,即n列表法中表格构造特点:说明：如果第一个因素包含2种情况；第二个因素包含3种情况；那么所有情况n=23=6.典例精析例1 同时抛掷2枚均匀的骰子一次，骰子各面上的点数分别是1，2，6.试分别计算如下各随机事件的概率.(1)抛出的点数之和等于8；(2)抛出的点数之和等于12.分析：首先要弄清楚一共有多少个可能结果.第1枚骰子可能掷出1,2，6中的每一种情况，第2枚骰子也可能掷出1,2，6中的每一种情况.可以用“列表法”列出所有可能的结果如下：第2枚 骰子第1枚骰子结 果123456123456(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1
5、)(6,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,2)(5,2)(6,2)(4,3)(5,3)(6,3)(4,4)(5,4)(6,4)(4,5)(5,5)(6,5)(4,6)(5,6)(6,6)解：从上表可以看出，同时抛掷两枚骰子一次，所有可能出现的结果有36种.由于骰子是均匀的，所以每个结果出现的可能性相等.(1)抛出点数之和等于8的结果有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3)和(6,2)这5种，所以抛出的点数之和等于8的这个事件发生的概率为536；(2)抛出点数之和等于12的结果仅有(6,6)这1种，所以抛出的点数
6、之和等于12的这个事件发生的概率为1.36 当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法.归纳总结例2：一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出一个球，两次都摸出红球的概率是多少？1 2结果第一次第二次解：利用表格列出所有可能的结果：次摸出红球4(2)=9P白红1红2白红1红2（白，白）（白，红1）（白，红2）（红1，白）（红1，红1）（红1，红2）（红2，白）（红2，红1）（红2，红2）变式：一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红
7、球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后不再放回袋中，再从中任意摸出一个球，两次都摸出红球的概率是多少？解：利用表格列出所有可能的结果：白红1红2白红1红2（白，红1）（白，红2）（红1，白）（红1，红2）（红2，白）（红2，红1）结果第一次第二次例3.同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：（1）两个骰子的点数相同（2）两个骰子的点数之和是9（3）至少有一个骰子的点数为2123456123456第一个第二个(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)(1,3)(2,3)(3,3)(4,3
8、)(5,3)(6,3)(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)61913611解：由列表得，同时掷两个骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等。（1）满足两个骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6个，则P（A）=（2）满足两个骰子的点数之和是9（记为事件B）的结果有4个，则P（B）=（3）满足至少有一个骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11个，则P（C）=36661364913611 当一次试验所有可能出现的结果较多时，用表格比较方便！想一想：
9、什么时候用“列表法”方便，什么时候用“树形图”方便？当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法 当一次试验涉及3个因素或3个以上的因素时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用树形图例4 甲乙两人要去风景区游玩，仅直到每天开往风景区有3辆汽车，并且舒适程度分别为上等、中等、下等3种，当不知道怎样区分这些车，也不知道它们会以怎样的顺序开来.于是他们分别采用了不同的乘车办法：甲乘第1辆开来的车.乙不乘第1辆车，并且仔细观察第2辆车的情况，如比第1辆车好，就乘第3辆车.试问甲、乙两人的乘车办法，哪一种更有利于乘上舒适度较好
10、的车？解：容易知道3辆汽车开来的先后顺序有如下6种可能情况：（上中下），（上下中），（上下），（中下上），（下上中），（下中上）.假定6种顺序出现的可能性相等，在各种可能顺序之下，甲乙两人分别会乘坐的汽车列表如下：顺序 甲 乙上中下上下中中上下中下上下上中下中上上下上中中上中上下上下中甲乘到上等、中等、下等3种汽车的概率都是 ；13乙乘坐到上等汽车的概率是 ，乘坐到下等汽车的概率只有31=621.6答：乙的乘车办法有有利于乘上舒适度较好的车.当堂练习当堂练习 1.小明与小红玩一次“石头、剪刀、布”游戏，则小明赢的概率是（）2.某次考试中，每道单项选择题一般有4个选项，某同学有两道题不会做，于是
11、他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两道题全对的概率是（）CDA.B.C.D.A.B.C.D.491912131218141163.如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1，2，3,那么从每组牌中各摸出一张牌.（1）摸出两张牌的数字之和为4的概念为多少？（2）摸出为两张牌的数字相等的概率为多少？32（2,3）（3,3）（3,2）（3,1）（2,2）（2,1）（1,3）（1,2）（1,1）1321第二张牌的牌面数字第一张牌的牌面数字 解：（1）P（数字之和为4）=.13（2）P（数字相等）=134.在6张卡片上分别写有16的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第一次取出的数
12、字能够整除第二次取出的数字的概率是多少？1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)第一张第二张解：由列表得，两次抽取卡片后，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等.满足第一次取出的数字能够整除第二次取出的数字（记为事件A）的结果有14个，则P（A）=3
13、6141874.在6张卡片上分别写有16的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第一次取出的数字能够整除第二次取出的数字的概率是多少？课堂小结课堂小结列举法关键常用方法直接列举法列表法画树状图法（下节课学习）适 用 对 象两 个 试 验因 素 或 分两 步 进 行的 试 验.基 本 步 骤 列表；确定m、n值代入概率公式计算.在于正确列举出试验结果的各种可能性.确保试验中每种结果出现的可能性大小相等.前 提 条 件25.1 25.1 用列举法求概率用列举法求概率第第1 1课时课时 1.1.通过具体问题情景进一步理解概率的意义通过具体问题情景进一步理解概率的意义.2.2.掌握用列举法
14、求事件的概率掌握用列举法求事件的概率.3.3.通过对一般的列举法求概率的探究，体会事件发生通过对一般的列举法求概率的探究，体会事件发生的概率的方法，培养学生的分析问题和判断问题的能力的概率的方法，培养学生的分析问题和判断问题的能力.1.1.从分别标有从分别标有1 1、2 2、3 3、4 4、5 5号的号的5 5根纸签中随机地抽取根纸签中随机地抽取一根，抽出的签上的号码有一根，抽出的签上的号码有5 5种可能的结果，即种可能的结果，即1 1、2 2、3 3、4 4、5 5，每一根签抽到的可能性相等，都是，每一根签抽到的可能性相等，都是 .2.2.掷一个骰子掷一个骰子,向上一面的点数有向上一面的点数
15、有6 6种可能的结果种可能的结果,即即1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6，每一个点数出现的可能性相等，都，每一个点数出现的可能性相等，都是是 .5161以上两个试验有什么共同的特点？以上两个试验有什么共同的特点？这两个试验中，一次试验可能出现的结果是有限这两个试验中，一次试验可能出现的结果是有限多个还是无限多个？一次试验中各种结果发生的可能多个还是无限多个？一次试验中各种结果发生的可能性都相等吗？如何求事件的概率？性都相等吗？如何求事件的概率？问题：问题：一般地，如果在一次试验中，有一般地，如果在一次试验中，有n n种可能的结果，并种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件且它
16、们发生的可能性都相等，事件A A包含其中的包含其中的m m种结种结果，那么事件果，那么事件A A发生的概率为发生的概率为 .nmAP概率求法概率求法在概率公式在概率公式 中中m m、n n取何值，取何值，m m、n n之间的数量之间的数量关系，关系，P P（A A）的取值范围）的取值范围.()mP An当当m=nm=n时时,A,A为必然事件，概率为必然事件，概率P(A)=1P(A)=1，当当m=0m=0时时,A,A为不可能事件，概率为不可能事件，概率P(A)=0.P(A)=0.nm0 mn,m0 mn,m、n n为自然数为自然数0 1,0P(A)1.0 1,0P(A)1.推论：推论：某商贩沿街
17、叫卖：某商贩沿街叫卖：“走过路过不要错过，我这儿百走过路过不要错过，我这儿百分之百是好货分之百是好货”，他见前去选购的顾客不多，又吆喝道，他见前去选购的顾客不多，又吆喝道“瞧一瞧，看一看，我保证万分之两万都是正品瞧一瞧，看一看，我保证万分之两万都是正品”.从数从数学的角度看，他说的话有没有道理？学的角度看，他说的话有没有道理？思考：思考：【例例1 1】掷掷1 1个质地均匀的正方体骰子，观察向上一面个质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：的点数，求下列事件的概率：（1 1）点数为）点数为2 2；（2 2）点数是奇数；）点数是奇数；（3 3）点数大于）点数大于2 2且不大于且
18、不大于5 5 例 题【解析解析】掷掷1 1个质地均匀的正方体骰子，向上一面个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数可能为的点数可能为1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，共，共6 6种种.这些点数这些点数出现的可能性相等出现的可能性相等.（2 2）点数是奇数有）点数是奇数有3 3种可能，即点数为种可能，即点数为1 1，3 3，5 5，P P（点数是奇数）（点数是奇数）；2163（1 1）点数为）点数为2 2只有只有1 1种结果，种结果，P P（点数为（点数为2 2）；61（3 3）点数大于）点数大于2 2且不大于且不大于5 5有有3 3种可能，即种可能，即3 3，4 4，5 5，P P
19、（点数大于（点数大于2 2且不大于且不大于5 5）.2163掷掷1 1个质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数个质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数.（1 1）求掷得点数为）求掷得点数为2 2或或4 4或或6 6的概率；的概率；（2 2）小明在做掷骰子的试验时，前五次都没掷得）小明在做掷骰子的试验时，前五次都没掷得点数点数2 2，求他第六次掷得点数，求他第六次掷得点数2 2的概率的概率.分析：分析：掷掷1 1个质地均匀的正方体骰子，向上一面的个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数可能为点数可能为1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，共，共6 6种种.这些点数出现这些点数出现的可
20、能性相等的可能性相等.跟踪训练2163【解析解析】（1 1）掷得点数为）掷得点数为2 2或或4 4或或6(6(记为事件记为事件A)A)有有3 3种种结果，因此结果，因此P P（A A）；（2 2）小明前五次都没掷得点数）小明前五次都没掷得点数2 2，可他第六次掷得点，可他第六次掷得点数仍然可能为数仍然可能为1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，共，共6 6种种.他第六次掷他第六次掷得点数得点数2(2(记为事件记为事件B)B)有有1 1种结果，因此种结果，因此P(B)=P(B)=1.6【例例2 2】如图：是一个转盘，转盘分成如图：是一个转盘，转盘分成7 7个相同的扇形，个相同的扇形，颜
21、色分为红、黄、绿三种，指针固定，转动转盘后任颜色分为红、黄、绿三种，指针固定，转动转盘后任其自由停止，某个扇形会停在指针所指的位置，（指其自由停止，某个扇形会停在指针所指的位置，（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）求下列事件的针指向交线时，当作指向右边的扇形）求下列事件的概率：概率：（1 1）指向红色；）指向红色；（2 2）指向红色或黄色；）指向红色或黄色；例 题【解析解析】把把7 7个扇形分别记为红个扇形分别记为红1 1，红，红2 2，红，红3 3，绿，绿1 1，绿绿2 2，黄，黄1 1，黄，黄2 2，一共有，一共有7 7个等可能的结果，且这个等可能的结果，且这7 7个个结果发生的可能性相
22、等，结果发生的可能性相等，（1 1）指向红色有）指向红色有3 3个结果，即红个结果，即红1 1，红，红2 2，红，红3 3，P(P(指指向红色向红色)=)=73（2 2）指向红色有）指向红色有3 3个结果，即红个结果，即红1 1，红，红2 2，红，红3 3，指上黄，指上黄色有色有2 2个种结果，个种结果，P(P(指向红色或黄色指向红色或黄色)=)=75 1.1.如图，是一个转盘，转盘被分成两个扇形，颜色如图，是一个转盘，转盘被分成两个扇形，颜色分为红黄两种，红色扇形的圆心角为分为红黄两种，红色扇形的圆心角为120120度，指针固定，度，指针固定，转动转盘后任其自由停止，某个扇形会停在指针所指转
23、动转盘后任其自由停止，某个扇形会停在指针所指的位置，（指针指向交线时当作指向右边的扇形）求的位置，（指针指向交线时当作指向右边的扇形）求下列事件的概率下列事件的概率.（1 1）指向红色；）指向红色；（2 2）指向黄色）指向黄色.跟踪训练【解析解析】把黄色扇形平均分成两份，这样三个扇形的把黄色扇形平均分成两份，这样三个扇形的圆心角相等，某个扇形停在指针所指的位置的可能性圆心角相等，某个扇形停在指针所指的位置的可能性就相等了，因而共有就相等了，因而共有3 3种等可能的结果，种等可能的结果，（1 1）指向红色有）指向红色有1 1种结果，种结果，P(P(指向红色指向红色)=_)=_；（2 2）指向黄色
24、有）指向黄色有2 2种可能的结果，种可能的结果，P(P(指向黄色）指向黄色）=_.=_.13232.2.如图，是一个转盘，转盘被分成两个扇形，颜色分为红如图，是一个转盘，转盘被分成两个扇形，颜色分为红黄两种，红色扇形的圆心角为黄两种，红色扇形的圆心角为120120度，指针固定，转动转盘度，指针固定，转动转盘后任其自由停止，某个扇形会停在指针所指的位置后任其自由停止，某个扇形会停在指针所指的位置.（指针（指针指向交线时当作指向右边的扇形）指向交线时当作指向右边的扇形）小明和小亮做转转盘的小明和小亮做转转盘的游戏，规则是：两人轮流转转盘，指向红色，小明胜；指游戏，规则是：两人轮流转转盘，指向红色，
25、小明胜；指向黄色小亮胜，分别求出小明胜和小亮胜的概率；你认为向黄色小亮胜，分别求出小明胜和小亮胜的概率；你认为这样的游戏规则是否公平？请说明理由这样的游戏规则是否公平？请说明理由.【解析解析】把黄色扇形平均分成两份，这样三个扇形的把黄色扇形平均分成两份，这样三个扇形的圆心角相等，某个扇形停在指针所指的位置的可能性圆心角相等，某个扇形停在指针所指的位置的可能性就相等了，因而共有就相等了，因而共有3 3种等可能的结果种等可能的结果.把黄色扇形平均分成两份，小明胜（记为事件把黄色扇形平均分成两份，小明胜（记为事件A A）共）共有有1 1种结果，小亮胜（记为事件种结果，小亮胜（记为事件B B）共有）共
26、有2 2种结果种结果,P,P（A A）,P,P（B B）.3231PP（A A）P P（B B）,这样的游戏规则不公平这样的游戏规则不公平.1.1.有一道四选一的单项选择题，某同学用排除法排除有一道四选一的单项选择题，某同学用排除法排除了一个错误选项，再靠猜测从其余的选项中选择获得了一个错误选项，再靠猜测从其余的选项中选择获得结果，则这个同学答对的概率是（结果，则这个同学答对的概率是（)A.A.二分之一二分之一 B.B.三分之一三分之一 C.C.四分之一四分之一 D.3 D.3 B B2.2.从标有从标有1 1，2 2，33，2020的的2020张卡片中任意抽取一张，张卡片中任意抽取一张，以下
27、事件可能性最大的是以下事件可能性最大的是()()A.A.卡片上的数字是卡片上的数字是2 2的倍数的倍数.B.B.卡片上的数字是卡片上的数字是3 3的倍数的倍数.C.C.卡片上的数字是卡片上的数字是4 4的倍数的倍数.D.D.卡片上的数字是卡片上的数字是5 5的倍数的倍数.A A3.3.（义乌（义乌中考）小明打算暑假里的某天到上海世博会中考）小明打算暑假里的某天到上海世博会一日游一日游,上午可以先从台湾馆、香港馆、韩国馆中随机选择一上午可以先从台湾馆、香港馆、韩国馆中随机选择一个馆个馆,下午再从加拿大馆、法国馆、俄罗斯馆中随机选择一个下午再从加拿大馆、法国馆、俄罗斯馆中随机选择一个馆游玩则小明恰
28、好上午选中台湾馆馆游玩则小明恰好上午选中台湾馆,下午选中法国馆这两个下午选中法国馆这两个场馆的概率是（场馆的概率是（）A A B B C C D D【解析解析】选选A.A.上下午各选一个馆共上下午各选一个馆共9 9种选法。种选法。小明恰好小明恰好上午选中台湾馆上午选中台湾馆,下午选中法国馆这两个场馆的概率是下午选中法国馆这两个场馆的概率是 .19132329194.4.从一幅充分均匀混合的扑克牌中，随机抽取一张，从一幅充分均匀混合的扑克牌中，随机抽取一张，抽到大王的概率是（抽到大王的概率是（），抽到牌面数字是），抽到牌面数字是6 6的概率是（的概率是（），抽到黑桃的概率是），抽到黑桃的概率是（
29、）.22715413545.5.四张形状、大小、质地相同的卡片上分别画上圆、四张形状、大小、质地相同的卡片上分别画上圆、平行四边形、等边三角形、正方形，然后反扣在桌面平行四边形、等边三角形、正方形，然后反扣在桌面上，洗匀后随机抽取一张，抽到轴对称图形的概率是上，洗匀后随机抽取一张，抽到轴对称图形的概率是（），抽到中心对称图形的概率是（），抽到中心对称图形的概率是（）.6.6.某班文艺委员小芳收集了班上同学喜爱传唱的七某班文艺委员小芳收集了班上同学喜爱传唱的七首歌曲，作为课前三分钟唱歌曲目：歌唱祖国，我和首歌曲，作为课前三分钟唱歌曲目：歌唱祖国，我和我的祖国，五星红旗，相信自己，隐形的翅膀，超越
30、我的祖国，五星红旗，相信自己，隐形的翅膀，超越梦想，校园的早晨，她随机从中抽取一支歌，抽到梦想，校园的早晨，她随机从中抽取一支歌，抽到“相信自己相信自己”这首歌的概率是（这首歌的概率是（）.0.75 0.75 0.75 0.7517（1 1）概率与我们生活息息相关，在现实问题的决策）概率与我们生活息息相关，在现实问题的决策中起着重要的作用中起着重要的作用.（2 2）当随机事件发生的可能性是有限的等可能时，我）当随机事件发生的可能性是有限的等可能时，我们可以通过列举法来计算概率们可以通过列举法来计算概率.通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：25.1 25.1 用列举法
31、求概率用列举法求概率第第2 2课时课时 1.1.理解理解“包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形”的意义的意义.2.2.会用列表的方法求会用列表的方法求概率概率：包含两步，并且每一步的结果：包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形，这样的试验为有限多个情形，这样的试验会会出现的所有可能结果出现的所有可能结果.3.3.体验数学方法的多样性灵活性，提高解题能力体验数学方法的多样性灵活性，提高解题能力.小明和小丽用一副不包括大王和小王的扑克牌玩游戏，小明小明和小丽用一副不包括大王和小王的扑克牌玩游戏，小明先抽出两张牌，然后小丽从剩下的牌中任意抽出一张，如果先
32、抽出两张牌，然后小丽从剩下的牌中任意抽出一张，如果小丽的牌的大小在小明的两张牌之间小丽的牌的大小在小明的两张牌之间 （看牌上数的大小），（看牌上数的大小），则小丽获胜，如果小明抽出的两张牌如下则小丽获胜，如果小明抽出的两张牌如下:那么，小丽获胜的那么，小丽获胜的概率是多少？概率是多少？（1 1）一张）一张“1010”和一张和一张“K K”（2 2）一张）一张“5 5”和一张和一张“Q Q”（3 3）一张）一张“2 2”和一张和一张“k k”（取（取A=1A=1，J=11J=11，Q=12Q=12，K=13K=13）1121161110【例例1】甲口袋中装有甲口袋中装有2 2个相同的小球，它们分
33、别写有字母个相同的小球，它们分别写有字母A A和和B B；乙口袋中装有；乙口袋中装有3 3个相同的小球，它们分别写有字母个相同的小球，它们分别写有字母C C、D D和和E E；丙口袋中装有；丙口袋中装有2 2个相同的小球，它们分别写有字母个相同的小球，它们分别写有字母H H和和I.I.从从3 3个口袋中各随机地取出个口袋中各随机地取出1 1个小球个小球.（1 1）取出的）取出的3 3个小球上恰好有个小球上恰好有1 1个、个、2 2个和个和3 3个元音字母的概个元音字母的概率分别是多少？率分别是多少？（2 2）取出的）取出的3 3个小球上全是辅音字母的概率是多少？个小球上全是辅音字母的概率是多少
34、？例 题甲甲乙乙丙丙A AC CD DE EH HI I H HI I H HI IB BC CD DE EH HI I H HI IH HI IB BC CH HA AC CH HA AC CI IA AD DH HA AD DI IA AE EH HA AE EI IB BC CI IB BD DH HB BD DI IB BE EH HB BE EI I【解析解析】由树形图得，所有可能出现的结果有由树形图得，所有可能出现的结果有1212个，它们出现的可个，它们出现的可能性相等能性相等.（1 1）满足只有一个元音字母的结果有）满足只有一个元音字母的结果有5 5个，个，则则 P P（一个元音
35、）（一个元音）=满足只有两个元音字母的结果有满足只有两个元音字母的结果有4 4个，个，则则 P P（两个元音）（两个元音）满足三个全部为元音字母的结果有满足三个全部为元音字母的结果有1 1个，个，则则 P P（三个元音）（三个元音）（2 2）满足全是辅音字母的结果有）满足全是辅音字母的结果有2 2个，个，则则 P P（三个辅音）（三个辅音）1253112412161122 小明是个小马虎小明是个小马虎,晚上睡觉时将两双不同的袜子放晚上睡觉时将两双不同的袜子放在床头，早上起床没看清随便穿了两只就去上学，问小在床头，早上起床没看清随便穿了两只就去上学，问小明正好穿的是相同的一双袜子的概率是多少？明
36、正好穿的是相同的一双袜子的概率是多少？跟踪训练【解析解析】设两双袜子分别为设两双袜子分别为A A1 1、A A2 2、B B1 1、B B2 2，则则B B1 1A A1 1B B2 2A A2 2A A2 2B B1 1B B2 2A A1 1B B1 1B B2 2A A1 1A A1 1B B2 2A A1 1A A2 2B B1 1所以穿相同一双袜子的概率为所以穿相同一双袜子的概率为31124 例 题【例例2 2】同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：（1 1）两个骰子的点数相同）两个骰子的点数相同（2 2）两个骰子的点数之和是）两
37、个骰子的点数之和是9 9（3 3）至少有一个骰子的点数为）至少有一个骰子的点数为2.2.1 12 23 34 45 56 61 1(1,1)(1,1)(2,1)(2,1)(3,1)(3,1)(4,1)(4,1)(5,1)(5,1)(6,1)(6,1)2 2(1,2)(1,2)(2,2)(2,2)(3,2)(3,2)(4,2)(4,2)(5,2)(5,2)(6,2)(6,2)3 3(1,3)(1,3)(2,3)(2,3)(3,3)(3,3)(4,3)(4,3)(5,3)(5,3)(6,3)(6,3)4 4(1,4)(1,4)(2,4)(2,4)(3,4)(3,4)(4,4)(4,4)(5,4)(
38、5,4)(6,4)(6,4)5 5(1,5)(1,5)(2,5)(2,5)(3,5)(3,5)(4,5)(4,5)(5,5)(5,5)(6,5)(6,5)6 6(1,6)(1,6)(2,6)(2,6)(3,6)(3,6)(4,6)(4,6)(5,6)(5,6)(6,6)(6,6)第第一一个个第第二二个个【解析解析】由列表得，同时掷两个骰子，可能出现的结果有由列表得，同时掷两个骰子，可能出现的结果有3636个，它们出现的可能性相等个，它们出现的可能性相等.（1 1）满足两个骰子的点数相同（记为事件）满足两个骰子的点数相同（记为事件A A）的结果）的结果有有6 6个，则个，则P P（A A）=（2
39、 2）满足两个骰子的点数之和是）满足两个骰子的点数之和是9 9（记为事件（记为事件B B）的）的结果有结果有4 4个，则个，则P P（B B）=（3 3）满足至少有一个骰子的点数为）满足至少有一个骰子的点数为2 2（记为事件（记为事件C C）的结果有的结果有1111个，则个，则P P（C C）=36661364913611当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法列表法.当一次试验涉及当一次试验涉及3 3个因素或个因素或3 3个以上的因素时，列表法
40、就个以上的因素时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用常用树形图树形图.归纳：归纳：在一个盒子中有质地均匀的在一个盒子中有质地均匀的3 3个小球，其中两个小球都涂着个小球，其中两个小球都涂着红色，另一个小球涂着黑色，则计算以下事件的概率选用哪红色，另一个小球涂着黑色，则计算以下事件的概率选用哪种方法更方便？种方法更方便？1 1、从盒子中取出一个小球，小球是红球、从盒子中取出一个小球，小球是红球.2 2、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，取出两球、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，取出两球的颜色相同的颜色相同.3
41、 3、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，连取了三、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，连取了三次，三个小球的颜色都相同次，三个小球的颜色都相同.直接列举法直接列举法列表法或树形图列表法或树形图树形图树形图跟踪训练1.1.（义乌（义乌中考）从中考）从2626个英文字母中任意选一个，是个英文字母中任意选一个，是C C或或D D的概率是的概率是 【解析解析】131262答案：答案：113 3.3.（潼南（潼南中考）中考）“清明节清明节”前夕，我县某校决定从前夕，我县某校决定从八年级（一）班、（二）班中选一个班去杨闇公烈士陵园八年级（一）班、（二）班中选一个班去杨闇公烈士陵园扫墓，为了公平，
42、有同学设计了一个方法，其规则如下：扫墓，为了公平，有同学设计了一个方法，其规则如下：在一个不透明的盒子里装有形状、大小、质地等完全相同在一个不透明的盒子里装有形状、大小、质地等完全相同的的3 3个小球，把它们分别标上数字个小球，把它们分别标上数字1 1、2 2、3 3，由（一）班班，由（一）班班长从中随机摸出一个小球，记下小球上的数字；在一个不长从中随机摸出一个小球，记下小球上的数字；在一个不透明口袋中装有形状、大小、质地等完全相同的透明口袋中装有形状、大小、质地等完全相同的4 4个小球，个小球，把它们分别标上数字把它们分别标上数字1 1、2 2、3 3、4 4，由（二）班班长从口袋，由（二）
43、班班长从口袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，然后计算出这中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，然后计算出这 两个数字的和，若两个数字的和为奇数，则选（一）班去；两个数字的和，若两个数字的和为奇数，则选（一）班去；若两个数字的和为偶数，则选（二）班去若两个数字的和为偶数，则选（二）班去.（1 1）用树状图或列表的方法求八年级（一）班被选去扫墓）用树状图或列表的方法求八年级（一）班被选去扫墓的概率；的概率；（2 2）你认为这个方法公平吗？若公平，请说明理由；）你认为这个方法公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一个公平的方法若不公平，请设计一个公平的方法.【解析解析】（1 1）法一：列
44、表法）法一：列表法 （2 2）公平）公平.理由为：理由为：P(P(和为偶数和为偶数)P(P(和为奇数和为奇数)=P()=P(和为偶数和为偶数)该方法公平该方法公平.解法二：树形图法解法二：树形图法21126（1 1）P(P(和为奇数和为奇数)21126ABCAA AA BA CBB AB BBCCC AC BCC3.3.（常德（常德中考）在毕业晚会上，同学们表演哪一类型的节中考）在毕业晚会上，同学们表演哪一类型的节目由自己摸球来决定目由自己摸球来决定.在一个不透明的口袋中，装有除标号外在一个不透明的口袋中，装有除标号外其它完全相同的其它完全相同的A A、B B、C C三个小球，表演节目前，先从
45、袋中摸三个小球，表演节目前，先从袋中摸球一次（摸球后又放回袋中），如果摸到的是球一次（摸球后又放回袋中），如果摸到的是A A球，则表演唱球，则表演唱歌；如果摸到的是歌；如果摸到的是B B球，则表演跳舞；如果摸到的是球，则表演跳舞；如果摸到的是C C球，则球，则表演朗诵表演朗诵.若小明要表演两个节目，则他表演的节目不是同一若小明要表演两个节目，则他表演的节目不是同一类型的概率是多少？类型的概率是多少？3296【解析解析】列表如上，根据上表可知事件的所有可能情况共列表如上，根据上表可知事件的所有可能情况共有有9 9种，表演的节目不是同一类型的情况有种，表演的节目不是同一类型的情况有6 6种，所以小明种，所以小明表演的节目不是同一类型的概率是：表演的节目不是同一类型的概率是：通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：利用树形图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的利用树形图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果所有可能出现的结果;从而较方便地求出某些事件发生的从而较方便地求出某些事件发生的概率概率.当试验包含两步时当试验包含两步时,列表法比较方便列表法比较方便,当然当然,此时也此时也可以用树形图法可以用树形图法,当试验在三步或三步以上时当试验在三步或三步以上时,用树形图法用树形图法方便方便.
