1、第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的概念不定积分的概念 第二节第二节 不定积分的计算不定积分的计算 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 第一节第一节 不定积分的概念不定积分的概念 一一.换元积分法换元积分法 二二.分部积分法分部积分法 本节主要内容本节主要内容:(一一)第一类换元积分法第一类换元积分法 (二二)第二类换元积分法第二类换元积分法 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 一一.换元积分法换元积分法(一一)第一类换
2、元积分法第一类换元积分法(凑微分法凑微分法)cos10sin10 xdxxC cos10?xdx 引例引例:3?xedx 33eexxdxc 求导数验证结果求导数验证结果求导数验证结果求导数验证结果第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 1sin10 dsin10 d 1010 x xxx 解决方法解决方法利用复合函数的中间变量利用复合函数的中间变量,进行换元进行换元.1110sin dcos1010uxu uuC 令令1cos10.10uxC回回代代1cos10sin1010 xCx 说明结果正确说明结果正确 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节
3、不定积分的计算不定积分的计算 331dd(3)3xxexex 113d33uuuxeueC 令令313xueC 回回代代将上例的解法一般化将上例的解法一般化:设设),()(ufuF 则则.)()(CuFduuf如果如果)(xu （可微）可微）dd()()duxxx ()()=()()()()()()fxx dxfx dxuxf u du F uCFxC 令令将上述作法总结成定理将上述作法总结成定理,使之合法化使之合法化,可得可得 换元法积分公式换元法积分公式第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 定理定理4.2.1 设设f(u)具有原函数具有原函数F(u),
4、(u)是连续是连续函数函数,那么那么()()d().fxxxFxC ()()()d()d()()d()().g x dxfxxxfxxf uu F uCFxC 难难易易 使用此公式关键在于将要求的积分使用此公式关键在于将要求的积分转化为转化为()g x dx ()()fxx dx d()x 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例2 计算计算5(23)d.xx 561d6uuuC 解解:原式原式51(23)d(23)2xx 51(23)d(23)2xx 我们总结出凑微分法求不定积分的情况如下我们总结出凑微分法求不定积分的情况如下:.被积函数是一个复合函数
5、被积函数是一个复合函数 与公式作对比与公式作对比,公式中自变量公式中自变量x变成了变成了ax+b的形式的形式,这时设这时设ax+b为中间变量，为中间变量，1dd()xaxba第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 51=23d2uxuu 令令661 11(23).2 612uC uxC回回代代1()d()d().f axbxf axbaxba第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例3 计算计算432310(1);(2)(1).xx e dxxxdx 411=44uuu xe dueC 令令1.被积函数中含有两个多项式被
6、积函数中含有两个多项式,其中一个多项式的其中一个多项式的次数比另一个多项式的次数高一次，设高一次的多次数比另一个多项式的次数高一次，设高一次的多项式为中间变量，目的是约去另一个因式项式为中间变量，目的是约去另一个因式.被积函数是两个函数乘积形式被积函数是两个函数乘积形式 e deuuuC 41;4xueC 回回代代(1)原式原式441d4xex 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例3 计算计算432310(1);(2)(1).xx e dxxxdx 31031(1)d(1)3xx 3101111=1333u xu duuC 令令10111d11uuu
7、C 3111(1).33uxC回回代代11()()().nnnnf xxdxf xd xn (2)原式原式第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例4 计算计算12ln xdxx 2 被积函数中被积函数中,其中一部分函数其中一部分函数“正好正好”是另一部分是另一部分函数的导数函数的导数.1dd(ln)xxx 例例5 计算计算6sincosdxx x sindd(cos)x xx 1(ln)d(ln)d(ln).fxxfxxx(cos)sin d(cos)d(cos),(sin)cos d(sin)d(sin)fxx xfxxfxx xfxx 第四章第四章
8、不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例4 计算计算12ln xdxx 原式原式1(12ln)dxxx(12ln)d(ln)xx 2、被积函数中、被积函数中,其中一部分函数其中一部分函数“正好正好”是另一部是另一部分函数的导数。分函数的导数。1dd(ln)xxx 1=1-2lnd2uxu u 令令1(12ln)d(12ln)2xx 221 112 24uCuC 21(12ln).4uxC回回代代1(ln)d(ln)d(ln).fxxfxxx第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例5 计算计算6sincosdxx x 原式原式66
9、cosd(cos)dxxuu sindd(cos)x xx 7711cos.77uCxC (cos)sin d(cos)d(cos),(sin)cos d(sin)d(sin)fxx xfxxfxx xfxx 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例6 计算计算22(2arctan)d.1xxx 21dd(arctan)1xxx 21(arctan)d(arctan)d(arctan)1fxxfxxx 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例6 计算计算22(2arctan)d.1xxx 221(2arctan)d
10、1xxx 21dd(arctan)1xxx 2(2arctan)d(arctan)xx 21(arctan)d(arctan)d(arctan)1fxxfxxx 2(2arctan)d(2arctan)xx 31(2arctan)3xC 原式原式第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 第一类换元积分法（凑微分法）是一种非常有效第一类换元积分法（凑微分法）是一种非常有效的积分法。首先，必须熟悉基本积分公式，对积分公的积分法。首先，必须熟悉基本积分公式，对积分公式应广义地理解，如对公式式应广义地理解，如对公式 ，应理解，应理解为为 ,其中其中u可以是可以是x的任
11、一可微函数的任一可微函数;其其次，应熟悉微分运算，针对具体的积分要选准某个基次，应熟悉微分运算，针对具体的积分要选准某个基本积分公式，凑微分使其变量一致本积分公式，凑微分使其变量一致.1dln|xxcx d1ln|uucu 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 常用的凑微分形式有常用的凑微分形式有:1dd;xaxba dd();xxexe cos dd(sin);x xx 2dd(arcsin);1xxx 211dd();xxx 21dd();2x xx 11dd(ln);xaxbxa 2secdd(tan);x xx 2dd(arctan);1xxx s
12、ectan dd(sec);xx xx d2d();xxx sin dd(cos);x xx 2cscdd(cot);x xx 1dd();axaxexea csccot dd(csc).xx xx 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例7 计算计算2222dd1(0);2;xxaaxax （）（）222arcsin;1arctan;xxCaaxdxxCaxaa 2 2d d例例7 计算计算3tan d;(4)cot d;x xx x（）tanln cos;cotln sin;xdxxCxdxxC 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分
13、的计算不定积分的计算 例例7 计算计算2222dd1(0);2;xxaaxax （）（）2222d1d1()1d()1arcsin;xaxxxaaxaxaxCa 22222d1d1()11d()1()1arctan;xaxxxaaxxaaaxCaa 222arcsin;1arctan;xxCaaxdxxCaxaa 2 2d d第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例7 计算计算3tan d;(4)cot d;x xx x（）tansindcosd(cos)cosln cos;xdxxxxxxxC cotcosdsind(sin)sinln sin;xdx
14、xxxxxxC tanln cos;cotln sin;xdxxCxdxxC 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例7 计算计算5sec d;x x（）例例7 计算计算6csc d;x x（）secln sectan;cscln csccot.xdxxxCxdxxxC 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例7 计算计算5sec d;x x（）解法一解法一 2sec dsec(sectan)dtansecsecsectandtansec1d(tansec)tansecln sectan;x xxxxxxxxxxx
15、xxxxxxxxC 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例7 计算计算5sec d;x x（）解法二解法二 2222sec d1cossincoscos1sin1sinsin11sin()ln21sin1sin21sin1(1sin)lnln sectan2cosx xxdxdxdxxxxdxdxxCxxxxCxxCx 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例7 计算计算6csc d;x x（）2csc dcsc(csccot)dcotcsccsccsccotdcotcsc1d(cotcsc)cotcscln c
16、sccot;x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxC secln sectan;cscln csccot.xdxxxCxdxxxC 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例8 计算计算2211;dxxa （）例例8 计算计算22;6dxxx（）练习练习 求求 2d.54xxx 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例8 计算计算23.49dxx （）练习练习 求求 21625dxx 例例8 计算计算214;825dxxx（）221arctandxxCaxaa .54d2xxx练习练习 求求 第四章第四章 不定积
17、分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例8 计算计算2215.45xdxxx （）例例8 计算计算10616.(21)xdxx （）例例8 计算计算7d.1xxx （）例例8 计算计算38.(1)xdxx （）第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例8 计算计算2211;dxxa （）22111121()()21lnln21ln;2dxdxxaaxaxad xad xaaxaxaxaxaCaxaCaxa 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例8 计算计算22;6dxxx（）1111()(3)(
18、2)532111(3)(2)532113(ln|3|ln|2|)ln|552dxdxxxxxd xd xxxxxxccx 练习练习 求求 2d.54xxx 原式原式第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例8 计算计算23.49dxx （）练习练习 求求 21625dxx 22223()1111233349441()1()2221 213.()34 321()213arctan62dxdxdxxxxdxxxc 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例8 计算计算214;825dxxx（）14arctan.33xC 2
19、1(4)9dxx 221arctandxxCaxaa .54d2xxx练习练习 求求 21825dxxx 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例8 计算计算2215.45xdxxx （）练习练习 求求 211xdxx 2222222221243dd4545241d3d4545d(45)d(2)3451(2)ln|45|3arctan(2).xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxc 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例8 计算计算10616.(21)xdxx （）1010613(21)4(21)(21
20、)xxdxdxxx 91034()(21)(21)dxxx 91013d(21)14d(21)2(21)2(21)xxxx89311()(21)2()(21)289xxC 89312.16(21)9(21)Cxx 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例8 计算计算7d.1xxx （）d1xxx 11d1xxx 11d1xx ln|1|.xxC第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例8 计算计算38.(1)xdxx （）dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx 221)1(2111
21、CxCx .)1(21112Cxx 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 ex 例例 911211xxxedxdxee（）；（）；213;4.1xxxxedxdxeee（）（）第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例911123.11xxxxxedxdxdxeeee（）；（）；（）11xxedxe （）1(1)1xxdee ln(1)xeC121xdxe （）1d1xxxeexe 1d1xxexe ln1;xxeC 11xxdexe 13xxdxee （）21xxedxe 2()1()xxd ee arctan.xe
22、C第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例 924.1xxedxe （）22d11()arctanxxxxxeedxeeec 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例1021sin;xdx（）例例1032cos;xdx（）第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例10253sincos.xxdx （）例例1044cos.xdx（）例例105sin3 cos2.xxdx（）例例1016.1cosdxx （）第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算
23、 11 dcos2 d(2)22xxx11(sin2)22xxC11sin224xxC例例1021sin;xdx（）211sind(1cos2)d2x xxx（）第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例1032cos;xdx（）32cosdx x（）2coscos dxx x 2cosd(sin)xx 2(1sin)d(sin)xx 31sinsin3xxC第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例10253sincos.xxdx （）25sincosdxx x 24sincosd(sin)xxx 222sin(1s
24、in)d(sin)xxx 246(sin2sinsin)d(sin)xxxx .sin71sin52sin31753Cxxx 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例1044cos.xdx（）4cos xdx 21(12cos2cos 2)d4xxx 22cos x dx （）211cos22xdx（）131(2cos2cos4)d422xxx 1 31(sin2sin4)4 28xxxC311sin2sin48432xxxC第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例105sin3 cos2.xxdx（）1(sin5
25、sin)d2xxx 11sin5sin d22xdxx x11sin5 d5sin d102xxx x（）11cos5cos.102xxC 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例1016.1cosdxx （）dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例11 计算计算213.4xdxx 例例12 221sec(3)tan(1)12xxdxdxxx
26、（）；（）第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例11 计算计算213.4xdxx 22222213134441(4)13arcsin22413arcsin4.2xdxxdxxxxxdxxxxC 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例12221sec(3)tan(1)12xxdxdxxx （）；（）tan(1)1xdxx （）2 tan(1)(1)xdx 2ln cos(1)xC 221sec(3)2xdxx （）211sec(3)(3)dxx 1tan(3)Cx第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定
27、积分的计算不定积分的计算 第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法,不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能具体问题具体分析只能具体问题具体分析.要掌握好这种方法，需要要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子微分因子.第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 213xx dx （）3221(3)3xc 12
28、1(3)xe dxx cos4xdxx（）2ln|5|xxc1xec 22125xdxxx （）2sinxc5sin4 cos3xxdx（）11cos7cos142xxc 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 34361xdxx （）43ln 14xC 1(8).2321dxxx 219.4arcsin2dxxx （）1.xxeC 331123211212xxC1217(1).xxedxx （）lnarcsin.2xC第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 (二二)第二类换元积分法第二类换元积分法 定理定理4.2.2 函
29、数函数 x (t)有连续的导数且有连续的导数且 (t)0，又又 f(t)(t)有原函数有原函数 F(t)，则，则 其中其中t -1(x)是是x (t)的反函数的反函数.1()()()()().f x dxftt dtF tCFxC 不不一一样样先先凑凑后后换换元元这这与与第第一一类类换换元元法法代代换换元元，再再积积分分，最最后后回回注注：第第二二类类换换元元法法是是先先)(第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 1.根根式式代换代换 .被积分函数中含有被积分函数中含有 （根号里是一次式）（根号里是一次式）类型类型-根式代换法根式代换法，令，令 naxb n
30、taxb 例例1 计算计算1xdxx 例例2 计算计算1.xdxx 例例3 计算计算3(1)dxxx 例例4 计算计算1xdxe 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例1 计算计算1xdxx 22112221111txttdxtdtdtdttttx 212122ln 11tdttttCt 令令 则则 于是于是,xt 2,2,xtdxtdt 22ln 12ln 1.xxxxC第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例2 计算计算1.xdxx 22221211dd2d11xttxttxtt 212(1)2(arctan
31、)1dtttCt 令令 则则 于是于是 1,xt21,d2 d,xtxt t2(1arctan1).xxC第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例3 计算计算3(1)dxxx 52223223d611d6d6d(1)11(1)xttttttttttxx 216(1)d6(arctan)1tttct 令令 则则 于是于是 6,xt 65,d6 d,xtxtt666(arctan)xxc第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例4 计算计算1xdxe 1xdxe 221221.dd2d11(1)(1)ttttt tttt
32、令令 则则 于是于是 1,xet222ln(1),dd,1txtxtt 11()d11ttt 11d(1)d(1)11tttt1ln1ln1ln|1tttcct 11ln11xxece第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 1113dxx（）2(3ln|13|)xxc 44244ln(1).xxxC412d.xxx （）第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 2.三角代换三角代换 .被积分函数中含有被积分函数中含有 类型类型-三角代换法三角代换法2222xaax 、例例5 计算计算22(0)ax dx a 例例6 计算计算
33、22(0).dxaxa 例例7 计算计算22(0).dxaxa 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例5 计算计算22(0)ax dx a 2222(1sin)cos,cos,axatat dxatdt2222dcoscos dcosdaxxat at tat t令令 则则sin(),22xatt2(1cos2)d2att 21(sin2)22attC2(sin cos)2atttC第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 ,arcsin axt 因为因为22cos,axta 22xa xat 把变量把变量 t 换为换
34、为 x.为简便起见为简便起见,sin axt 根据根据 画一个直角三角画一个直角三角形，称它为辅助三角形，如图形，称它为辅助三角形，如图.sinxta xxad22Cttta )cossin(22Caxaaxaxa 222arcsin2.2arcsin2222Cxaxaxa 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例6 计算计算22(0).dxaxa 222sec,dsecd,xaatxat t2122secsecln sectansecdxattdtttCatxa 令令 则则tan(),22xatt 根据根据 作辅助三角形作辅助三角形,如图如图.tanx
35、ta axt22ax 22sec,xata 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 122|tansec|lndCttaxx122lnCaaxax aCaxxln)ln(122 ，Caxx )ln(22其中其中 C=C1-lna.第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例7 计算计算22(0).dxaxa 22tan,dsec tan d,xaatxatt t122secln sectandxtdtttCxa 令令 则则3sec(0),22xattt 或或 根据根据 作辅助三角形，作辅助三角形，如图如图.sec,xta
36、axt22ax 22tan,xata 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 22daxx1|tansec|lnCtt 122 lnCaaxax aCaxxln|ln122 22ln|xxaC其中其中 C=C1 lna.第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 第二类换元积分法是基本积分方法之一第二类换元积分法是基本积分方法之一,使用第二使用第二换元积分法的关键在于选择适当的变换换元积分法的关键在于选择适当的变换,消除被积式消除被积式中的根号中的根号,最常见的形式有最常见的形式有:（1）被积函数中含有：）被积函数中含有：设设
37、（2）被积函数中含有：）被积函数中含有：设设 ,n为为n1、n2 的最小公倍数的最小公倍数（3）被积函数中含有：）被积函数中含有：设设（4）被积函数中含有：）被积函数中含有：设设（5）被积函数中含有：）被积函数中含有：设设 在作三角替换时在作三角替换时,可以利用直角三角形的边角关系可以利用直角三角形的边角关系确定有关三角函数的关系确定有关三角函数的关系,以返回原积分变量以返回原积分变量.naxbntaxb12nnxx、ntx22axsinxat22xatanxat22xasecxat第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例8 计算计算2d.1xxx 解法
38、一解法一三角代换法三角代换法 令令 x=tan t，于是得于是得 21dxxx ttttdsectansec2 ttdcsc则则 dx=sec2 tdt，.|cotcsc|lnCtt 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 根据根据 tan t=x，作辅助三作辅助三角形，角形，得得 21dxxx=ln|csc t cot t|+CCxxx 11ln2.11ln2Cxx 1xt21x 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 解法二解法二根式代换法根式代换法 ，令令1122 txtx,d1d2tttx 则则于是有于是有 21d
39、xxx tttttd1122ttd112 Ctt 11ln21Cxx 222)11(ln21.11ln2Cxx 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 3214.xx dx （）35224144.35xxC 212(0)1dx xxx （）1arcsinCx 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 设函数设函数 u=u(x),v=v(x)具有连续导数具有连续导数:u =u(x),v =v (x)，根据乘积微分公式根据乘积微分公式于是有于是有，dd uvvuuv即即.dd uvuvvud(uv)=udv +vdu，分部积分公
40、式分部积分公式第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 .dd uvuvvu难难易易1.分部积分法适合求分部积分法适合求两个不同类型函数乘积两个不同类型函数乘积的积分的积分.2.用法：用法：把被积函数把被积函数 f(x)分解为两部分因式相乘的形式分解为两部分因式相乘的形式,其中一部分因式看作其中一部分因式看作 u,另一部分因式看作另一部分因式看作 v,而后而后套用公式套用公式,把求不定积分把求不定积分 的问题转化为求不的问题转化为求不定积分定积分 的问题的问题.duvx vdxu3.关键关键:u,v 选择要得当选择要得当第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第
41、一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例1 计算计算cos dxx x cosdxxx uv d(sin)xx 交交换换,vu xxxxdsinsinuv.cossinCxxx cosdxxx uv 21sin d()2xx 2211cossin22xxxxdx uv交交换换,vu比比 更难求更难求cosxxdx失败！失败！可见运用分部积分公式的关键是可见运用分部积分公式的关键是恰当选择恰当选择u，v .第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 当被积函数是两种不同类型函数的乘积时，我当被积函数是两种不同类型函数的乘积时，我们可以按照们可以按照“反、对、幂、指
42、、三反、对、幂、指、三”（即反三角函（即反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数）的数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数）的顺序，选择排列次序在前的函数作为顺序，选择排列次序在前的函数作为u，而将排在而将排在后的另一个函数选作后的另一个函数选作v.第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例3 计算计算 dxx ex 2 22 dxx ex uv 2d()xxe 交交换换,vu22ee dxxxx uv2e2 e dxxxxx uv 22 dxxx exe 22dxxxx exeex u v 222.xxxeC 第四章第四章 不定积分不定积分 第
43、一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例4 计算计算2 arctan d.xx x 例例5 计算计算ln dx x 例例6 计算计算arcsin dx x 例例7 计算计算3ln dxx x 例例8 计算计算sin dxex x 例例9 计算计算3secd.x x 例例10 计算计算arctand.x x 例例11 计算计算ln(1)d.xxx 例例12 计算计算 sin(ln)d.xx 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例4 计算计算2 arctan d.xx x 2 arctan dxx x 2arctan d()xx 22arctand(
44、arctan)xxxx 222arctand1xxxxx 221arctan1d1xxxx 2arctanarctan.xxxxC 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例5 计算计算ln dx x 1ln dlndlnlndx xxxxxxxxxxln(ln1)xxxCxxC 练习练习 求求 2lndx x 2ln2 ln2xxxxxC第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例6 计算计算arcsin dx x arcsindarcsinxxxx 2arcsind1xxxxx 2arcsin1xxxC221(1)a
45、rcsind21dxxxxx arcsin dx x 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例7 计算计算3ln dxx x 4411lnd44xxxxx 441ln.416xxxC431lnd44xxxx 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例 8 计算计算sin dxex x sin dsin dsindsinxxxxex xx eexex2sincos dsincos dxxxexex xexx esincosdcosxxxexexex(sincos)sin dxxexxex x 移项移项,两边除以两边除以
46、2,并加积分常数并加积分常数,得得 Cxxexdxexx)cos(sin2sin 当两次应用分部积分法后又出现了原积分时当两次应用分部积分法后又出现了原积分时,我们我们是用解方程的方法求出积分结果的是用解方程的方法求出积分结果的.注意注意 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例9 计算计算3secd.x x xxdsec3 xxxdsecsec2 )tand(secxx )secd(tantansecxxxx xxxxxdsectantansec2 xxxxxdsec)1(sectansec2 xxxxxxdsecdsectansec3，|tansec
47、|lndsectansec3xxxxxx .|tansec|ln21tansec21dsec3Cxxxxxx 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 例例10 计算计算arctand.x x 2arcsindarctan2 darctan d()x xtt ttt22222arctandarctanarctand1ttttttttt 2221arctan1d1arctanarctanttttttttC 1 arctan.xxxC令令 则则 于是于是(0),xt t2,2,xtdxtdt第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算
48、 例例11 计算计算ln(1)d.xxx xxxd)1ln(xx d)1ln(2 )1ln(d2)1ln(2xxxx.d12)1ln(2 xxxxx求上式右端的不定积分求上式右端的不定积分 ,d1 xxx用第二换元法用第二换元法.第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 ,2txtx 令令则则 dx=2tdt,于是有于是有 xxxd1 tttd1222 ttd11122=2(t arctan t)+C，1)arctan(2Cxx 代入代入,得得 xxxd)1ln(.)arctan(4)1ln(2Cxxxx 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分
49、的计算不定积分的计算 dxx)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 例例12 计算计算 sin(ln)d.xx 令令 lnx=t,则则x=et ,dx=etdt ,于是于是sindtt et sin dtt e sindsinttetet sincos dttetet t sincos dttett e sincosdcostttetetet sincossin dtttetetet t 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 31ed.xx（）321333(22)e.xxxC211arctanlnln(1)2xxxCx 212arctan dx xx（）第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 内容小结内容小结:1.1.换元积分法换元积分法 2.2.分部积分法分部积分法 xxfd)(第一类换元法第一类换元法tttfd)()(第二类换元法第二类换元法(注意常见的换元积分类型注意常见的换元积分类型)(代换代换:)(txvuxvudxvud
