1、 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质杨辉（南宋著名数学家）杨辉，字谦光，汉族，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学家和数学教育家，生平履历不详。曾担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带。他在总结民间乘除捷算法、“垛积术”、纵横图以及数学教育方面，均做出了重大的贡献。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。著有数学著作5种21卷，即详解九章算法12卷，日用算法2卷，乘除通变本末3卷，田亩比类乘除捷法2卷和续古摘奇算法2卷后三种合称为杨辉算法。朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。杨辉还曾论证过弧矢公式，时人称为“辉术”。与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四
2、大家”。杨辉在详解九章算法一书中还画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”。杨辉课前引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？一般地，对于n N*有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 二项定理:一、新课引入新知探究展开式中的二项式系数，如下表所示：nba)(1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1)(ba2)(
3、ba3)(ba4)(ba5)(ba6)(ba()nab 0111C C012222C C C01233333C C C C0123444444C C C C C012345555555C C C C C C01234566666666C C C C C C C0121.rnnnnnnnnC C CCCC“杨辉三角”的来历及规律 新知探究0)(ba1)(ba3)(ba2)(ba4)(ba5)(ba6)(ba111112113311464115510 101166151520表中每行两端都是1，与这两个1等距离的系数相等；而且在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；同一行中系数先
4、增后减。上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)新知探究(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(3)增减性与最大值.增减性的实质是比较 的大小.1kknnCC 与与(2)递推性:除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.二项式系数的性质新知探究(3)增减性与最大值.增减性的实质是比较 的大小.1kknnCC 与与1!1!1!()!(1)!(1)!kknnnn knn kCCk n kkkn kk 所以 相对于 的增减情况由 决定 knC1Cknkkn12111nkkkn12nk 可知，当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。新知探究
5、（3）增减性与最大值 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、相等，且同时取得最大值。2Cnn21Cnn21Cnn新知探究 （4）各二项式系数的和 nnnnnn2CCCC210 这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：nba)(n2新知探究 一般地，展开式的二项式系数 有如下性质：nba)(（1）nnnnCCC,10mnnmnCC （2）（3）当 时，（4）mnmnmnCCC1121nr1rnrnCC 当 时，21nrrnrnCC1nnnnnCCC210新知探究 还可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象，研究二项式系数的性质 (a+b
6、)n展开式的二项式系数是 可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是0,1,2,n,对于确定的n,可以画出它的图像。例如：当n=6时，其图象是右图中的7个孤立点.012,.rnnnnnnCCCCC，,rnC.-1084621620f(r).369r课堂练习1）已知 ，那么 =；2）的展开式中，二项式系数的最大值是 ；3）若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式 系数最大，则n=；591515,Ca Cb1016C9()ab()nab课堂练习a+b12619典例解析 例1 证明在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和nba)(典型例题典例解析证明在(a+b)n的展开式
7、中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：021312nnnnnCCCC 证明：在展开式 中 令a=1，b=1得011nnnnnnnCaCabCb 0123(11)(1)nnnnnnnnCCCCC 02130nnnnCCCC即即0213nnnnCCCC 小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特 定的值1，-1等来整体得到所求。新知探究赋值法的应用解决二项式系数问题.赋值法课堂练习已知求:(1)；(2)；(3);(4)7270127(1 2)xaa xa xa x 127aaa 1357aaaa 017|aaa 0246aaaa 73110932 1094 2187赋值
8、法再思考课堂练习典例解析例4:求(x+2)10（x2-1）展开式中含 x 10 项的系数为 .变式：求(1+x+x2)(1-x)10展开式中含x项的系数.求两个(多个)二项式乘积的展开式的特定项方法：（1）先化简，化成一个二项式的展开式;（2）分析两个（多个）二项式的通项的字母的指数,利用找伙伴的方式解决.例3：求 展开式中的常数项.1010 x11x1）（）（方法提炼1020C179-9典例解析例4：的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项。(12)nx1、的展开式中，系数绝对值最大的项是（）A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项2、若 展开式中的第6
9、项的系数最大，则不含x的项等于()A.210 B.120 C.461 D.4163:(1x)13 的展开式中系数最小的项是 .7()xy321()nxx典型例题713CAB70变式引申课堂小结(1)二项式系数的三个性质(2)数学思想：函数思想 a 单调性；b 图象；c 最值.各二项式系数的和增减性与最大值对称性小结课堂小结 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。注意POWERPOINT PRESENTATIONFACOZOORTHANK YOU FOR READING I WOULD APPRECIATE YOUR COMMENTS 谢谢聆听 请多指教综 合 法25DESIGN2131课前引入思考探究3探究3小结
