1、习题习题320Rm0.6FiFyxOBAF3-1如图，一质点在几个力作用下沿半径为的圆周运动，其中有一恒力 N，求质点从A开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B的过程中，力所做的功。RR解：本题为恒力做功，考虑到B的坐标为（，），2020BArrrij ，再利用:AFr，有：0.6(2020)12Aiij （焦耳）3-2质量为m=0.5kg的质点，在xOy坐标平面内运动，其运动方程为x=5t2,y=0.5(SI),从t=2s到t=4s这段时间内，外力对质点的功为多少？解：由功的定义：AFr，题意：250.5rt ij24(4)(2)60rrri，220.5 105d rFmiid t 560300
2、AiiJ。解：由于小球缓慢被提起，所以每时刻可看成外力与弹性力相等，3-3劲度系数为k的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为m，开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面为止，求此过程中外力的功。则：Fkx，选向上为正向。当小球刚脱离地面时：maxmgkx，有：maxmgxk，由做功的定义可知：max22200122mgxkm gAkxdxkxk。3-4如图，一质量为m的质点，在半径为R的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力数值为N，求质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其做的功。fAmARB分析：直接求解显然有困难，
3、所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。解：求在B点的速度：2vNGmR，可得：RGNmv)(21212由动能定理：2102fmgRAmv 11()(3)22fANG RmgRNmg R3-5一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为2(52.838.4)Fxxi FxNm，其中和单位分别为和。m522.01xm34.12x（1）计算当将弹簧由拉伸至过程中，外力所做之功；（2）此弹力是否为保守力?解：（1）由做功的定义可知：211.3420.522(52.838.4)xxAF d xxxdx2233212126.4()12.6()69.2xxxxJ（2）()()F xF x i，按保守
4、力的定义：()()()BAABF x dlF x i drF x i dr()()()()0BBAAF x idxid y jdzkF x i dxid y jdzk该弹力为保守力。3-6一质量为m的物体，在力 2()Fatibt j的作用下，由静止开始运动，求 在任一时刻 t此力所做功的功率为多少。解：由 PF v ，要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：22311 11()()23Fvdtatibt j dtat ibt jmmm所以功率为：PF v2232 32 51 111 11()()()2323atibt jat ibt ja tb tmm。3-7一质点在三维力场中运动已知力场
5、的势能函数为：czbxyaxE2p。（1）求作用力F；（2）当质点由原点运动到 3x、3y、其中 3z位置的过程 中，试任选一路径，计算上述力所做的功。的单位为 pEJ，zyx、的单 位为 m，F的单位为 N。解：（1）由力和势能的关系：PFE 有：2()()(2)Fijk ax bxy czax byi bxj ckxyz一个比较简单的积分路径：（2）由于该力场是有势场，那么力是保守力，保守力做功与路径无关，所以可取 rxiy jzk，则：(333)(333)(000)(000)(2)()AF drax byi bxj ck dxi dyj dzk，(333)2 33330000(000)(
6、2)9 9 3ax bydx bxdy cdz axbyxcza b c ，3-8轻弹簧 A的上端 BA固定，下端 B悬挂质量为 m的重物。已知弹簧原长为 0l，劲度系数为 k，重物在 O点达到平衡，此时弹簧伸长了 0 x，如图所示。取 x轴向下为正，且坐标原点位于：弹簧原长位置 O；力的 平衡位置 O。若取原点为重力势能和弹性势能的 势能零 点，试分别计算重物在任一位置 P时系统的总势能。解：（1）取弹簧原长位置 O为重力势能和弹性势能的势 能零点，则重物在任一位置 P2001()()2PEmg xxk xx 时系统的总势能：（2）取力的平衡位置 势能零点，则重物在任一位置 O为重力势能和弹
7、性势能的 P时系统的总势能：22001122PEmgxk xxkx（），而 0mgkx 22200111222PEmgxk xxkxkx（）。端刚和液面接触如图所示，3-9在密度为 1的液面上方，悬挂一根长为 l，密度 为 2的均匀棒 AB，棒的 B今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力 作用下运动，在 1212的条件下，求细棒下落过程中的最 大速度 maxv，以及细棒能进入液体的最大深度 H。解：（1）分析可知，棒下落的最大速 度是受合力为零的时候，所以：GF浮，即 hsglsg12，由能量守恒有：则：可解得：lh12。利用功能原理：212mghmvA浮，有：22max21012hslvsglhg
8、sydy2max1vgl（2）当均匀棒完全进入液体中时，浮力不变，到最大 深度 H时，速度为零，设：Hlh 2110llsgHysgdylsgh即：2110()llsgHysgdylsg Hl 1122()lH。万有引力提供卫星向心力：3-10若在近似圆形轨道上运行的卫星受到尘埃的微弱空气阻力 比例系数 f的作用，设阻 力与速度的大小成正比，k为常数，即 fk v 的卫星，试求质量为 m开始在离地心 Rr40（为地球半径）R陨落到地面所需的时间。解：根据题意，假设在离地心 Rr40处质点的速度为 1v，地面上的速度为 2v，202rMmGrvm，2012Rrvv再由动量定理：f dtmdv，有
9、：kvdtmdv分离变量取积分，可得：2121lnln2vvvmmmtdvkvkvk。Lm3-11一链条放置在光滑桌面上，用手揿住一端，另一端有四分之一长度由桌边下垂，设链条长为，质量为，试问将链条全部拉上桌面要做多少功？解：直接考虑垂下的链条的质心位置变化，来求做功，则：1114832PAEmglmgl 3-12起重机用钢丝绳吊运质量为 的物体时以速率 m因物体仍有惯 0v匀速下降，当起重机突然刹车时，性运动使钢丝绳 有微小伸长。设钢丝绳劲度 系数为 k，求它伸长多少?所受拉力多大?(不计钢丝绳本身质量)（这里，由于是微小伸长，因伸长而引起重力势能的降低可以忽略不计）解：当起重机忽然刹车时，
10、物体的动能将转换为钢丝 绳的弹性势能，由 2202121kxmv，可得：0vkmx，分析物体的受力，可得到绳子的拉力为：0Tmgkxmgmk v。，然后释放。求：3-13在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一物体 A、A边上再放一物体 B，它们质量分别为 Am和 Bm，弹簧劲度系数为 k，原长为 l用 力推 B，使弹簧压缩 0 xAB（1）当与开始分离时，它们的位置和速度；（2）分离之后，A还能往前移动多远?解：（1）当 开始分离时，两者具有相同的速度，A与 B但 A的加速度为零，此时 弹簧和 B都不对 产生 A作用力，即为弹簧原长位置时刻，根据能量守恒，可得到：22011()
11、22ABmmvkx，有：0 xmmkvBA，xl；（2）分离之后，A的动能又将逐渐 的转化为弹性势能，所以：221122AAm vkx ，则：0AAABmxxmm。（2）若选取 3-14已知地球对一个质量为 m的质点的引力为 3eGm mFrr（1）若选取无穷远处势能为零，计算地面处的势能；ee,Rm为地球 的质量和半径)。地面处势能为零，计算无穷远处的势能 比较两种情况下的势能差 解：（1）取无穷远处势能为零，地面处的势能为：ee211eePRReEF drGm mdrGm mrR；（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为：ee211eeRReEF drGm mdr Gm mrR两种
12、情况下势能差是完全一样的。3-15试证明在离地球表面高度为 h(ehR)处，质 量为 m的质点所具有的引力 势能近似可表示为 mgh。解：万有引力的势能函数表达式为 0PMmEGr，（以无穷远处为势能零点），且此时地球表面处的 势能为：0eReeMmEGmgRR ，在离地球表面高度为 h(ehR)处，质量为 m的质点所具有的引力势 能为：)()()()()(20200hRmghRRMmGhRhRMmGhRMmGeeeeee如果以地面作为零电势处，则质点所具有的引力势能近似可表示为：()PeeEmgRmg Rhmgh 。，上式可写为：思考题思考题33-1求证：一对内力做功与参考系的选择无关。证：
13、对于系统里的两个质点而言，一对内力做功可表示为：，1122Afd rfd r由于外力的存在，质点1和2的运动情况是不同的，虽然其内力相等而方向相反（12ff），但 12drdrA=112212()Afdrfdrfdrdr表明，内力的功与两个质点的相对位移有关，与参考系的选择无关。3-2.叙述质点和质点组动能变化定理，写出它们的表达式，指出定理的成立条件。质点的动能变化定理：物体受外力 速度为 F作用下，从 A运动B，其运动状态变化，Av变化到 Bv，即动能变化。合外力对质点所 做的功等于质点动能的增量。221122BABBAKBKAAAf drmvmvEE质点系的动能定理：质点系总动能的增量等
14、于外力的功与质点系内保守力的 功和质点系内非保守力的功三者之和。即质点系总动能的增量等于外力和内力做功之和。公式表达：exCinNinAAA，KE所以当它们受到的水平 3-3 A和 B两物体放在水平面上，它们受到的水平 恒力 F一样，位移 s也一样，但一个接触面光滑，另一个粗糙 F力做的功是否一样?两物体动能增量 是否一 样?答：根据功的定义：AFr恒力 F一样，位移 s也一样时，两个功是相等的；但由于光滑的接触面摩擦力不做功，粗糙的接触面摩擦力做功，所以两个物体的总功不同，动能的增量就不相同。3-4按质点动能定理，下列式子：2212212121dxxxxxmvmvxF2212212121dyyyyymvmvyF2212212121dzzzzzmvmvzF是否成立?这三式是否是质点动能定理的三个分量式?试作分析。答：不成立，因为功是标量，不分方向，没有必要这么写。如瞬间挂上让其自由下落，弹簧伸长应满足能量守恒：3-5在劲度系数为 k的弹簧下，如将质量为 m的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长 多少?如瞬间挂上让其自由下落弹簧又伸长多少?答：如将质量为 m的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长为 mgkx，所以 kmgx；212mgxkx，所以 kmgx2。3-6试根据力场的力矢量分布图判断哪些力场一定是非保守的?答：图（d）、（f）为非保守力场，因为如果对其取环路积分必定不为零。
