1、 2.2函数与方程及函数的应用考情分析考情分析备考定向备考定向高频考点高频考点探究突破探究突破预测演练预测演练巩固提升巩固提升考情分析备考定向高频考点探究突破命题热点命题热点 一一函数零点的求解与判定函数零点的求解与判定【思考】【思考】确定函数零点的常用方法有哪些确定函数零点的常用方法有哪些?例例1若函数若函数f(x)=其中其中m-0知知,函数函数y=f(x)与直线与直线y=-a0存在两个交点存在两个交点,此时方程此时方程f(-f(x)=1的实数根有的实数根有2个个;由由f(x)=-b(-1,0),知函数知函数y=f(x)与直线与直线y=-b(-1,0)存在两个交点存在两个交点,此时方程此时方
2、程f(-f(x)=1的的实数根有实数根有2个个.综上可知方程的实数根个数为综上可知方程的实数根个数为4.例3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).所以该食品在33 的保鲜时间是24 h.解析:x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.解析:令f(x)=0,得ln x=4x-3,在同一平面直角坐标系中画出y=ln x,y=4x-3的图象,如图所示,由图可知,两个函数图象有两个交点,即f(x)有两个零点.所以该食品在33 的保鲜时间是24 h.【思考】应用函数模型解决实际问题的一般程序是怎样的?(1)解方程法,方程易求解时用此法;(3)数形结合法,如求解含有绝对值、分式、指数、对数、
3、三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.解:(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh=200rh(元),所以该食品在33 的保鲜时间是24 h.由图可知:当x(1,2(3,4(5,6(7,8时,f(x)与g(x)的图象有2个交点,(1)解方程法,方程易求解时用此法;当x(0,1(4,5(8,9时,f(x)与g(x)的图象有6个交点,2函数与方程及函数的应用解析:设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,零点存在定理知函数的一个零点在区间(1,2)内.(1)解方程法,方程易求解时用此法;题后反思题后反思确定函数零点的常用方法确定函数零点的
4、常用方法:(1)解方程法解方程法,方程易求解时用此法方程易求解时用此法;(2)函数零点存在的判定定理法函数零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质、常常要结合函数的性质、导数等知识导数等知识;(3)数形结合法数形结合法,如求解含有绝对值、分式、指数、对数、如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解图象的交点问题求解.对点训练对点训练1(1)(2020辽宁辽阳二模辽宁辽阳二模)已知函数已知函数f(x)=则则函数函数g(x)=2f(x)2-mf(x)-2的零点个数为的零点个数为()A
5、.3B.1或或3C.3或或4或或5D.1或或3或或5(2)设函数设函数y=log3x与与y=3-x的图象的交点为的图象的交点为(x0,y0),则则x0所在的所在的区间是区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)AC由此可画出函数由此可画出函数f(x)的图象的图象,如图所示如图所示.令令f(x)=t,则方程则方程2t2-mt-2=0必有两根必有两根t1,t2(t10,m(x)=log3x+x-3在区间在区间(2,3)内满足内满足m(2)m(3)0,所以函数所以函数m(x)=log3x+x-3的零点在区间的零点在区间(2,3)内内,即即x0所在的区间是所在的区间是(2,3)
6、.命题热点命题热点 二二函数零点的应用函数零点的应用【思考】【思考】如何由函数零点的存在情况求参数的值或取值如何由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围范围?例例2设设f(x),g(x)是定义在是定义在R上的两个周期函数上的两个周期函数,f(x)的周期为的周期为4,程程f(x)=g(x)有有8个不同的实数根个不同的实数根,则则k的取值范围的取值范围是是_.结合结合f(x)是周期为是周期为4的奇函数的奇函数,可作出可作出f(x)的图象的图象,如图如图.由图可知由图可知:当当x(1,2(3,4(5,6(7,8时时,f(x)与与g(x)的图的图象有象有2个交点个交点,当当x(0,1(2,3(4,5(
7、6,7(8,9时时,f(x)与与g(x)的图的图象有象有6个交点个交点.由图可知由图可知:当当x(2,3(6,7时时,f(x)与与g(x)的图象无交点的图象无交点,当当x(0,1(4,5(8,9时时,f(x)与与g(x)的图象有的图象有6个交点个交点,由由f(x)与与g(x)的周期性可知的周期性可知:当当x(0,1时时,f(x)与与g(x)的图象有的图象有2个交点个交点.如图如图,当当y=k(x+2)与圆弧与圆弧:(x-1)2+y2=1(00,所以所以V(r)在区间在区间(0,5)内单调递增内单调递增;由此可知由此可知,V(r)在在r=5处取得最大值处取得最大值,此时此时h=8.即当即当r=5
8、,h=8时时,该蓄水池的体积最大该蓄水池的体积最大.题后反思题后反思应用函数模型解决实际问题应用函数模型解决实际问题:首先首先,要正确理解题要正确理解题意意,将实际问题化为数学问题将实际问题化为数学问题;其次其次,利用数学知识如函数、导利用数学知识如函数、导数、不等式数、不等式(方程方程)解决数学问题解决数学问题;最后最后,回归到实际问题的回归到实际问题的解解对点训练对点训练3某食品的保鲜时间某食品的保鲜时间y(单位单位:h)与储藏温度与储藏温度x(单单位位:)满足函数关系满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数为自然对数的底数,k,b为常数为常数).若该食品在若该食品在0
9、的保鲜时间是的保鲜时间是192 h,在在22 的保鲜的保鲜时间是时间是48 h,则该食品在则该食品在33 的保鲜时间的保鲜时间是是_h.24所以该食品在所以该食品在33 的保鲜时间是的保鲜时间是24 h.预测演练巩固提升1.函数函数f(x)=2x-x-的的一个零点所在的区间是一个零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)B零点存在定理知函数的一个零点在区间零点存在定理知函数的一个零点在区间(1,2)内内.故选故选B.2.函数函数f(x)=-ln x+4x-3的零点个数为的零点个数为()A.3B.2C.1D.0B解析解析:令令f(x)=0,得得ln x=4x-3
10、,在同一平面直在同一平面直角坐标系中画出角坐标系中画出y=ln x,y=4x-3的图象的图象,如如图所示图所示,由图可知由图可知,两个函数图象有两个交两个函数图象有两个交点点,即即f(x)有两个零点有两个零点.3.某公司为激励创新某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入计划逐年加大研发资金投入.若该公司若该公司2015年全年投入研发资金年全年投入研发资金130万元万元,在此基础上在此基础上,每年投入的研每年投入的研发资金比上一年增长发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开则该公司全年投入的研发资金开始超过始超过200万元的年份是万元的年份是()(参考数据参考数据:lg 1.12
11、0.05,lg 1.30.11,lg 20.30)A.2018年年B.2019年年C.2020年年 D.2021年年B解析解析:设从设从2015年后第年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超年该公司全年投入的研发资金开始超过过200万元万元,由已知得由已知得130(1+12%)n200,n4,故选故选B.4.设设aZ,函数函数f(x)=ex+x-a.若当若当x(-1,1)时时,函数函数f(x)有零点有零点,则则a的取值个数的取值个数为为_.4解析解析:易知函数易知函数f(x)单调递增单调递增.由零点存在定理由零点存在定理,若当若当x(-1,1)时时,函数函数f(x)有零点有零点,所以所以a的可
12、能取值为的可能取值为0,1,2,3.5.已知函数已知函数f(x)=其中其中m0.若存在实数若存在实数b,使得使得关于关于x的方程的方程f(x)=b有三个不同的根有三个不同的根,则则m的取值范围的取值范围是是_.(3,+)解析解析:x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.由题意由题意画出函数图象为下图时才符合画出函数图象为下图时才符合,要满足存要满足存在实数在实数b,使得关于使得关于x的方程的方程f(x)=b有三个有三个不同的根不同的根,应满足应满足4m-m23,即即m的取值范围为的取值范围为(3,+).所以该食品在33 的保鲜时间是24 h.当x(0,1(2,3(4,5(6,7(8,9时
13、,f(x)与g(x)的图象有6个交点.例1若函数f(x)=其中m0,则方程f(-f(x)=1的实数根的个数为()(2)设函数y=log3x与y=3-x的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的区间是()对点训练3某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.又根据题意200rh+160r2=12 000,解析:令f(x)=0,得ln x=4x-3,在同一平面直角坐标系中画出y=ln x,y=4x-3的图象,如图所示,由图可知,两个函数图象有两个交点,即f(x)有两个零点.解析:易知函数f(x)单调递增.(参考数据:lg 1.当x(0,1(2,3(4,5(6,7(8,9时,f(x)与g(x)的图象有6个交点.
