1、高三数学试题第 1 页(共4页) 高三数学试题第 1 页(共4页) 2019-2020 学年度第一学期期末学业水平诊断 高三数学高三数学 注意事项：注意事项： 1. 本试题满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2. 答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3.使用答题纸时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹淸晰。超出答题区书 写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 8 小題，每小题小題，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中, ,只有一项是只有一项是
2、符合題目要符合題目要求的求的。 1. 己知集合 A=X|X 2-X-20, B=x|y= ,则 AB= A. x|-lx2 B. x|0x2 C. x|x-l D. x|x0 2. “ xR,x 2-x+l0”的否定是 A. xR, X 2-X+10 B. xR, x 2-x+10)的离心率为 5 2 ，则其渐近线方程为 A. 2x3y=0 B. 3x2y=0 C. x2y=0 D. 2xy=0 4.设 a=log0.53,b=0.5 3,c= ,则 a,b,c 的大小关系为 A.abc B. acb C. bac D. bca 5.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开
3、设 “礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程 ， 每周一门 ， 连续开设六周.若课程“乐” 不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为 A. 216 B. 480 C. 504 D. 624 6. 函数 y=|x|+sinx 的部分图象可能是 7.若 x=时，函数 f(x)=3sinx+4cosx 取得最小值，则 sin= A. B. C. D. 高三数学试题第 2 页(共4页) 8.函数( ) 1,若方程 f(x)=-2x+m 有且只有两个不相等的实数根，则实数 m 的 取值范围是 A. (-,4) B. (-,4 C. (-2,4) D. (-2,4 二、多项选
4、择题：本題共二、多项选择题：本題共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分。在每小题给出的选项中，有多在每小题给出的选项中，有多项符合项符合 題目要求，全部选对得題目要求，全部选对得 5 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分. 9.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调査了 50 名男生 和 50 名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到 如图所示的列联表.经计算K 2的观测值 k4.762，则可以推断出 A. 该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为 B. 调研结果显示，该学校男生比女生对
5、食堂服务更满意 C. 有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 D. 有 99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 10. 已知函数 f(x)=sin(3x+ )(- 2 2)的图象关于直线 x= 4对称，则 A. 函数 f(x+ 4)为奇函数 B. 函数 f(x)在 12， 3上单调递増 C. 若|f(x1)-f(x2)|=2,则|x1-x2的最小值为 3 D. 函数 f(x)的图象向右平移 4个单位长度得到函数 y=-cos3x 的图象 11. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点 P 在线段 B1C 上运动，则 A. 直线 BD1丄平面 A1C1D B. 三
6、棱锥 P-A1C1D 的体积为定值 C. 异面直线AP与 A1D 所成角的取值范用是45,90 D. 直线C1P与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为 6 3 12. 已知抛物线C:y 2=4x的焦点为F、 准线为l， 过点F的直线与抛物线交于两点P(x1,y1),G(x2,y2)， 点 P 在 l 上的射影为 P1，则 A. 若X1+X2=6.则|PQ|=8 满意 不满意 男 30 20 女 40 10 P(k 2k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 高三数学试题第3 页页（共4页） B. 以PQ 为直径的圆与准线 l 相切 C. 设 M（O
7、,1）,则|PM|+|PP1| D. 过点 M（0,1）与抛物线 C 有且只有一个公共点的直线至多有 2 条 三、三、 填空題：本題共填空題：本題共 4 4 小題，每小小題，每小题题 5 5 分，共分，共 2020 分分。 13. 己知向量 a a,b b 满足|a a|=l,|b b|= ,a a（a a+b b）,则 a a 与 b b 夹角为 . 14. 已知随机变量X N（1, 2）,P（-1X1）=0.4,则 P（X3）= . 15. 设点 P 是曲线y=e x+x2上任一点，则点 P 到直线 x-y-1=O的最小距离为 . 16.已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点都在球O的表面上，
8、PA 丄平面 ABC，PA=6,AB=2 ,AC=2,BC=4， 则：（1）球O的表面积为 ；（2）若 D 是 BC 的中点，过点 D 作球O的截面，则截面 面积的最小值是 。（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、四、 解答题：本题共解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟。 17. （10 分） 在条件(a+b)(sinA-sinB）=（c-b）sinC,asinB=bcos(A+ ),bsin =asinB 中任选一 个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 在ABC 中，角 A,B,C 的
9、对边分别为 a,b,c, b+c=6,a= , _ , 求ABC 的面积. 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. （12 分） 已知数列an的前 n 项和 Sn満足 2Sn=(n+1)an（nN）且a1=2. （1） 求数列an的通项公式; （2） 设bn=（an-1）2 an.求数列b n的前 n 项和 Tn. 19. (12 分) 20. 如图，在四棱锥S-ABCD中，ABCD 为直角梯形，ADBC,BCCD，平面 SCD丄平面ABCD. SCD是以 CD 为斜边的等腰直角三角形，BC=2AD=2CD=4,E 为 BS 上 一点，且BE=2ES. (1) 证明：直线 SD
10、平面ACE； (2) 求二面角 S-AC-E的余弦值。 高三数学试题第 4 页(共4页) 21. (12 分) 已知椭圆的 2 2 2 2 1的离心率为 3 2 ，F 是其右焦点，直线 y=kx 与椭圆交于 A,B 两点， |AF|+|BF|=8. (1) 求椭圆的标准方程； (2) 设 Q(3,0),若AQB 为锐角,求实数 k 的取值范围. 22. (12 分) 某企业拥有 3 条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故 障相互独立，且出现故障的概率为1 3. (1) 求该企业每月有且只有 1 条生产线出现故障的概率； (2) 为提高生产效益，该企业决定招聘 n
11、名维修工人及时对出现故障的生产线进行 修. 已知每名维修工人每月只有及时维修 1 条生产线的能力，且每月固定工资为 1 万元.此外， 统计表明，每月在不岀现故障的情况下，每条生产线创造 12 万元的利润；如果出现故障能 及时维修，每条生产线创造 8 万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造 利润.以该企业每月实际获利的期望值为决策依据 ， 在 n=1 与 n=2 之中选其一 ， 应选用哪个？ (实际获利=生产线创造利润一维修工人工资) 23. (12 分) 已知函数( ) (1 2 2 ) 2 3 4 2,其中 Oae. (1) 求函数 f(x)的单调区冋； (2) 讨论函数 f
12、(x)零点的个数； (3) 若 f(x)存在两个不同的零点 x1,x2,求证：x1x2或 35 10 k . 12分 21解：（1）设3条生产线中出现故障的条数为X， 则 1 (3, ) 3 XB. 2分 因此 112 3 12124 (1)( ) ( )= 33279 P XC. 4分 （2）当1n 时，设该企业每月的实际获利为 1 Y万元. 若0X ，则 1 12 3 135Y ； 若1X ，则 1 12 2+8 1 131Y ； 若2X ，则 1 12 1+8 1+0 1 1 19Y ； 若3X ，则 1 12 0+8 1+0 2 17Y ； 6分 又 003 3 128 (0)( )
13、( ) 3327 P XC， 221 3 126 (2)( ) ( ) 3327 P XC， 330 3 121 (3)( ) ( ) 3327 P XC， 8分 此时，实际获利 1 Y的均值 1 81261773 3531197= 2727272727 EY 9分 当2n时，设该企业每月的实际获利为 2 Y万元. 若0X ，则 2 12 3234Y ； 若1X ，则 2 12 2+8 1 230Y ； 若2X ，则 2 12 1+8 2226Y ； 若3X ，则 2 12 0+8 2+0 1 214Y ； 11分 2 81261802 34302614= 2727272727 EY 因为 1
14、2 EYEY. 于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在与 之中选其一， 应选用2n. 12分 22. 解：（1）函数 ( )f x的定义域为 |0x x . 2 113 ()ln()2 22 fxxaxxaxax x ， 1分 ()(ln1)xax 令 ( )0fx ，得x a 或 ex . 2分 因为0ea， 当0xa或 ex 时， 0fx ，( )f x单调递增； 当eax时， 0fx ，( )f x单调递减.所以 f x的增区间为0,a，e,，减区间为 e, a. 4 分 （2）取=min1,2 a，则当(0, )x时， 1 0 2 xa，ln0x， 3 20 4 ax， 13
15、( )()ln(2)0 24 f xxxaxxax； 1n 2n 高三数学试题第3 页页（共4页） 又因为0ea， 由 （1） 可知 f x在(0, )a上单增， 因此,当(0, xa， 恒() 0f x ， 即( )f x在(0, a上无零点. 5 分 下面讨论xa的情况： 当 e 0 4 a时，因为( )f x在( ,e)a单减，(e,)单增，且( )0f a ， e (e)e()0 4 fa， 24 1 (e )=e0 4 f， 根据零点存在定理，( )f x有两个不同的零点. 6 分 当 e = 4 a时，由( )f x在( ,e)a单减，(e,)单增，且(e)0f， 此时( )f x
16、有唯一零点e. 7 分 若 e e 4 a， 由( )f x在( ,e)a单减，(e,)单增， e ( )(e)e()0 4 f xfa， 此时( )f x无零点. 8 分 综上，若 e 0 4 a，( )f x有两个不同的零点；若 e = 4 a，( )f x有唯一零点e；若 e e 4 a，( )f x无零点. （3）证明：由（2）知， e 0 4 a，且 12 eaxx. 构造函数 2 e ( )( )()F xf xf x ， ( ,e)xa . 9 分 则( )F x 42 32 ee ()(ln1)()(ln1)xaxax xx 4324 3 ee (ln1) xaxax x x
17、. 10 分 令 4324 ( )eeg xxaxax ，( ,e)xa. 因为当( ,e)xa时， 22 e0xax, 22 e0x ， 所以 43242222 ( )ee =(e)(e )0g xxaxaxxax x 又ln1 lne 10x ，所以( )0F x 恒成立，即( )F x在( , )a e单增. 于是当eax时，( )(e)0F xF，即 2 e ( )()f xf x . 11 分 因为 1 ( ,e)xa，所 2 1 1 e ()()f xf x ， 又 12 ( )()f xf x，所以 2 2 1 e ()()f xf x ， 因为 2 ex ， 22 1 ee e ex ，且( )f x在(e,)单增， 所以由 2 2 1 e ()()f xf x ，可得 2 2 1 e x x ，即 2 12 ex x . 12 分
