1、,第四节,一、函数单调性的判定法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、曲线的凹凸与拐点,函数的单调性与,曲线的凹凸性,第三章,一、 函数单调性的判定法,若,定理 1. 设函数,则 在 I 内单调递增,(递减) .,证: 无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在 I 内单调递增.,在开区间 I 内可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,例1. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如,2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性
2、.,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 证明,时, 成立不等式,证: 令,从而,因此,且,证,证明 目录 上页 下页 返回 结束,* 证明,令,则,从而,即,定义 . 设函数,在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有,则称,图形是凹的;,(2) 若恒有,则称,连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .,图形是凸的 .,二、曲线的凹凸与拐点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.(凹凸判定法),(1) 在 I 内,则 在 I 内图形是凹的 ;,(2) 在 I 内,则 在 I 内图形是凸的 .,证:,利用一阶泰勒公式可得,两式相加,说明 (1) 成立;,(2),机动 目录 上页 下
3、页 返回 结束,设函数,在区间I 上有二阶导数,证毕,例3. 判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,说明:,1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,的一个拐点.,则曲线的凹凸性不变 .,在其两侧二阶导数不变号,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求曲线,的拐点.,解:,不存在,因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线,的拐点 .,凹,凸,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1) 求,2) 求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3) 列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上
4、凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及,均为拐点.,凹,凹,凸,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点, 连续曲线上有切线的凹凸分界点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是 ( ),提示: 利用,单调增加 ,及,B,1. 设在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,2. 曲线,的凹区间是,凸区间是,拐点为,提示:,及,作业 P151 3 (1),(7) ; 4 (2), (4) ; 8 (3), (6) ; 9 (3) ; 10 ; 12 ; 13 ; 14,;,;,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,有位于一直线的三个拐点.,1.求证曲线,证明：,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,得,从而三个拐点为,因为,所以三个拐点共线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明:,当,时，,有,证明:,令, 则,是凸函数,即,2 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(自证),
