1、,第七节,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关,机动 目录 上页 下页 返回 结束,主要内容:,一、 弧微分,二、 曲率及其计算公式,三、 曲率圆与曲率半径,平面曲线的曲率,第三章,一、 弧微分,设,在(a , b)内有连续导数,其图形为 AB,弧长,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则弧长微分公式为,或,几何意义:,若曲线由参数方程表示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、曲率及其计算公式,在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为,对应切线,定义,弧段 上的平均曲率,点 M 处的曲率,注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,转角为,例
2、1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .,解: 如图所示 ,可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;,R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有曲率近似计算公式,故曲率计算公式为,又,曲率K 的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,(1) 若曲线由参数方程,给出, 则,(2) 若曲线方程为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,处的曲率.,点击图片任意处播放暂停,说明:,铁路转弯时为保证行车,平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点,机动 目录 上页
3、下页 返回 结束,且 l R.,其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度,离心力必须,连续变化 ,因此铁道的,曲率应连续变化 .,例2. 我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,且 l R.,处的曲率.,其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,显然,例3. 求椭圆,在何处曲率最大?,解:,故曲率为,K 最大,最小,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求驻点:,设,从而 K 取最大值 .,这说明椭圆在点,处曲率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算驻点处的函数值:,最大.,三、 曲率圆与曲率半径,设 M 为曲线 C
4、 上任一点 ,在点,在曲线,把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的,曲率圆,( 密切圆 ) ,R 叫做曲率半径,D 叫做,曲率中心.,在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:,(1) 有公切线;,(2) 凹向一致;,(3) 曲率相同 .,M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设曲线方程为,且,求曲线上点M 处的,曲率半径及曲率中心,设点M 处的曲率圆方程为,故曲率半径公式为,满足方程组,的坐标公式 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由此可得曲率中心公式,当点 M (x , y) 沿曲线,移动时,的轨迹 G 称为曲线 C
5、 的渐屈线 ,相应的曲率中心,曲率中心公式可看成渐,曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,屈线的参数方程(参数为x).,点击图中任意点动画开始或暂停,例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨,削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?,解: 设椭圆方程为,由例3可知, 椭圆在,处曲率最大 ,即曲率半径最小, 且为,显然, 砂轮半径不超过,时, 才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨不到的问题.,例3 目录 上页 下页 返回 结束,( 仍为摆线 ),例5. 求摆线,的渐屈线方程 .,解:,代入曲率中心公式 ,得,摆线 目录 上页 下页 返回 结束,摆线
6、,半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时 ,点击图中任意点动画开始或暂停,其上定点 M,的轨迹即为摆线 .,参数的几何意义,摆线的渐屈线,点击图中任意点动画开始或暂停,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 弧长微分,或,2. 曲率公式,3. 曲率圆,曲率半径,曲率中心,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?,答: 有公切线 ;,凹向一致 ;,曲率相同.,2. 求双曲线,的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小?,解:,则,利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,第八节 目录 上页 下页 返回 结束,P175 4 ； 5 ； 7 ； 8 ； 9,
