1、,第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
2、,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1 .,各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f (x) 的泰勒公式中的余项满足:,证明:,令,设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域,内具有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.,若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是,唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.,证: 设 f (x) 所展成的幂级数为,则,显然结论成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、函数展开成幂级数,1. 直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在
3、 x = 0 处的值 ;,第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;,第三步 判别在收敛区间(R, R) 内,是否为,骤如下 :,展开方法,直接展开法, 利用泰勒公式,间接展开法, 利用已知其级数展开式,0.,的函数展开,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,其收敛半径为,对任何有限数 x , 其余项满足,故,( 在0与x 之间),故得级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 将,展开成 x 的幂级数.,解:,得级数:,其收敛半径为,对任何有限数 x , 其余项满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可推出:,(P220 例
4、3),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 将函数,展开成 x 的幂级数, 其中m,为任意常数 .,解: 易求出,于是得 级数,由于,级数在开区间 (1, 1) 内收敛.,因此对任意常数 m,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推导,则,推导 目录 上页 下页 返回 结束,为避免研究余项 , 设此级数的和函数为,称为二项展开式 .,说明：,(1) 在 x1 处的收敛性与 m 有关 .,(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由此得,对应,的二项展开式分别为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.
5、 间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解: 因为,把 x 换成, 得,将所给函数展开成 幂级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,从 0 到 x 积分, 得,定义且连续,区间为,利用此题可得,上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 将,展成,解:,的幂级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 将,展成 x1 的幂级数.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 函数的幂级数展开
6、法,(1) 直接展开法, 利用泰勒公式 ;,(2) 间接展开法, 利用幂级数的性质及已知展开,2. 常用函数的幂级数展开式,式的函数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当 m = 1 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 函数,处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级,数” 有何不同 ?,提示: 后者必需证明,前者无此要求.,2. 如何求,的幂级数 ?,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 P223 2 (2) , (3) , (5) , (6) ; 3 (2) ; 4 ; 6,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,例3 附注,备用题 1.,将下列函数展开成 x 的幂级数,解:,x1 时, 此级数条件收敛,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 将,在x = 0处展为幂级数.,解:,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
