1、,第五节,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对坐标的曲面积分,第十章,一、有向曲面及曲面元素的投影, 曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),机动 目录 上页 下页 返回 结束,其方向用法向量指向,方向余弦, 0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面, 0 为右侧 0 为左侧, 0 为上侧 0 为下侧,外侧 内侧, 设 为有向曲面,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示 :,其面元,在 xoy 面上的投影
2、记为,的面积为,则规定,类似可规定,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面 的流量 .,分析: 若 是面积为S 的平面,则流量,法向量:,流速为常向量:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”,对稳定流动的不可压缩流体的,速度场,进行分析可得, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个,意分割和在局部面元上任意取点,分,记作,P, Q, R 叫做被积函数;, 叫做积分曲面.,或第二类曲面积分.
3、,下列极限都存在,向量场,若对 的任,2. 定义.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为,称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分;,称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分.,称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分;,若记 正侧的单位法向量为,令,则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 性质,(1) 若,之间无公共内点, 则,(2) 用 表示 的反向曲面, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、对坐标的曲面积分的计算法,定理: 设光滑曲面,取上侧,是 上的连续函数, 则,证:, 取上侧,机动
4、目录 上页 下页 返回 结束, 若,则有, 若,则有,(前正后负),(右正左负),说明:,如果积分曲面 取下侧, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 计算,其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方,体的整个表面的外侧.,解:,利用对称性.,原式, 的顶部,取上侧, 的底部,取下侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 把 分为上下两部分,思考: 下述解法是否正确:,例2. 计算曲面积分,其中 为球面,外侧在第一和第八卦限部分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 设S 是球面,的外侧 , 计算,解: 利用轮换对称性, 有,机动 目
5、录 上页 下页 返回 结束,四、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,向量形式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 设,是其外法线与 z 轴正向,夹成的锐角, 计算,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 计算曲面积分,其中,解: 利用两类曲面积分的联系, 有, 原式 =,旋转抛物面,介于平面 z= 0,及 z = 2 之间部分的下侧.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,定
6、义:,1. 两类曲面积分及其联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质:,联系:,思考:,的方向有关,上述联系公式是否矛盾 ?,两类曲线积分的定义一个与 的方向无关, 一个与 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 常用计算公式及方法,面积分,第一类 (对面积),第二类 (对坐标),二重积分,(1) 统一积分变量,代入曲面方程 (方程不同时分片积分),(2) 积分元素投影,第一类： 面积投影,第二类： 有向投影,(4) 确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,转化,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当,时，,（上侧取“+”, 下侧取“”),
7、类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. P167 题2,提示: 设,则, 取上侧时, 取下侧时,2. P184 题 1,3. P167 题3(3),机动 目录 上页 下页 返回 结束,是平面,在第四卦限部分的上侧 , 计算,提示:,求出 的法方向余弦,转化成第一类曲面积分,P167 题3(3). 设,作业 P167 3 (1) ,(2) , (4) ; 4 (1), (2),第六节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 求,取外侧 .,解:,注意号,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用轮换对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
